上海市南匯一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

上海市南匯一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若向量則（）A. B.3C. D.2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．若在1和16中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.44．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.5．已知集合，則（）A. B.C. D.6．雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.7．我們知道∶用平行于圓錐母線的平面（不過頂點(diǎn)）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于（）A. B.C. D.18．已知數(shù)列為遞增等比數(shù)列，，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.5010．已知直線，兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則11．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.12．已知隨機(jī)變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.76二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；14．若直線與直線平行，則直線與之間的距離為_____15．基礎(chǔ)建設(shè)對社會經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生巨大的作用．某市投入億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生億元社會經(jīng)濟(jì)效益．若該市投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，則再過______年．該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍16．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＝·，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于、、、四點(diǎn)，求的值.19．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點(diǎn)分別的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成的角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.（1）求證：平面平面.（2）能否在邊上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得【題目詳解】由于向量，，所以.故故選：D2、B【解題分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【題目詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B3、A【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【題目詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.4、C【解題分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計算，即可求解.【題目詳解】對于A中，當(dāng)時，，所以不正確；對于B中，因?yàn)?，根?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.5、C【解題分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運(yùn)算求即可.【題目詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.6、A【解題分析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A7、C【解題分析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的方程，將C的坐標(biāo)代入求出拋物線的方程，進(jìn)而可得焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離【題目詳解】設(shè)AB，CD的交點(diǎn)為，連接PO，由題意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由題意OB=OP=OC=2，因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn)，所以，由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以BP為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示∶可得∶，設(shè)拋物線的方程為y2=mx，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，所以，所以拋物線的方程為∶，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為故選：C8、C【解題分析】根據(jù)數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，利用“”法求得，再代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列為遞增等比數(shù)列，所以，解得：，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.10、C【解題分析】對于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對于B,可能相交，故可判斷B;對于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【題目詳解】對于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯誤；對于B,，那么可能相交，故可判斷B錯誤；對于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯誤，故選：C.11、B【解題分析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【題目詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.12、A【解題分析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【題目詳解】因隨機(jī)變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）詳見解析【解題分析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.14、【解題分析】由直線平行求參數(shù)m，再利用平行直線的距離公式求與之間的距離.【題目詳解】由題設(shè)，，即，所以，，所以直線與之間的距離為.故答案為：15、8【解題分析】由4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，代入已知函數(shù)式求得參數(shù)，再求得社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結(jié)論【題目詳解】由條件得，∴，即．設(shè)投資年后，產(chǎn)生的社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生社會經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍故答案為：816、或##或【解題分析】分兩種情況進(jìn)行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)．進(jìn)行解答即可【題目詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）由等差中項(xiàng)可知數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)已知可求得其公差，從而可得其通項(xiàng)公式；（2）分析可知應(yīng)用錯位相減法求數(shù)列的和【題目詳解】（1）由知，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），，，兩式相減得：，整理得：，所以18、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為,……3分∴∴拋物線方程為……6分

由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè)，則，……11分∴【解題分析】（1）設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意得出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)，∴.拋物線方程為：；（2）依題意直線的方程為設(shè)，，則，得，，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系；由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出拋物線的方程；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義可求出弦長，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.19、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解題分析】（1）由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個法向量，然后利用向量法求解點(diǎn)面距離.（3）設(shè)（），由可得關(guān)于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設(shè)平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個法向量為.點(diǎn)A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，設(shè)（），則，從而.即，即，此方程無實(shí)數(shù)解，故不存在滿足條件的點(diǎn)M.20、（1）證明見解析.（2）存在點(diǎn)，為線段中點(diǎn)【解題分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（1）在直角梯形中，作于于，連接，則，，則，，則，在直角中，可得，則，所以，故，且折疊后與位置關(guān)系不變.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）在中，由，為的中點(diǎn)，可得.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得平面的法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)使平面與平面所成角的余弦值為，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，設(shè)平面的法向量為，可得，令得，∴，解得，因此存在點(diǎn)且為線段中點(diǎn)時使平面與平面所成角的余弦值為.本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解及應(yīng)用，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?所以平面，所以平面的一個法向量為，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，所以EF//平面PDC；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以，令，則，設(shè)平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為22、（1）時，函數(shù)在單調(diào)遞增，無減區(qū)間；時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單