合作博弈(四川大學)

第5章合作博弈§5.1根本概念§5.2占優(yōu)方法：合作博弈一類解概念§5.3估值方法：合作博弈的一類解概念§5.4合作博弈的應用范例2021-3-312021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕2§5.3估值方法：合作博弈的一類解概念

§5.3.1Shapley值

§5.3.2勢指標2021-3-322021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?§5.3.1Shapley值

□Shapley值□定義5.3.1啞元和支柱□定義5.3.2置換的定義□Shapley值的三條公理□幾個引理□求解Shapley值2021-3-332021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?Shapley值上一節(jié)我們討論了n人合作博弈中占優(yōu)方法下的各種解概念。每一個解概念都有相適應的經(jīng)濟意義。但是當中有一些問題：一些解概念出現(xiàn)了空集的情況，如核心的C(v)。在局中人的人數(shù)較大的時候，對這些解概念的求解非常困難。在不少情況下的解概念常常不唯一。Shapley〔1953〕用公理化方法提出了Shapley值，構成了一種新的解概念。能夠對合作博弈中的局中人參與博弈的價值能給出具體表述，并且有很直接的計算方法。由于Shapley值具有很好的經(jīng)濟意義。以極為簡單的求解方法，因此得到非常廣泛的應用。2021-3-342021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?Shapley值〔續(xù)〕設有一個人合作博弈，具有弱超可加性，我們可以對合作后的總收益給出如下的分配方案。假設中個局中人的排序為，考慮分配方案為其中即按局中人編號的自然序排序，依先后順序逐步形成聯(lián)盟，每一個局中得到的是對聯(lián)盟形成的邊際奉獻。顯然2021-3-352021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕6Shapley值〔續(xù)〕假設中個局中人的按照編號逆向排序。考慮分配方案為，其中即確定一個排序，局中人按逆向排序先后逐步形成聯(lián)盟，每個局中人分配到對聯(lián)盟形成的邊際奉獻。顯然也有因為中的個局中人給定一個自然數(shù)編號，并且互不相同，那么個局中人的排序方法有種。因而有種不同的分配方案2021-3-362021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕7Shapley值〔續(xù)〕作為一個局中人在中分配方案下的平均邊際奉獻那么為：表示的是聯(lián)盟S中具有的局中人的個數(shù)。在形成聯(lián)盟S以后，表示不包含局中人的聯(lián)盟排列個數(shù)。表示聯(lián)盟的排列個數(shù)，表示個局中人可形成的排列的個數(shù)。表示聯(lián)盟S出現(xiàn)的概率，表示局中人對聯(lián)盟S的邊際奉獻，假設，那么該式為0。也就是局中人對聯(lián)盟S無關。〔〕式給定一個維向量：就是合作博弈的Shapley值。.2021-3-372021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕8啞元和支柱定義在人合作博弈中，設是一個聯(lián)盟。如果對任意聯(lián)盟都有：〔〕那么稱D為博弈的一個支柱〔carrier〕或稱D為G的一個載體。假設D是博弈的一個支柱，，稱局中人i為啞元〔dummy〕或稱虛擬局中人。引理1假設D是博弈的一個支柱。滿足：那么也是的支柱。2021-3-382021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?啞元和支柱〔續(xù)〕——例子例有一個三人合作博弈，特征函數(shù)取值為：可以看出聯(lián)盟是一個支柱，局中人2為啞元。由于大聯(lián)盟，那么大聯(lián)盟也是一個支柱。，，，2021-3-392021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?0置換的定義定義設有人合作博弈。其中，為的一個排列，也稱為的一個置換〔Pemutation〕。假設，記i在置換下的位置記為。假設，。那么規(guī)定。同時記為一個特征函數(shù)：〔〕2021-3-3102021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1Shapley值的三條公理定義

