焦作市重點中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

焦作市重點中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.二十四節(jié)氣中，從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經(jīng)》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規(guī)律，那么《周髀算經(jīng)》中所記錄的立夏的晷影長應為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺2．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.3．下列關系中，正確的是（）A. B.C. D.4．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.5．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達目的地．請仔細計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（）A.96 B.48C.24 D.126．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.8．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.9．設雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種11．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.12．在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線恒過定點，則定點坐標為________14．下圖是個幾何體的展開圖，圖①是由個邊長為的正三角形組成；圖②是由四個邊長為的正三角形和一個邊長為的正方形組成；圖③是由個邊長為的正三角形組成；圖④是由個邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的序號）.15．已知函數(shù)，則______16．在1和9之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在正實數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.18．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，點E是線段PA的中點.（1）求證：平面EBD；（2）若是等邊三角形，，平面平面ABCD，求點E到平面PDB的距離.19．（12分）已知拋物線，過點作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點，且交拋物線于兩點，求弦長20．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和21．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.22．（10分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列定義求得公差，再求解立夏的晷影長在數(shù)列中所對應的項即可【題目詳解】設從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為等差數(shù)列的前13項，則所以公差為，則立夏的晷影長應為(尺)故選：B2、D【解題分析】根據(jù)遞推關系，代入數(shù)據(jù)，逐步計算，即可得答案.【題目詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D3、B【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導公式判斷D；【題目詳解】解：對于A：因為，，，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，又，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為在上單調(diào)遞減，因為，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因為在上單調(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B4、A【解題分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【題目詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A5、C【解題分析】每天所走的里程構成公比為的等比數(shù)列，設第一天走了里，利用等比數(shù)列基本量代換，直接求解.【題目詳解】由題意可知：每天所走的里程構成公比為的等比數(shù)列.第一天走了里，第4天走了.故選：C6、D【解題分析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結合判別式與二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D7、D【解題分析】先通過誘導公式將函數(shù)化簡，進而求出導函數(shù)，然后算出答案.【題目詳解】由題意，，故選：D.8、D【解題分析】根據(jù)拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標準方程【題目詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D9、C【解題分析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【題目詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.10、C【解題分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【題目詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【題目點撥】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.11、B【解題分析】由題設命題的描述判斷、的真假，再判斷其復合命題的真假即可.【題目詳解】對于命題，僅當時，故為假命題；對于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B12、A【解題分析】先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結果【題目詳解】因為前三項的系數(shù)為，，，當時，為有理項，從而概率為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】解方程組可求得定點坐標.【題目詳解】直線方程可化為，由，可得.故直線恒過定點.故答案為：.14、①【解題分析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【題目詳解】①由題設，幾何體為棱長為的正四面體，該正四面體可放入一個正方體中，且正方體的棱長為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為的正四棱錐，如下圖所示：設，連接，則為、的中點，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為的正八面體，該正八面體可由兩個共底面，且棱長均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.15、【解題分析】根據(jù)導數(shù)的定義求解即可【題目詳解】由，得，所以，故答案為：16、27【解題分析】設公比為，利用已知條件求出，然后根據(jù)通項公式可求得答案【題目詳解】設公比為，插入的三個數(shù)分別為，因為，所以，得，所以，故答案為：27三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）通過構造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，則，即，因為為正實數(shù)，所以.18、（1）見解析（2）【解題分析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理結合線面平行的判定證明即可；（2）由得出點到平面的距離，再由是的中點，得出點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接.因為分別是的中點，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小問2詳解】過點作的垂線，垂足為，連接.因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，設點到平面的距離為因為，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離為.19、（1）或；（2）8【解題分析】（1）根據(jù)題意設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，因為只有一個公共點，則求解.（2）拋物線的焦點為，設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，再根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式求解.【題目詳解】（1）設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得或，∴直線的方程為：或（2）拋物線的焦點為，則直線的方程為，設，聯(lián)立，消去得，∴，∴【題目點撥】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1），（2）【解題分析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小問2詳解】，所以，，所以.所以21、（1），（2）【解題分析】（1）根據(jù)已知條件建立關于a、b、c的方程組可解；（2）巧設與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.【小問1詳解】因為離心率，所以.又因為點在雙曲線C上，所以.聯(lián)立上述方程，解得，，即，.【小問2詳解】設所求雙曲線的方程為，由雙曲線經(jīng)過點，得，即.所以雙曲線的方程為，其標準方程為.22、（1）；（2）.【解題分