2023高考數(shù)學(xué)知識(shí)方法回顧篇

【考前叮嚀】備戰(zhàn)2023高考數(shù)學(xué)

第一篇知識(shí)方法回顧篇

回顧1集合、常用邏輯用語(yǔ)不等式

1.集合

（1）集合的運(yùn)算性質(zhì)

①交換律：AUB=^BUA；AQB^BQA；

②結(jié)合律：（/u8）uc=/iu（8uc）；（jnfi）r）c=jn（5nq；

③分配律：（xri8）uc=（/uc）n（8uc）；（/u8）nc=（/cc）u（8nc）：

④（［:Mn（（M）；Ci<jns）=（C^）u（CuB）；

⑤ACB=B0B=A.

（2）子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式

對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2“2」12」12

-2.

（3）集合運(yùn)算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是

抽象集合，用Venn圖求解.

2.充分條件與必要條件的三種判定方法

（1）定義法：正、反方向推理，若pOq,則p是q的充分條件（或4是p的必要條件）；若p=>q,且4#/，，

則p是q的充分不必要條件（或q是p的必要不充分條件）.

（2）集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，命題p：xC/,命題辦xWB,若力18,則p是q的充分條件

（q是p的必要條件）；若"MB,則p是《的充分不必要條件（q是p的必要不充分條件）；若p=q,則p是q

的充要條件.

（3）等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

回顧2不等式

1.不等式的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：如果那么b<a；

如果b<a,那么a>h.

即a>b=b<a.

（2）性質(zhì)2：如果a>6,b>c,那么a>c.

即a>h,h>c=>a>c.

（3）性質(zhì)3：如果a>6,那么a+c>6+c.

（4）性質(zhì)4：①如果a>h,c>0那么ac>bc.②如果a>h,c<0,那么ac<bc.

（5）性質(zhì)5：如果a>6,c>d,那么a+c>b+d.

⑹性質(zhì)6：如果a>6>0,c>d>0,那么ac>6d.

（7）性質(zhì)7：如果。>6>0,那么a">b",（nGN,?>2）.

1

(8)性質(zhì)8：如果〃>b>0,那么切>夠，(〃￡N,n>2).

2.常用結(jié)論

(1)倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論

①a>b,ab>0^~<~.

ab

②a〈Ov6nL:2.

ab

?a>b>O,O<c<d^-^.

cd

?Q<a<x<b或a<x<b<0=^^-<^<-.

bxa

(2)兩個(gè)重要不等式

若a>b>0,m>0,則

h+mbb-m..八、

aa+maa—m

泌上組4a(i>o).

bb+mbb-m

3.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷對(duì)應(yīng)方程/的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一

元二次方程)：四寫(大于取兩邊，小于取中間).

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次

函數(shù)的開(kāi)口方向；②判別式4它決定根的情形，一般分/>0,/=0,/<0三種情況；③在有根的條件下，

要比較兩根的大小.

4.不等式恒成立問(wèn)題

(1)一元二次不等式恒成立問(wèn)題

①ax2+6x+c>0(aW0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足卜>°:

U<o

②"2+bx+c20(“W0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足匕、。；

③辦2+6x+c<0(a#0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足卜<°:

U<0

④&+法+cW0(“#0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足-

(2)含參數(shù)的一元二次不等式恒成立.若能夠分離參數(shù)成長(zhǎng)/(x)或份/(x)形式.則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求

解.

設(shè)Xx)的最大值為M,最小值為m.

①左勺(x)恒成立上(/(X)恒成立臺(tái)〃WM

②心公)恒成立0女>”,女友/a)恒成立

2

5.分式不等式

^>0(<0)0/(x)g(x)>0(<0)；

g(x)

?》。0)0卜淤聲°伐°)'

g(x)lg(x)WO.

6.基本不等式

(1)基本不等式：審》痂(0,bG(O,+8)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

基本不等式的變形：

22

?a+b^2ab(a9b￡R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；

②圖2

2ab(a,*GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、

“等”的條件.

***7.線性規(guī)劃

(1)可行域的確定，“線定界，點(diǎn)定域”.

(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.

(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè).