在人合作博弈中，的Shapley值是n維向量：，滿足下面三條公理：公理1

對稱性公理。對于置換,有：公理2

有效性公理。對于的每一個支柱。有:公理3

可加性公理。對任意兩個合作博弈對任意的有其中。2021-3-3112021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕12Shapley值的三條公理〔續(xù)〕公理1表示任何局中人i分配所得，不依賴于它在某個排列中的位置。換言之，不同位置的局中人，只要他們對聯(lián)盟的奉獻是相同的，即他們在合作中的作用是相同的，他們所得的分配額也就相同。公理2表示在采用Shapley值確立的分配方案中，僅需對支柱D中的局中人考慮就可以了。公理3將同樣的局中人在兩次博弈所得可以看成特征函數(shù)合并后的一次所得?？梢?，上述公理體系對Shapley值的要求條件是很低的。三個公理所代表的三個根本要求一般都認為是合理的。2021-3-3122021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?3引理2在合作博弈中，假設是支柱，局中人是啞元。即，在公理2的條件下，有。證明：因為是博弈的支柱。。那么由定義由于是支柱。由引理1，也是支柱。由公理2有引理2說明啞元參加到聯(lián)盟中來，未有新的奉獻，因此他能得到保存的收益。2021-3-3132021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?4引理3

設合作博弈是一個簡單的博弈。其中特征函數(shù)的取值為

當滿足公理1和公理2時，是博弈的支柱，且

2021-3-3142021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5引理3(續(xù))——證明證明：由定義，可以驗證，對任意有那么R是博弈G的支柱。由于R是支柱，有也是支柱，由公理2有那么，有。由公理1，對任意選取置換，僅對和的位置發(fā)生置換，，于是有。再由公理2有：因此：

。2021-3-3152021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?6推論推論：在引理3的條件下，對正常數(shù)，規(guī)定。那么是合作博弈的支柱，且

2021-3-3162021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕17引理4引理4.任何人合作博弈滿足公理1和公理2其特征函數(shù)可以表示成的線性組合?！病称渲杏梢?規(guī)定，參數(shù)由下面公式確立：〔〕2021-3-3172021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?8引理4〔續(xù)〕證明：將〔〕代入〔〕，對任意都有在上式中，只有時才不為0.并且當時,由〔〕有。所以其中第二個等式來自交換求和的次序。第三個等式中是從從個元素中找個元素的組合數(shù)。第四個等式來自二次式定理。最后一個等式來自：這就證明了〔〕式成立。2021-3-3182021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕19求解Shapley值〔一〕——定理定理人合作博弈。假設滿足定義給出的三條公理：對稱性，有效性和可加性，那么存在唯一的Shapley值

此定理的證明就是驗證三條公理的過程，相比照較復雜，我們證明如下：2021-3-3192021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?0定理5.3.1證明證明：該定理的證明分為兩個局部。第一個證明由三條公理可以推導出唯一的〔〕表示的Shapley值，第二局部證明〔〕滿足三條公理：首先由引理4的〔〕由公理三和引理三推論〔〕式我們有：將〔〕式代入到上式中，其中將聯(lián)盟T用聯(lián)盟S取代，有〔〕2021-3-3202021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1定理5.3.1證明〔二〕將上式〔〕分開討論，前以局部有：

