第二章交流電機(jī)坐標(biāo)變換

第二章交流電機(jī)坐標(biāo)變換第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-1:變換概述一個(gè)電機(jī)系統(tǒng)的磁鏈方程可以寫成：假定存在一個(gè)非奇異矩陣T，將Φ變換成Φc，將I變換成Ic：新的磁鏈φ1、φ2、…、φn稱為實(shí)際磁鏈φA、φB、…、φN的分量；同樣i1、i2、…、in稱為實(shí)際電流的分量。第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四所以或者其中如果變換T明顯使得新的電感矩陣Lc較變換前的電感矩陣L簡單，這個(gè)變換才是有意義的。如果Lc變成一個(gè)對(duì)角矩陣，那這個(gè)變換是最理想的：利用這個(gè)變換，磁鏈方程變成：第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2:循環(huán)矩陣的對(duì)角化1.電感矩陣的特點(diǎn)2.循環(huán)矩陣的對(duì)角化3.電感矩陣的對(duì)角化4.變換矩陣的一般化5.三階循環(huán)對(duì)稱電感矩陣的變換第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2.1電感矩陣的特點(diǎn)#由于互感的對(duì)等性，電感矩陣是對(duì)稱矩陣：由于Mij=Mji,n階對(duì)稱矩陣中只有n(n+1)/2各不同的元素。第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#n相對(duì)稱系統(tǒng)的電感矩陣是循環(huán)的n相對(duì)稱系統(tǒng)中各相自感相等，相同相對(duì)位置的兩相間的互感相等。即：這樣的矩陣稱為循環(huán)矩陣。n階循環(huán)矩陣只有n個(gè)不同的元素：若n階循環(huán)矩陣又是對(duì)稱的，則根據(jù)n是奇數(shù)或偶數(shù)，其中只有(n+1)/2或(n+2)/2個(gè)不同的元素。第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#最簡單的循環(huán)矩陣不難證明，循環(huán)電感矩陣可以表示成根據(jù)矩陣?yán)碚摚魏慰梢詫?duì)角化矩陣π的變換T，也可以對(duì)角化循環(huán)矩陣L。矩陣π稱為置換矩陣。第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2.2循環(huán)矩陣的對(duì)角化n階置換矩陣π的n個(gè)特征根由下面特征方程給出：或者因此這樣，矩陣π的n個(gè)特征根由下式給出：第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四解這個(gè)方程得到n個(gè)特征根：若記則為求與特征根λk對(duì)應(yīng)的特征向量，將之代入特征方程，并令，得按k=n-1,n-2,…,1,0的順序，將各特征根代入上式就得到n個(gè)特征向量。第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四這個(gè)變換矩陣將使置換矩陣π變成如下的對(duì)角矩陣：n個(gè)特征向量構(gòu)成了如下的變換矩陣：n個(gè)特征向量構(gòu)成了如下的變換矩陣：第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2.3電感矩陣的對(duì)角化由此可以推導(dǎo)得同樣地這樣第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四變換后的電感矩陣由于D，D2，…，Dn-1是對(duì)角矩陣，因此LT也是一個(gè)對(duì)角矩陣：第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2.4變換矩陣的一般化若在生成特征向量時(shí)，不是令x1=1，而是令其等于一個(gè)模為1的復(fù)數(shù)，則由此得到更加一般化的變換矩陣式中ζ0，ζ1，…，ζn-1可以是常數(shù)，或是一個(gè)變量，如時(shí)間t，的函數(shù)。第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-2.5三階循環(huán)對(duì)稱電感矩陣的變換對(duì)于一個(gè)三階的循環(huán)矩陣，其變換矩陣為若同時(shí)電感矩陣是對(duì)稱的，如隱極電機(jī)定子繞組的電感矩陣：它的特征根由一個(gè)單重根λ1和一個(gè)兩重根λ2構(gòu)成：第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四與這三個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征向量因此變換矩陣為：為保證變換矩陣的可逆，上式中第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-3：1、2、0及F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng)F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-3.1:1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng)從a、b、c坐標(biāo)或相坐標(biāo)系統(tǒng)到1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng)的變換矩陣除一個(gè)系數(shù)外，就是前面曾導(dǎo)得的矩陣F也就是說或者變換逆變換第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#對(duì)于隱極電機(jī)定子電感矩陣為變換后的電感矩陣為：#120分量法與慣用的對(duì)稱分量法在基本形式上是一樣的。