8.絕對(duì)值不等式的解法

(1)形如|ax+b|2|cx+d1的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|Wc(c>0)和Iax+b|2c(c>0)型不等式

①絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集

不等式a>0a=0a<0

|“<Za{j'-00

|11〉Q{?z|l>Q或/〈一。}{N[%W0}R

②|ax+bWc(c>0)和lax+blec(c>0)型不等式的解法lax+blWco—cWax+bWc(c>0),|ax+

b|》c=ax+b，c或ax+bW-c(c>0).

(3)形如|x-a]+|x-b2c(或Wc)型的不等式主要有三種解法：

①分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(一8,a],(a,b],(b,+8)(此處設(shè)

a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集.

②幾何法：利用除一a|十|x—b1>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)X1=a和x2=b的距離之和大于c的全體,

X—a|+|x—b|2|x—a—(x—b)|=|a—b.

③圖象法：作出函數(shù)％=|x—a|+|x—b]和丫2=。的圖象，結(jié)合圖象求解.

9.絕對(duì)值不等式的應(yīng)用

如果a,b是實(shí)數(shù)，那么|a+b|W|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)abeO時(shí)，等號(hào)成立.

3

10.兩類含絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題

一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題，或利

用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：Ua|一|b||W|a±b|W|a|+|b|,通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜

合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用

一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明.

11.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想

(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

12.求/3)=|x+a|+|x+3和/(x)=|x+a|—|x+b|的最值的三種方法

(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對(duì)值為定值.

(3)利用絕對(duì)值的幾何意義.

回顧3復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(D復(fù)數(shù)的概念：

形如a+歷(a,6CR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a,6分別是它的實(shí)部和虛部.若6=0,則a+沅為實(shí)數(shù)；若

則a+玩為虛數(shù)；若a=0且。W0,則a+歷為純虛數(shù).

步不宜蕤為羸鹿T一不反囊菽-前為五一速獺錄虛割示石3；

(2)復(fù)數(shù)相等：2+歷=。+式0@=。且6=d(a,b,c,<76R).

(3)共輾復(fù)數(shù)：a+歷與c+di共輾oa=c,b——d(a,b,c,dGR).

(4)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6GR)的模，記作Iz|或|a+6i|,EP|z|=Ia+bi\—\ja~+b\

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一^對(duì)應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi"(----------**復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,6)(a,，￡R).

復(fù)數(shù)z=a+歷a,b￡R的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為a,b,而不是a,歷,

一一對(duì)應(yīng)—>

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,Z?￡R)-<---------呼面向量0Z.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)4=&+厲，z2—c+di(a,b,c,d￡R),則

①加法：Z]+z2=Q+歷)+(c+di)=Q+c)+(b+d)i；

②減法：Zj—z2=(a+Z?i)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i；

③乘法：Z]?Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac—6中+(ad+bc)i；

④除法：包=型=(“+bi)(c-嘰生墳+組網(wǎng)(c+di￥o).

22c+di(c+di)(c-di)c2-\-cPc2-\~cP

4

(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

設(shè)4,Z,%ec,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律：

①交換律：z,+z,=z,+z,；

②結(jié)合律：(4+22)+4=4+3+23).

4.常用結(jié)論

(l)(l±i)2=±2i,=i，二^=一i.

1—11+1

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n￡N')；

i4"+i4,t+'+i4n+2+i4"+3=o(〃wN*).

(4)共輸與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)算性質(zhì)有：

22

(1)Z]+z2=z]±z2；(2)Z]XZ2=Z]XZ2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)HzJ-lz，[]<|Z]+z2|<|zl|+|z2|；

⑸1附同訃㈤；⑹五書.

***5.復(fù)數(shù)的三角形式、運(yùn)算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成《cos6+isin。)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；6是以x軸

—>

的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+所的輻角，我們規(guī)定在0W6

<2兀范圍內(nèi)的輻角6的值為輻角的主值，通常記作argz.r(cos6+isin。)叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的三角表示式，

簡(jiǎn)稱三角形式.。+齒叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.

(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算

若復(fù)數(shù)zi=n(cos仇+isin仇),Z2=「2(cos仇+isin。2)，且zRz2,則

?ziZ2—ri(cosd+isin")72(cosft+isin灰尸

八以cos(0+&)+isin(仇+仇)]

②zincos6i+isin&

Z2ncosft+isinO2

——[cos(0i—02)+isin(0i—仇)].

ri

即：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻

角所得的差.

