2024學(xué)年山東省膠州市第一中學(xué)等數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

2024學(xué)年山東省膠州市第一中學(xué)等數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.2．若等比數(shù)列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.3．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.4．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.16．等差數(shù)列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2087．展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.8．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.12．函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號為______________.14．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________15．函數(shù)，若，則的值等于_______16．已知函數(shù)滿足：①是奇函數(shù)；②當(dāng)時，．寫出一個滿足條件的函數(shù)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點在C上（1）求C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線：上任意一點，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式與前項和；（2）求的值.20．（12分）已知點是橢圓上的一點，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）兩動點在橢圓上，總滿足直線與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由22．（10分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題2、B【解題分析】利用成等比數(shù)列來求得.【題目詳解】依題意，等比數(shù)列的前n項和，，，所以.故選：B3、A【解題分析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據(jù)題意的邊角關(guān)系，完成體積的求解.【題目詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.4、B【解題分析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.5、B【解題分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【題目詳解】，則，則，故選：B6、D【解題分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【題目詳解】由，所以，故選：D7、A【解題分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可求解.【題目詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數(shù)為.故選：A.8、B【解題分析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【題目詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.9、A【解題分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，即可求出切線方程.【題目詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【題目詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.12、C【解題分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【題目詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)極值點的個數(shù)為4個.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解題分析】設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷①②③④的正誤.【題目詳解】設(shè)，由于、、兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、.對于①，，所以，，①正確；對于②，，，則，②正確；對于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯誤.故答案為：①②③.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：在立體幾何中計算空間向量的相關(guān)問題，可以選擇合適的點與直線建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算即可.14、【解題分析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【題目詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：15、【解題分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，化簡即可求出的值.【題目詳解】函數(shù).故答案為：.16、（答案不唯一）【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性及其單調(diào)性寫出函數(shù)解析式即可.【題目詳解】結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則符合上述兩個條件，故答案為：（答案不唯一）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解題分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算得出，即可得出結(jié)論；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無解，因此，不存在點，使得平面與平面所成的角為.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時，則的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)，由，，成等差數(shù)列求解；的斜率存在時，設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，然后由，，成等差數(shù)列，結(jié)合韋達定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，則的方程為，將代入，得.因為，，成等差數(shù)列，所以，即，顯然當(dāng)時，方程恒成立.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，則，.，.因為，，成等差數(shù)列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.19、（1），；（2）.【解題分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項相消去求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項公式為，前項和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得，從而求得橢圓的標(biāo)準方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由此求得，同理求得，從而化簡求得直線的斜率為定值.【小問1詳解】由題可知，解得，從而粚圓方程為.【小問2詳解】證明設(shè)直線的斜率為，則，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得，從而，于是，由題意得直線的斜率為，則，，同理可求得，于是即直線的斜率為定值.21、（1）（2）存在，定點【解題分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點的坐標(biāo).小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，