〔〕2021-3-3212021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?2定理5.3.1證明〔二〕上面的第二個等式來自。第三個等式是積分求和次序的交換，并拼湊出二項式式子，第四個等式是二項式定理。最后一個等式來自于的函數(shù)性質。〔〕式的后一項中，因為，令，那么，，于是后一項為：2021-3-3222021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?3定理5.3.1證明〔二〕2021-3-3232021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?4定理5.3.1證明〔三〕由〔〕代入到〔〕式，再將〔〕式代入有：在的時候，〔〕中那么〔〕與〔〕沒有區(qū)別，一般我們使用〔〕式，這樣，我們就完成了定理證明的第一局部。下面我們進行定理第二局部的證明，即驗證〔〕式滿足三條公理?！?〕驗證公理1對于任意一個置換，都是對N中的n個元素的一種排列。令也是一種置換，其逆變換也是如此。因此對于任意的，我們有。令。2021-3-3242021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5定理5.3.1證明〔四〕其中的第一個等式任意取，和任意取等價，第二個等式任意取和任意取等價。第三個等式采取了的逆置換。因而公理1得到了驗證?！?〕驗證公理2假設i不屬于每個支柱D，對于聯(lián)盟有：2021-3-3252021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?6定理5.3.1證明〔五〕接下來我們證：由〔〕式，有2021-3-3262021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?7定理5.3.1證明〔六〕對S取一個固定的進行考察，由于對所有的，且滿足的次數(shù)為次，那么v〔R〕的雙重和的系數(shù)為：再考察〔〕式中的第二項的系數(shù)。任意給一個，,都會有一個S使得，這種S的選取一共有個。因為i可以是N\R中的任何一個元素。于是〔〕和式中使得第二項為的雙重系數(shù)為：上式中的是指的S的選取為。并且對于任意的都成立。2021-3-3272021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?8定理5.3.1證明〔七〕〔〕式對于一切的都成立，〔〕式對于一切的都成立，相互之間只相差一個符號。而在〔〕中，當R=N時為1，因此：設D是一個支柱，由〔〕和〔〕以及支柱的定義，有：因而公理2得證。2021-3-3282021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?9定理5.3.1證明〔八〕〔3〕驗證公理3由于Shapley值是v的線性函數(shù)，因而公理3自然滿足。Shapley值是滿足三條公理的唯一的維向量。這一個事實可以由公式的推導直接可以得到。2021-3-3292021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕30求解Shapley值〔二〕——

例有三個人準備合作辦一企業(yè)，局中人1僅有核心技術，假設他將技術轉讓可得20萬元；局中人2有資金，假設他將投入企業(yè)的資金用于其他工程投資，可獲得共30萬元；局中人3有很強的組織管理和營銷能力，假設他參與其他企業(yè)效勞，可獲得15萬元收益。假設局中人1和2合作，將企業(yè)承包給第三方，可獲得60萬元；假設局中人1和局中人3合作，由于融資的不暢，但仍可獲得40萬元；假設局中人2和局中人3合作，進行其他工程開發(fā)，考慮到技術原因造成的工程風險，因而年均可獲得65萬元。假設三人合作，可獲得100萬元?，F(xiàn)三人合作后應該對所得如何分配？2021-3-3302021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1將三人合作博弈的特征函數(shù)值重復如下。由〔〕有：該博弈的Shapley值為：求解Shapley值〔二〕——例〔續(xù)〕，2021-3-3312021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕32§5.3.2勢指標

例5.3.1投票的例子定義5.3.4擺盟的定義定義5.3.5Banzhaf-Coleman勢指標例5.3.2Banzhaf勢指標的求解定義5.3.6獲勝聯(lián)盟集和最小獲勝聯(lián)盟集定義5.3.7D-P勢指標例5.3.3D-P勢指標的求解定義5.3.8最小制止聯(lián)盟集定義5.3.9反聯(lián)盟2021-3-3322021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?3例5.3.1投票的例子例設有一個投票博弈，投票人的集合為其中局中人1有3票，其余的局中人各一票。投票規(guī)那么為得票數(shù)超過一半，即到達四票或者四票以上，被投票的決議才能通過。即特征函數(shù)的取值為：

因此可以計算Shapley-Shubik勢指標為：

可以考慮，假設投票規(guī)那么改為所得投票超過總票數(shù)的，即要到達5票時,被投票的決議才能通過。這時的Shapley-Shubik勢指標為多少？2021-3-3332021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?4當人合作博弈是一個簡單博弈時，那么任意聯(lián)盟，的取值為1或0。這時Shapley值的分量為：〔〕在〔〕式中的聯(lián)盟為取勝聯(lián)盟，且為失敗盟約〔見前面的定義〕。由〔〕式組成的維向量稱為Shapley-Shubik勢指標〔Shapley-Shubikindexofpower〕。擺盟的定義2021-3-3342021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5擺盟的定義定義設人合作博弈是一個簡單博弈。是一個聯(lián)盟，即，且滿足：〔1〕〔2〕是一個取勝聯(lián)盟，是一個失敗聯(lián)盟，即，。那么稱為局中人在中的一個擺盟。2021-3-3352021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?6Banzhaf-Coleman勢指標定義設人合作博弈是一個簡單博弈。是局中人的擺盟總數(shù)。稱維向量