回顧4平面向量

—,向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的.

5

3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.（1）非零向量a與島的關(guān)系：?是與a同方向的單位向量，-

\a\\a\

島是與a反方向的單位向量.

|a|

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：。與任一向量共線.

5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

二.平面向量的線性運(yùn)算

（一）向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

巴(1)交換律：

a

cr\-b^lr\-a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

(2)結(jié)合律：

a(a+b)+ka+(什c)

平行四邊形法則

求a與6的相反向量

減法一〃的和的運(yùn)算叫做a

a

與b的差三角形法則

（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1.定義：實(shí)數(shù)義與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作腦，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

①網(wǎng)=囚同；

②當(dāng)時(shí)，幼的方向與。的方向相同；當(dāng)kO時(shí).，筋的方向與a的方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，2a=0.

2.運(yùn)算律：設(shè)九〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則：

①；②（4+〃）片4a；?2（a+Z＞）=2a+2t.

三.共線向量

共線向量定理：向量”（存0）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得6=觴.

四.平面向量基本定理

如果的，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量”，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，22,

使⑻+小02.我們把不共線的向量約，02叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

五.向量a與b的夾角

已知兩個(gè)非零向量。和A作晶=a，OB=b,則//。8=伏0。?。忘180。）叫做向量。與6的夾角.當(dāng)。=0。

時(shí)，。與6同向:當(dāng)。=180。時(shí)，a與b反向.如果。與Z＞的夾角是90。,我們說(shuō)a與6垂直，記作U4

6

六.平面向量的數(shù)量積

⑴若0,6為非零向量，夾角為一則〃力=13網(wǎng)cos。

(2)設(shè)a=(x],y\)y8=(x2,歹2),貝U。?方=迎迂紅匕.

(3)年”的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度同與b在a的方向上的投影網(wǎng)cos。的乘積.

七.兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件

若。=(xi,yi)fb=g,聞，則

(1)僅〃bQa=Zb(b/0)0制"2一檢次=0.

(2)a±b0a'b=0<=>迎"h兇"三

A.利用數(shù)量積求長(zhǎng)度

(1)若〃=a，刃，則同=江^="2+爐.

(2)若4(xi，y\),8(x2，%)，則

\AB\=為3-巾>+儂―yip.

九.利用數(shù)量積求夾角

設(shè)防分為非零向量，若”=(孫6)，6=(X2,/)，。為。與b的夾角,

a,b=XIR+JI”

則cos0=

十.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)。為△Z8C所在平面上一點(diǎn)，角/,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則

(1)0為△A8C的外心01al=|為|=|歷|=一^~.

2sin/

(2)0為AABC的重心㈡E1+為+沆1=().

(3)0為/\ABC的垂心㈡萬(wàn)1?加=為?成?=灰??①.

(4)0為△/BC的內(nèi)心0“為+分為+<7歷=0.

回顧5三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.終邊相同角的表示

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S="步=a+k360。，k《Z｝,即任一與角a終邊

相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

2.幾種特殊位置的角的集合

(1)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合：｛a|a=h360。，k^Z｝.

(2)終邊在x軸非正半軸上的角的集合：｛他=180。+h360。，AGZ｝.

(3)終邊在x軸上的角的集合：｛a[a=AH80。，k&Z｝.

(4)終邊在y軸上的角的集合：｛a|a=90o+A180°,JfcGZ｝.

(5)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：｛a|a=》90。，k&Z｝.

(6)終邊在夕=》上的角的集合：｛a|a=45°+A-180°,kb].

(7)終邊在y=-x上的角的集合：｛研2=-45。+4?180。，k《Z].

7

(8)終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合：{a|a=A-45。，ACZ}.

3.1弧度的角

在圓中，把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示.

4.正角、負(fù)角和零角的弧度數(shù)

一般的，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

5.角度制與弧度制的換算

JT

(1)1°=—rad.

180

(2)1rad=K)°.

6.如果半徑為，?的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,那么，角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是悶=L

r

相關(guān)公式：(1)/=鬻=汕.

