2021-2022學(xué)年江西省吉安市衙前中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年江西省吉安市衙前中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題意可得：，函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，即在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，，則該函數(shù)區(qū)間(1,+∞)上的值域?yàn)?－∞,－3)，綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥－3.本題選擇A選項(xiàng).

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(－3,1,5)，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A．(－3，－1，－5)

B．(－3,1，－5)

C．(3,1，－5)

D．(3，－1，－5)參考答案：A略3.若f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則過曲線y=f(x)上的點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程的斜率為（

）

A

-2

B

-1

C

1

D

2參考答案：A

略4.下列說法正確的是（）A．命題“若x2=1，則x=1的否命題為：“若x2=1，則x≠1”B．“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件C．命題“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命題“已知A，B為一個三角形兩內(nèi)角，若A=B，則sinA=sinB”的否命題為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】寫出命題的否命題判斷A；由兩直線垂直與系數(shù)的關(guān)系求得m判斷B；寫出特稱命題的否定判斷C；由充分必要條件的判定方法判斷D．【解答】解：命題“若x2=1，則x=1的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，故A錯誤；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充分不必要條件，故B錯誤；命題“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C錯誤；由三角形中，A=B?a=b?sinA=sinB，得：命題“已知A，B為一個三角形兩內(nèi)角，若A=B，則sinA=sinB”的否命題為真命題，故D正確．故選：D．5.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A、

B、C、

D、參考答案：D略6.某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有

(

)

A.8種

B.10種

C.12種

D.32種參考答案：B7.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)x0123y1357則y與x的線性回歸方程=bx+必過點(diǎn)（）A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）參考答案：B【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先分別計(jì)算平均數(shù)，可得樣本中心點(diǎn)，利用線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意，=（0+1+2+3）=1.5，=（1+3+5+7）=4∴x與y組成的線性回歸方程必過點(diǎn)（1.5，4）故選：B．【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)．8.空間直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)P（0，0，）和點(diǎn)C（﹣1，2，0），則在y上到P，C的距離相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A．（0，1，0） B．（0，，0） C．（0，﹣，0） D．（0，2，0）參考答案：B【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用|MP|=|MC|，求出M的坐標(biāo)．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M（0，y，0），∵|MP|=|MC|，∴02+y2+=12+（y﹣2）2+02，即y2+3=1+y2﹣4y+4，∴4y=2，解得y=，∴點(diǎn)M（0，，0）．故選：B．9.已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線相切，則圓的方程是 A． B． C． D．參考答案：A略10.某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10km處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在距離車站（）.A．4km B．5km C．6km D．7km參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則的最小值是__________．參考答案：-4【分析】對函數(shù)求導(dǎo)可得：，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于在區(qū)間上大于等于零恒成立，即在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的圖像討論出，的關(guān)系，再結(jié)合線性規(guī)劃即可得到的最小值?！驹斀狻亢瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，其對稱軸：，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立等價(jià)于：，由線性規(guī)劃可得：；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立等價(jià)于：，由線性規(guī)劃可得：；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立等價(jià)于：，則，由于在上的范圍為，則，綜上所述的最小值是-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、線性規(guī)劃、函數(shù)與不等式等知識，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，運(yùn)算能力以及邏輯思維能力，屬于難題。12.已知橢圓：，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則||+||的最大值為

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由橢圓方程求得橢圓的半焦距，結(jié)合橢圓定義求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，再求出當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)的最小值，則|AF2|+|BF2|的最大值可求．【解答】解：由橢圓，得a=3，b=2，c==，由橢圓的定義可得：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，∵當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|取得最小值，把x=﹣代入，解得：y=±，∴|AB|min=，∴|AF2|+|BF2|的最大值為12﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是明確當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)焦點(diǎn)弦最短，是基礎(chǔ)題．13.五個數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，則a=____，這五個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是_________.參考答案：5，14.已知雙曲線的離心率為2，則的值為______．參考答案：略15.已知函數(shù)，(a是常數(shù)且a＞0)．對于下列命題：①函數(shù)f(x)的最小值是－1；②函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)；③若f(x)＞0在上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；④對任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有其中正確命題的序號是__________(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：(1)(3)(4)16.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為

參考答案：17.設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則此雙曲線的離心率為

。參考答案：

2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．試問：（1）能組成多少個不同的五位偶數(shù)？（2）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）參考答案：（1）576；（2）576；（3）144【分析】（1）根據(jù)先取后排的原則，從1到7的七個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)，然后進(jìn)行排列；（2）利用捆綁法把兩個偶數(shù)捆綁在一起，再和另外三個奇數(shù)進(jìn)行全排列；（3）利用插空法，先排兩個偶數(shù)，再從兩個偶數(shù)形成的3個間隔中，插入三個奇數(shù)，問題得以解決.【詳解】（1）偶數(shù)在末尾，五位偶數(shù)共有＝576個．（2）五位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有＝576個．（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有＝144．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的組合問題，相鄰問題用捆綁，不相鄰用插空，屬于中檔題．19.已知數(shù)列{an}滿足，.（1）計(jì)算，，；（2）猜測an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案：（1）；（2），證明見解析.【分析】（1）由數(shù)列的遞推公式及，代入即可求解，，的值；（2）猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法，即可作出證明，得到結(jié)論.【詳解】（1）由及，得，進(jìn)而，.（2）證明：猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明之.當(dāng)時(shí)，，而已知，所以時(shí)，猜想正確.假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想正確，即，則時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立.綜上所述可知，對一切，猜想都正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．20.(本題滿分12分）某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽出100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組得到的頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第1組[160,165)50.050第2組[165,170)a0.350第3組[170,175)30b第4組[175,180)c0.200第5組[180,185)100.100合計(jì)1001.00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第2輪面試，試確定a、b、c的值并求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?（2）在（1）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第4組中至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率.參考答案：解：（1）有頻率分布表知

--------------3分

因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第3組人，第4組人，第5組人，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面試.

----------6分

(2)設(shè)第3組的3名學(xué)生為，第4組的2名學(xué)生為，第5組的1名學(xué)生為，則從6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生有15種可能：其中第4組的2名學(xué)生為，至少有一名學(xué)生被A考官面試的有：，共9種可能。所以其中第4組的兩名學(xué)生至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率為.

------------12分略21.已知拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作拋物線的兩條切線和，記和相交于點(diǎn).（1）證明：直線和的斜率之積為定值；(2)求證：點(diǎn)在一條定直線上.參考答案：（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將其代入，消去整理得.設(shè)的坐標(biāo)分別為