為的標準化Banzhaf-Coleman勢指標〔normalizedBanzhaf-Colemanindexofpower〕。其中:〔〕2021-3-3362021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?7Banzhaf勢指標的求解例有一個投票博弈，投票人的集合為。其中局中人1有3票，局中人2有2票，局中人3和局中人4各有1票，投票規(guī)那么為:〔1〕在得票數(shù)超過總票數(shù)一半的情況下，決議通過。〔2〕在票數(shù)超過總票數(shù)的2/3情況下，決議通過。試分析每一個局中人的Banzhaf-Coleman勢指標。2021-3-3372021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?8Banzhaf勢指標的求解〔續(xù)〕〔1〕在得票數(shù)超過總票數(shù)一半的情況下，該博弈的特征函數(shù)的取值為：

在其余聯(lián)盟下，?；蛘哂洖?

假設以賦權多數(shù)博弈表示,設每個人擁有票數(shù)，那么閾值常數(shù)。特征函數(shù)也可記為2021-3-3382021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?9Banzhaf勢指標的求解〔續(xù)〕局中人1的擺盟有：{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}，=6。局中人2的擺盟有:{1,2},{2,3,4}，=2。局中人3的擺盟有:{1,3},{2,3,4}，=2。局中人4的擺盟有:{1,4},{2,3,4}，=2。那么Banzhaf-Coleman勢指標為：2021-3-3392021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕40Banzhaf勢指標的求解〔續(xù)〕〔2〕在票數(shù)超過總票數(shù)2/3的情況下，該博弈的特征函數(shù)為

其余聯(lián)盟為。或者記為：或者記為：2021-3-3402021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1Banzhaf勢指標的求解〔續(xù)〕通過類似〔1〕的計算，，，那么Banzhaf-Coleman勢指標為：我們再考察例。例中，通過簡單的計算Banzhaf-Coleman勢指標為2021-3-3412021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?2Banzhaf勢指標的求解〔續(xù)〕例中將與相比較，可以看到，Banzhaf-Coleman勢指標與Shapley-Shubik勢指標是不相同的。其不同的根據(jù)在于所依賴的公理化體系的不同。Shapley-Shubik勢指標依賴于Shapley制定的三條公理體系。Owen〔1985〕提出了5條公理組成公理體系，在其公理體系下，Banzhaf-Coleman勢指標可以被推導出來，并且是唯一的。2021-3-3422021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?3獲勝聯(lián)盟集和最小獲勝聯(lián)盟集定義人合作博弈是一個簡單博弈。記為的全體取勝聯(lián)盟集。為取勝聯(lián)盟M的子集，并滿足以下的條件:1．?？占豢赡苁侨俾?lián)盟。2．。指一定有中的聯(lián)盟獲勝。3．對于任意的，有。指任何兩個取勝聯(lián)盟都是相關的，并隱含博弈中有專制者或小團體，對取勝聯(lián)盟有重要作用。4．假設；假設，那么，指只考慮取勝聯(lián)盟中的核心聯(lián)盟，不考慮“啞元〞。那么稱為簡單博弈的最小獲勝聯(lián)盟集〔minimawinningcoalitionset〕。同時記局中人i的最小獲勝聯(lián)盟集為：2021-3-3432021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕44D-P勢指標定義設人合作博弈是一個簡單博弈。的D-P勢指標〔Deegan-Packelindexofpower〕是一個維向量。。其中：

〔〕2021-3-3442021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5D-P勢指標的求解例有一個投票博弈，投票人的集合為其中局中人有4票，局中人有2票，其余三人各有1票，投票規(guī)那么為在票數(shù)超過總票數(shù)一半的情況下，決議通過。假設記為各個局中人擁有的票數(shù)。其特征函數(shù)為：經(jīng)過簡單的計算，該博弈的最小獲勝聯(lián)盟集如下：