1oO

7.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)

設(shè)。是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸a，咒，那么:

(1?叫做a的正弦，記作sina,即sina=y.

(2)x叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=x.

(3產(chǎn)叫做。的正切，記作tana,即tanQ=%W0).

xx

8.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

⑴平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1=>sin1=±業(yè)一cos2a.

(2)商的關(guān)系:皿=/*嘮51

cosa

9.三種三角函數(shù)的性質(zhì)

正弦函數(shù)^=5沿工余弦函數(shù)^=85%正切函

圖象

定義域RR{小刊+%兀，A-6Z}

值域[—1,1](有界性)[—1,1](有界性)R

零點(diǎn){x\x=kn,%WZ}{x[x=]+E,kGZ}{小=E,kez}

最小正周期2n2兀71

奇偶性查函數(shù)假函數(shù)直函數(shù)

8

[一1+〃兀

---\-2kn

一2，[—兀+2%%,

增區(qū)間

2E]/￡Z)—+^7r|

單調(diào)—2+2ATI」(2￡Z)2J(A^ez)

性

g+2?,y+

減區(qū)間\2kn,n+2kn](k^Z)

2E](攵￡Z)

對(duì)稱軸x=：+E(%ez)x=E/￡Z)

對(duì)稱

對(duì)稱中

性(~+laiol

電0)(%￡Z)UfJ/￡Z)(f°Lez)

心

10.函數(shù)y=Asin(3x+4>)(3>0,A>0)的圖象

(1)“五點(diǎn)法”作圖

設(shè)z=(or+0,令z=0,；,兀，段，2兀，求出相應(yīng)的x的值與y的值，描點(diǎn)、連線可得.

(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口.

(3)圖象變換

產(chǎn)sinx—粵翁冷黑於一產(chǎn)sin(x+p)—士弋?普設(shè)空一產(chǎn)sin(5+°)

7平移I柯個(gè)單位長(zhǎng)度z縱坐標(biāo)不變'

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的44>0)倍

fy=4sin(s+@).

11.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式

對(duì)于，，骨扇皿”的三角函數(shù)值與a角的三角函數(shù)值的關(guān)系口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

12.三角函數(shù)恒等變換

(1)cos(a+g)=cosacos夕一sinasin6,

cos(a-。)=cosacos6+sinasin6,

sin(a+4)=sinacos夕+cosasisfi,

sin(a—jfi)=sinacos6-cosasin6,

/,c、tana+tanB

tan(a+為=----------

1—tanatanp

gwE+彳,kGZ,夕WE+言keZ,ct+夕WE十多kGZ

/門、tana—tan5

tan(a一夕)=---------

1+tan?tan0

12?+：,kez,4#E+：,左ez,q一6/女兀+j,左ez

sin2a=2sinacosa,

cos2。=cos2a—sin2a=2cos2c-1=1—2sin2g,

9

2tana

tan2a=

1-tan26t

支，kCZ,2a#E+匹，kRZ,a#A7iF,kGZ

I224

(2)輔助角公式

/-------1iacosx+=^=sinx\

acosx+/?sinx=yja2+b?[^a2+b2+b2J,

令sin0=-j==cos0=-j=^=

\la2+b29\la2+b29

QCOSx+bsinx=\a2+Z?2sin(x+6),

其中。為輔助角，tan

b

13.正弦定理及其變形

-2—=-=-^=2R(2R為L(zhǎng)ABC外接圓的直徑).

sinAsinBsinC

變形：〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=27?sinC.

sinA,sinB=—,sinC=—.

2R2R2R

a：b：c=sin4：sin5：sinC.

14.余弦定理及其推論、變形

4=尻+”—2bccos4,b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2-\-b2—2abcosC.

推論：cos力=〃+…吟cos8聲j

2bclac

cosC=

lab

變形：b2+c2—a2=2bccosA,a2+c2—Z>2=2accosB,

a2+b2-c2=2abcosC.

15.面積公式

^csinA=^acsinB=^absinC.

回顧6數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

一、數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

1.數(shù)列的定義

按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一項(xiàng)叫做數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的項(xiàng)在這列數(shù)中是第幾項(xiàng)，則

在數(shù)列中是第幾項(xiàng).一般記為數(shù)列{an}.

