2024屆湖南省湘西土家族苗族自治州高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆湖南省湘西土家族苗族自治州高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn).已知△ABC的頂點(diǎn)分別為，，，則△ABC的歐拉線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為軸上一點(diǎn)，為正三角形，若，的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.4．已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.兩個(gè)圓C.橢圓 D.兩個(gè)橢圓5．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.17．方程表示的曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.8．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.9．若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.11．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題12．總體有編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第3個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線(xiàn)：和：，且，則實(shí)數(shù)__________，兩直線(xiàn)與之間的距離為_(kāi)_________14．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，則直線(xiàn)方程是______15．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn)．后來(lái)人們稱(chēng)這條直線(xiàn)為該三角形的歐拉線(xiàn)．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，則的垂心坐標(biāo)為_(kāi)_____，的歐拉線(xiàn)方程為_(kāi)_____16．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)方程為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值18．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足；命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足．若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）如圖①，等腰梯形中，，分別為的中點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中：（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）已知拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4.（1）求拋物線(xiàn)E的方程；（2）點(diǎn)A、B為拋物線(xiàn)E上異于原點(diǎn)O的兩不同的點(diǎn)，且滿(mǎn)足.若直線(xiàn)AB與橢圓恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立兩直線(xiàn)可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線(xiàn)方程.【題目詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線(xiàn)AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線(xiàn)斜率為，則方程為，直線(xiàn)AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線(xiàn)斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線(xiàn)GH斜率為，則可得直線(xiàn)GH方程為，故△ABC的歐拉線(xiàn)方程為.故選：A.2、B【解題分析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【題目詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.3、A【解題分析】根據(jù)題意得，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，則根據(jù)題意得，，根據(jù)橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【題目詳解】因?yàn)闉檎切?，所以，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【題目點(diǎn)撥】求解離心率及其范圍的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵在于畫(huà)出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于，，的齊次式，然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解4、A【解題分析】設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出，由題意知是△的中位線(xiàn)，從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【題目詳解】是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)為的外角平分線(xiàn)，，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，如圖，，，，由題意知是△的中位線(xiàn)，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A5、D【解題分析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過(guò)點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【題目詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D6、B【解題分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【題目詳解】，則，則，故選：B7、D【解題分析】根據(jù)曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得出答案.【題目詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€(xiàn)為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.8、D【解題分析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)正是兩條直道所在直線(xiàn)，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【題目詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線(xiàn)相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線(xiàn)A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線(xiàn)的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.9、B【解題分析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.10、D【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)特點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.11、B【解題分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【題目詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以命題為假命題因?yàn)椋悦}為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B12、D【解題分析】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【題目詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號(hào)為14.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.-4；②.2【解題分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行斜率相等求解參數(shù)即可；運(yùn)用兩平行線(xiàn)間的距離公式計(jì)算兩直線(xiàn)之間的距離可得出答案.【題目詳解】解：直線(xiàn)和，，，解得；∴兩直線(xiàn)與間的距離是：.故答案為：；2.14、【解題分析】直線(xiàn)斜率不存在不滿(mǎn)足題意，即設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出的值，即可求出直線(xiàn)方程.【題目詳解】①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意.②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為.原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，即直線(xiàn)方程為.故答案為：.15、①.##(0,1.5)②.【解題分析】由高線(xiàn)聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線(xiàn)方程.【題目詳解】由，可知邊上的高所在的直線(xiàn)為，又，因此邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率為，所以邊上的高所在的直線(xiàn)為：，即，所以，所以的垂心坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式可得的重心坐標(biāo)為，所以的歐拉線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得.故答案為：；16、【解題分析】因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為，，所在直線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)為，故答案為.考點(diǎn)：1、兩直線(xiàn)垂直斜率的關(guān)系；2、點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）若選①可得，從而得到，即可得到是常數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)，作差即可得到，再利用累乘法計(jì)算可得；若選③：可得，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：選①：∵即∴即∴數(shù)列是常數(shù)列∴∴選②：∵∴時(shí)，則即∴∴當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足，∴選③：因?yàn)椋?，所以?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1則∴【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，∴18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)題意，列出方程，即可求得公差以及通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，求得，以及，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，故可得，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?于是，令，則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列，且，公比，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19、【解題分析】由題設(shè)得是為真時(shí)的子集，即，法一：討論、，根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)范圍；法二：利用在恒成立，結(jié)合參變分離及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍.【題目詳解】由，得，則命題對(duì)應(yīng)的集合為，設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為，是的必要條件，則，由，得，又，法一：若時(shí)，，則，顯然成立；若時(shí)，，則，可得，綜上：法二：在恒成立，即，∵在單調(diào)遞減，∴.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】由已知得，.當(dāng)時(shí)，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿(mǎn)足上式，所以對(duì)都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，.21、（1）證明見(jiàn)解析.（2）2【解題分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合已知條件即可證明；（2）將所求四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，面，面，所以面，同理面，又因?yàn)槊?所以面面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樵趫D①等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，所以，在圖②多面體中，因?yàn)椋?，，所以?因?yàn)?，面面，面，面?所以面，又因?yàn)槊?，所以，在直角三角形中，因?yàn)?所以，同理，，所以，則，有，所以.所以四棱錐的體積為2.22、（1）（2）【解題分析】