局中人i的最小獲勝聯(lián)盟集為：經(jīng)過計算，其D-P勢指標為

2021-3-3452021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕46D-P勢指標的求解〔續(xù)〕例有一個投票博弈。其中局中人有2票，記為，局中人b和c各有一票，即。投票規(guī)那么為在得票數(shù)超過總票數(shù)一半的情況下，決議通過。該博弈的特征函數(shù)為：

該博弈的最小獲勝聯(lián)盟，那么其D-P勢指標為：Shapley-Shubik勢指標為：Banzhaf-Coleman勢指標分別為：可見三個勢指標并不一樣。2021-3-3462021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?7最小制止聯(lián)盟集定義人合作博弈是一個簡單博弈。為簡單博弈的最小獲勝聯(lián)盟集。設

〔〕那么為簡單博弈的最小制止聯(lián)盟集，即〔Minimalblockingcoalitionset〕。同時記：〔〕2021-3-3472021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕48反聯(lián)盟D-P勢指標定義設人合作博弈是一個簡單博弈。的反聯(lián)盟〔Blockingcoalition〕D-P勢指標是一個n維向量：

其中：前面三個勢指標大多用于投票博弈的分析，并都是根據(jù)取勝聯(lián)盟的角度反映出局中人的“勢力〞大小。D-P勢指標從另一個角度，即從局中人或局中人聯(lián)盟能阻止取勝聯(lián)盟的能力，來計算勢指標。2021-3-3482021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?9反聯(lián)盟D-P勢指標——例子再看例子。假設，那么。含有最小取勝聯(lián)盟。那么。假設取。即含有取勝聯(lián)盟。假設取不含有任何取勝聯(lián)盟。即聯(lián)盟具有破壞取勝聯(lián)盟的作用，那么。2021-3-3492021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?0反聯(lián)盟D-P勢指標——例子〔續(xù)〕類似的分析后有：利用公式〔〕有那么的反聯(lián)盟D-P勢指標為得到G的D-P勢指標和反聯(lián)盟的D-P勢指標后，還可以按決策的主觀偏好進行加權平均：〔〕其中，是對成功獲勝能力給予的權重，是對阻止獲勝能力給予的權重。顯然具有很強的主觀色彩。2021-3-3502021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1反聯(lián)盟D-P勢指標——例子〔續(xù)〕在此例中，假設取，有：

另外，在例中，可以得到利用博弈中局中人或局中人聯(lián)盟具有破壞和阻止取勝聯(lián)盟形成的這種能力。我們構造了反聯(lián)盟D-P勢指標。這種思想也可以用于對Shapley-Shubik勢指標，Banzhaf-Coleman勢指標的討論。我們可以看到，D-P勢指標和反聯(lián)盟D-P勢指標，與占優(yōu)集中的-核心和談判集具有相似的思想。2021-3-3512021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?2§5.4合作博弈的應用§5.4.1本錢分攤博弈§5.4.2石油市場博弈2021-3-3522021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕53§5.4.1本錢分攤的博弈

例5.4.1信號傳輸?shù)馁M用分攤問題例5.4.2多用途水壩問題2021-3-3532021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕54費用分攤問題例有三個村莊合作在一個附近山峰上修建了一座電視接收塔，并用通訊電纜將信號傳送到三個村莊。設電視接收塔所在地為0，三個村莊的所在地分別為1，2，3。任意兩地之間架設通訊電纜的本錢費用標注在右圖中，單位為萬元。2021-3-3542021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5例5.4.1〔續(xù)〕假設暫不考慮電視接收塔和信號中轉站的本錢費用。只考慮通訊電纜的架設本錢，我們可以清楚的看到，只須在〔0，1〕之間，〔1，2〕之間和〔1，3〕之間假設電纜，就可以滿足傳輸信號的要求，總本錢是25萬元。現(xiàn)在問題是，這25萬元的總本錢應該在三個村莊之間中如何分攤？例求解過程2021-3-3552021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?6例求解過程這仍然是一個合作博弈的問題，記該博弈為表示本錢分攤的局中人集合，特征函數(shù)表示分攤本錢的局中人組成聯(lián)盟后應分攤的本錢，即使得中每一個成員都能接受到電視信號所需的最小本錢費用。那么有：