對(duì)數(shù)列概念的理解

(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序

有關(guān)，這有別于集合中元素的無(wú)序性.因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不

10

同的兩個(gè)數(shù)列.

(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別.

2.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

按項(xiàng)數(shù)分類

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

遞增數(shù)列%+1>%

按項(xiàng)與項(xiàng)間的

遞減數(shù)列<a?其中n￡N+

大小關(guān)系分類

常數(shù)列=%

有界數(shù)列存在正數(shù)使

按其他標(biāo)準(zhǔn)分

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

(ln的符號(hào)正負(fù)相間，如1,—1,1,3.

類擺動(dòng)數(shù)列

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正

-1,...

整數(shù)集N*和正整數(shù)集N*的有限子集.

所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點(diǎn).

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列｛*｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)”之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公

式.即可=/(〃),不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也不是每一個(gè)數(shù)列都有一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公式.

S、(〃=1)

5.數(shù)冽｛%｝的前〃項(xiàng)和S“和通項(xiàng)/的關(guān)系：an=

6.S“與a”關(guān)系問(wèn)題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用a,,=S—Si(〃22)轉(zhuǎn)化為只含S,，的關(guān)系式，再求解.

(2)利用5"一￡_產(chǎn)當(dāng)522)轉(zhuǎn)化為只含a.,a.1的關(guān)系式，再求解.

7.已知￡求a,的三個(gè)步驟

(1)先利用求出a,.

(2)用〃一1替換￡中的〃得到一個(gè)新的關(guān)系，利用2=￡一￡一(力22)便可求出當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.

(3)對(duì)〃=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合〃22時(shí)a”的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合

寫；如果不符合，則應(yīng)該分”=1與〃》2兩段來(lái)寫.

8.常見(jiàn)遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式方法：

(1)累加法：%+「%=/(〃)

(2)累乘法：&包=/(〃)

4

11

（3）待定系數(shù)法：an+｛=pan+q（其中均為常數(shù)，（pq（p-l）wO））

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+l-t=p（an-t）,其中/=/二，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

二.數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取

值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點(diǎn)，因此,

在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.

數(shù)列的性質(zhì)主要指：

1.數(shù)列的單調(diào)性--遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；

2.數(shù)列的周期性.

三、牢記概念與公式

等差數(shù)列、等比數(shù)列（其中〃CN*）

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式ati=a\-\-(n-\}d

S尸必土必必+

⑴產(chǎn)1,s產(chǎn)婦團(tuán)=g組

2

前n項(xiàng)和1—q1—q

〃（〃一1）

(2)q=l,Sn=na\

2

四、活用定理與結(jié)論

（1）等差、等比數(shù)列｛.“｝的常用性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

①若加，n,p,夕￡N”,①若p,q￡N*,且加

且〃?+〃=p+夕，則%〃+4〃=；+〃=p+q,貝lj即q；

性質(zhì)?an=助+（n-m）d；

③S”，S[n—Sm，邑小一S2,”，…仍成等差@Sm,S2,n—Sm,S3,"—S2,",…

數(shù)列仍成等比數(shù)列⑸,W0)

（2）判斷等差數(shù)列的常用方法

①定義法

（常數(shù)）（〃CN*）仁＞｛%｝是等差數(shù)列；

②通項(xiàng)公式法

a〃=pn+q（p,q為常數(shù)，〃￡N*）＜=＞｛〃〃｝是等差數(shù)歹U；

③中項(xiàng)公式法

2an+\=an+an+2（n2N*）＜=＞｛a〃｝是等差數(shù)列；

④前〃項(xiàng)和公式法

12

S?=An2+Bn(A,8為常數(shù)，”CN*)㈡｛%｝是等差數(shù)列.

(3)判斷等比數(shù)列的常用方法

①定義法

—是不為0的常數(shù)，〃eN*)O｛a.｝是等比數(shù)列；

②通項(xiàng)公式法

an=cq"(c,4均是不為。的常數(shù)，〃WN*)O｛a”｝是等比數(shù)列;

③中項(xiàng)公式法

4+1=。".?！?2(。"為+「?！?2片0,"WN")0｛°"｝是等比數(shù)列.

五.數(shù)列求和的常用方法

(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和.