但120坐標(biāo)變換中ia、ib、ic是瞬時(shí)值；而對(duì)稱分量法中是隨時(shí)間做正弦變化的復(fù)數(shù)時(shí)間向量。第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四＃使變換前后的功率保持不變變換矩陣的系數(shù)1/3是根據(jù)使變換前后的電壓或電流幅值保持不便來選擇的。但這樣的變換不能保持變換前后的功率不變。為使變換前后的功率不變，變換矩陣應(yīng)為：這時(shí)，變換矩陣滿足條件既逆變換矩陣等于變換矩陣的共軛矩陣的轉(zhuǎn)置。第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-3.2F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)如在變換矩陣的一般化中所述，變換矩陣也可以取為：如果上式中的θ就是轉(zhuǎn)子的位置，則這個(gè)變換與120變換的區(qū)別在于：120變換將坐標(biāo)軸固定在定子軸線上，而FB0變換則將坐標(biāo)軸固定在轉(zhuǎn)子上。習(xí)慣采用的FB0變換矩陣的系數(shù)與F有所不同第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四逆變換為：FB0變換與120變換的關(guān)系為：第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-4:α、β、0坐標(biāo)系統(tǒng)在2-2節(jié)中曾講到，對(duì)于三階循環(huán)對(duì)稱矩陣，可以采用如下的變換若選擇得第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四αβ０變換的算式由于電機(jī)中性點(diǎn)一般不接地，故零序電流等于零。這樣就可以用α、β兩個(gè)繞組取代原先的a,b,c三個(gè)繞組。第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四α、β、0坐標(biāo)系0分量在各種坐標(biāo)系統(tǒng)中基本都是一樣的。常為0。第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#使變換前后的功率保持不變習(xí)慣采用的變換矩陣使變換前后幅值保持不變。為使變換前后功率保持不變，可采用下面的變換矩陣#αβ0變換與120變換的關(guān)系第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-5:d、q、0坐標(biāo)系統(tǒng)αβ0坐標(biāo)變換矩陣也可以寫成：假定讓?duì)力螺S逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過θ角度，則相應(yīng)地變換矩陣變成：第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四如果θ就是轉(zhuǎn)子的位置，隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而變化，就得到dq0坐標(biāo)的變換矩陣?？梢姡琩q0坐標(biāo)系統(tǒng)與αβ0坐標(biāo)系統(tǒng)的不同在于：αβ0坐標(biāo)系統(tǒng)固定在定子上，α軸與a軸重合；而dq0坐標(biāo)系統(tǒng)固定在轉(zhuǎn)子上，d軸與轉(zhuǎn)子直軸重合。變換矩陣：反變換矩陣：計(jì)算式：第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#恒功率變換慣用的變換是恒相幅值變換。恒功率變換應(yīng)將變換矩陣改成：dq0坐標(biāo)變換通常又稱為派克(Park)變換。第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#dq0與αβ0的關(guān)系：或者，當(dāng)考慮零序分量時(shí)：或者：所以：第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#dq0與120的關(guān)系：#dq0與FB0的關(guān)系：FB0坐標(biāo)中F分量以d軸作為實(shí)部，q軸分量作為虛部。B分量是F分量的共軛。第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-6:dc、qc、0坐標(biāo)系統(tǒng)dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)與dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的不同之處在于：dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)軸固定在以ω角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子上；而dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)則是以同步速ω1旋轉(zhuǎn)。因此，dcqc0坐標(biāo)變換矩陣的形式與dq0坐標(biāo)變換矩陣完全相同，只不過其中的，而是。dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)與dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的關(guān)系為第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)相似地，F(xiàn)B0坐標(biāo)系統(tǒng)將坐標(biāo)系固定在以ω角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子上；FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)則是以同步速ω1旋轉(zhuǎn)。