這里我們不難看出，在特征函數(shù)解定義中，應將〔〕式的不等號反向，即：這是本錢分攤博弈對特征函數(shù)的特定要求對本錢分攤博弈，我們先就其轉歸集和核心進行討論。設是一個轉歸，即一個分攤方案，那么應滿足:記全體轉歸為轉歸集2021-3-3562021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?7例求解過程〔續(xù)〕其中〔〕仍是個體合理條件，〔〕仍是集體合理性條件。與前面定義的轉歸集定義的差異：〔〕式和〔〕式不等號方向發(fā)生了變化，這表達本錢分攤的特點。在本錢分攤博弈中，其核心的定義為：〔〕與前面核心的定義相比較。〔〕與〔〕式中的不等好方向發(fā)生了變化，這也表達了本錢分攤的特征。在該例子中，一個轉歸的具體表示為：2021-3-3572021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕58例求解過程〔續(xù)〕

對此可作一個高為25的重心三角形。并在此重心三角形內畫出轉歸集為五邊形AEFGH，核心為四邊形ABCD。192021-3-3582021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕59例求解過程〔續(xù)〕同樣可以定義強核心為〔〕并記為最小強核心，即，其中是使的最小值。在此例中，該博弈的Shapley值為：

2021-3-3592021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕60多用途水壩問題例假設在某河段上修水壩滿足該地區(qū)的各種利益，比方洪水控制，導航，灌溉發(fā)電以及城市用水。水壩修建的本錢將在所有獲利部門中進行分攤，應該如何分攤呢？這是典型的本錢分攤博弈。2021-3-3602021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?1多用途水壩問題〔續(xù)〕設某水壩其修建的目標有3個，導航，控制洪水和發(fā)電。效勞這些目標的水壩修建本錢如下表所示列〔單位：億元〕例求解過程2021-3-3612021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕62求解過程類似于例，該例中本錢分攤博弈中，特征函數(shù)的取值即上表中對應的第二行值?？梢郧蟪鲈摬┺牡暮诵暮妥钚『诵?。2021-3-3622021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?3求解過程〔續(xù)〕上面重心三角形中〔其高為〕其核心為六邊形，各點的坐標分別為：

其最小核心為：該博弈的Shapley值為：2021-3-3632021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕64§5.4.2石油市場博弈

例5.4.3國家1生產石油，其石油可在國內消費，如改善交通運輸條件，每桶油可獲利元。國家2不生產石油，但它可以將石油由于制造業(yè)生產。每桶油可獲利元。國家3也不生產石油，但它可以將石油用于食品業(yè)生產，每桶油獲利元。其中。這里，特征函數(shù)可規(guī)定如下：

2021-3-3642021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?5§5.4.2石油市場博弈〔續(xù)〕〔1〕博弈的轉歸集。在下面高度的重心三角形中，轉歸集是三角形。其中A和B為的直線分別與直線12和直線13相交的交點。2021-3-3652021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?6§5.4.2石油市場博弈〔續(xù)〕〔2〕博弈的核心。假設，那么的充分條件為：由立即有。將代入上面方程組，有核心為上圖中的線段1E,E點為直線與直線13的交點。，并且。即核心就為最小核心。2021-3-3662021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢裕〕67§5.4.2石油市場博弈〔續(xù)〕〔3〕穩(wěn)定集設的穩(wěn)定集為。首先從定理，考慮，取即線段，顯然上的任何轉歸不相互優(yōu)超，滿足內切穩(wěn)定性。且內任意轉歸都可以被上某個轉歸優(yōu)超。因而是一個穩(wěn)定集。2021-3-3672021-3-3?博弈論及其應用?〔汪賢?！?8§5.4.2石油市場博弈〔續(xù)〕〔4〕談判集:由在上對的異議存在異議的充分必要條件是，而核心中的任何轉歸有。因此，對于核心中的轉歸，不可能有對的異議。因而核心是一個談判集。即。假設有轉歸，那么局中人1在上對局中人2可以提出異