(2)通項(xiàng)公式形如｛斯力“｝(其中｛斯｝為等差數(shù)列，也〃｝為等比數(shù)歹U)的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和.

(3)通項(xiàng)公式形如飆=,一:，、(其中a,b\,b2,c為常數(shù))用裂項(xiàng)相消法求和.

(an+b\)(an-rb2)

(4)通項(xiàng)公式形如期=(-1)"?〃或%=0(一1)"(其中。為常數(shù)，”CN*)等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)列求和一般用并項(xiàng)

法.并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分〃為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.

⑸分組求和法:分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成?！?斯+d形式的數(shù)列求和問(wèn)題的方法，其中｛%｝與｛5｝

是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.

(6)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求S,.

六.數(shù)學(xué)歸納法

用數(shù)學(xué)歸納法證明分以下兩個(gè)步驟：

(1)證明當(dāng)”=1時(shí)，命題成立；

(2)假設(shè)”=機(jī)時(shí)，命題成立，那么可以推導(dǎo)出在〃=加+1時(shí)命題也成立.("?代表任意自然數(shù))

回顧7立體幾何與空間向量

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(-)多面體的結(jié)構(gòu)特征

多面體結(jié)構(gòu)特征

棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)面的交線都平行且相等

棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分

(二)旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線

圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線

13

球半圓直徑所在的直線

(三)簡(jiǎn)單組合體

簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部

分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

二、空間幾何體的直觀圖

簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，基本步驟是：

(1)畫幾何體的底面

在已知圖形中取互相垂直的X軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)0,畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的X,軸、，軸,

兩軸相交于點(diǎn)。'，且使Nx'O'y'=45?；?35。，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平

行于x'軸、V軸.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

原來(lái)的一半.

(2)畫幾何體的高

在已知圖形中過(guò)。點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z'軸，也垂直于『O'y'平面，己知

圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z'軸且長(zhǎng)度不變.

***三、三視圖

(1)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫

三視圖的基本要求：正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高.

(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正

視圖一樣，寬度與俯視圖一樣.

四、柱、錐、臺(tái)、球體的表面積和體積

側(cè)面展開(kāi)圖表面積體積

直棱柱長(zhǎng)方形S=2S底+S例V=S^-h

圓柱長(zhǎng)方形$=2標(biāo)+2仃/V=nt2'l

棱錐由若干個(gè)三角形構(gòu)成s=s底+S惻/=緊〃

圓錐扇形S=Tir1+7trl/=:/?/?

3

棱臺(tái)由若干個(gè)梯形構(gòu)成s=s上底+S卜底+S倒+S')-h

2

圓臺(tái)扇環(huán)S=itrr2+兀(尸+廠‘)/+兀戶%=$(a+/7*'+r')h

3

球S=4nr2V=\it

3

五、平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖

14

面面平行的判定

(1)面面平行的性質(zhì)

面而垂直的判定

國(guó)］線面垂直的判定」線面L面面垂直的判定一阿方

垂直’線面垂直的性質(zhì)’|垂直『面面垂直的性虎二垂直

nc____________________Z____________________r

面面垂直的性質(zhì)

(2)兩個(gè)結(jié)論

-a-Lal/a//b

①=>a〃6；②，=>b_La.

6_LcJa_La

六、用空間向量證明平行、垂直

設(shè)直線/的方向向量為a=(ai，b\,ci),平面a,”的法向量分別為"=(。2,bi,ci),v=(a3,bi,ci).則有:

(1)線面平行

/〃a㈡a-L〃㈡a7/=00aia2+〃ib2+ciC2=0.

(2)線面垂直

/J_a㈡臺(tái)a=A//0al=左〃2，b\=kbi,ci=kc2-

(3)面面平行

a〃4臺(tái)"〃,02=263，。2=2。3.

(4)面面垂直

a_L世*卜±?v=0-a2a3+b2b3+c2c3=0.

七、用向量求空間角

(1)直線/1,/2的夾角6滿足COS9=|COS</|,/2)1(其中/1,/2分別是直線/|，，2的方向向量).

(2)直線/與平面a的夾角9滿足sind=|cos〈/,〃〉|(其中/是直線/的方向向量，”是平面a的法向量).

(3)平面a,夕的夾角。滿足cosO=|cos<m，n2>|，則二面角a—/一￡的平面角為6或兀一0(其中m，”2分別是

平面a,4的法向量).

回顧8平面解析幾何

一、直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

①定義.當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線/向上的方向之間所成的角a

叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

②范圍：傾斜角a的范圍為0?a<?.

2.直線的斜率

①定義.一條直線的傾斜角90°)的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母上表示，即

k=tana,傾斜角是90。的直線沒(méi)有斜率.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，a=0°,k=tan00=0.

15

②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)[區(qū)，乂)，P2(x2,8)(玉力4)的直線的斜率公式為％=三二與

X2—%

3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率.傾斜角為90°的直線斜率不存在.

4.直線的傾斜角a、斜率”之間的大小變化關(guān)系：

TT

(1)當(dāng)ae[0,5)時(shí)，A＞0,a越大，斜率越大；

JI

(2)當(dāng)(/6(彳,乃)時(shí)，左＜0,a越大，斜率越大.

二、直線方程的五種形式

(1)點(diǎn)斜式：1一0=%G—xi)(直線過(guò)點(diǎn)治仿,力)，且斜率為A,不包括y軸和平行于y軸的直線).

(2)斜截式：》=去+6(6為直線/在夕軸上的截距，且斜率為上不包括夕軸和平行于夕軸的直線).

(3)兩點(diǎn)式：匚江=2二(直線過(guò)點(diǎn)Pg,力)，Pi(X2,y2),且為WX2,力不包括坐標(biāo)軸和平行于坐

y2-y\X2-x\

標(biāo)軸的直線).

(4)截距式：王+'=15，6分別為直線的橫、縱截距，且aWO,6W0,不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過(guò)

ab

原點(diǎn)的直線).

(5)一般式：Ar+W+C=O(其中/,8不同時(shí)為0).

三、直線的兩種位置關(guān)系

當(dāng)不重合的兩條直線/＞和Z2的斜率都存在時(shí)：

⑴兩直線平行：l\〃I吊k\=h.

(2)兩直線垂直：/山2臺(tái)&;&三二1.

提醒當(dāng)一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略.

四、三種距離公式

⑴已知4(xi,yi),8(x2，及),兩點(diǎn)間的距離

\AB\—\l(X2—X])2+(y2—yt)2.

(2)點(diǎn)到直線的距離學(xué)均(其中點(diǎn)尸(xo,次)，直線方程為/x+8y+C=0(Z2+4￥0)).

\IA2+B2

2

(3)兩平行線間的距離d=畢二0(其中兩平行線方程分別為/i：Ax+By+C^O,/2：Ax+By+Ci^O(A+

yjA2+B2

/HO)).

提醒應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中x,y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等.

五、圓的方程的兩種形式

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(-2

(2)圓的一般方程：苫2+?2+瓜+￡丫+尸=0(。2+￡2—440).

六、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離.

16

判斷方法：代數(shù)判斷法與幾何判斷法.

(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含.

判斷方法：代數(shù)判斷法與幾何判斷法.

七、圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

名稱橢圓雙曲線拋物線

點(diǎn)尸不在

\PFI\+\PF\=\\PFI\-\PF\\=

定義22直線/上，PMJJ交1

2a2cQv歷Bl)

于點(diǎn)M

5+1=1(心6>0)三一二=1(。>0，b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)

azbz

卜

圖形

范圍|x|W4,例|x|/

頂點(diǎn)(ia,0),(0,±b)仕dO)皿

對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于X軸對(duì)稱

焦點(diǎn)(土c,0)

軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)區(qū),短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)%,虛軸長(zhǎng)2b

幾何

C

性質(zhì)e=-=

a

離心率e=l

準(zhǔn)線T

y=^-x

漸近線

a

八、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷方法：通過(guò)解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進(jìn)行判斷.

弦長(zhǎng)公式：\AB\=^/T+P|xi—%2|?

或網(wǎng)=Y1+p[yi-yi\.

九、解決范圍、最值問(wèn)題的常用方法

(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解.

(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.

(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.

十、定點(diǎn)問(wèn)題的思路

17

（1）動(dòng)直線/過(guò)