因此只需將FB0坐標(biāo)變換矩陣中的θ換成，就得到FcBc0坐標(biāo)變換矩陣。FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)中，F(xiàn)c分量以dc軸的分量作為實(shí)部，以qc軸分量作為虛部；Bc分量是Fc分量的共軛：第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-7:任意速坐標(biāo)系統(tǒng)前面介紹了六種坐標(biāo)系統(tǒng)：實(shí)數(shù)空間復(fù)數(shù)空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)速靜止轉(zhuǎn)子同步速αβ0120dq0FB0dcqc0FcBc0可見，對(duì)于實(shí)數(shù)空間和復(fù)數(shù)空間的各坐標(biāo)系統(tǒng)，它們之間的區(qū)別僅僅在于坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速。第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#復(fù)數(shù)空間任意速坐標(biāo)系統(tǒng)120坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=0，坐標(biāo)系固定在定子上；FB0坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=ωt+θ0，坐標(biāo)系固定在轉(zhuǎn)子上；FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=ω1t+θ0，坐標(biāo)系以同步速旋轉(zhuǎn)；不同速坐標(biāo)系間的變換矩陣：第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#實(shí)數(shù)空間任意速坐標(biāo)系統(tǒng)αβ0坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=0，坐標(biāo)系固定在定子上；dq0坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=ωt+θ0，坐標(biāo)系固定在轉(zhuǎn)子上；dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)：θ=ω1t+θ0，坐標(biāo)系以同步速旋轉(zhuǎn)；恒功率變換。恒相幅值變換時(shí)…非恒速時(shí)，θ通過積分確定：式中θ=ω’t+θ0，ω’為坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)速度：第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四不同速坐標(biāo)系統(tǒng)之間的變換矩陣為：第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#同速實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)間的變換：第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四#實(shí)數(shù)空間任意速變換的物理意義：三相電機(jī)的物理模型：既然定子三相繞組對(duì)稱，可將之用正交X,Y軸線的繞組和一個(gè)零軸繞組代替(αβ變換的物理模型)：第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四任意速坐標(biāo)變換的物理模型：在保持線圈元件靜止的前提下，允許XY軸線旋轉(zhuǎn)。為此，在定子線圈上增設(shè)換向器和電刷，XY繞組的軸線就在電刷的連線上：轉(zhuǎn)子以ω的速度旋轉(zhuǎn)，電刷以ω’的速度旋轉(zhuǎn)，電樞仍為靜止的。第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四dq0坐標(biāo)變換的物理模型：使電刷的旋轉(zhuǎn)速度等于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度，并使X軸與轉(zhuǎn)子d軸重合：這相當(dāng)于一臺(tái)在交直軸上各有一對(duì)電刷的轉(zhuǎn)極式直流電機(jī)。為使之變成習(xí)慣的轉(zhuǎn)樞式，將轉(zhuǎn)子固定，則電樞將相對(duì)轉(zhuǎn)子按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，成為一臺(tái)外轉(zhuǎn)子直流電機(jī)。第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四偽靜止繞組：象上述模型中，繞組的線圈元件靜止不動(dòng)，而繞組軸線旋轉(zhuǎn)，或更一般地說，繞組的軸線與構(gòu)成該繞組的線圈元件間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的繞組稱為“偽靜止繞組”。第四十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四2-8結(jié)論1.坐標(biāo)變換將相互偶合的a,b,c三個(gè)繞組變換成在空間上相互正交的、互相間無偶合的三個(gè)繞組，從而電感矩陣變成對(duì)角陣，便于分析。2.各種變換中的0軸分量基本上是相同的。這個(gè)分量相當(dāng)于零序分量，通常等于0，因此在分析中可以不用此分量。這樣相當(dāng)于把平面上相差120度的a,b,c三個(gè)繞組變換成同一平面上相隔90度的兩個(gè)繞組。3.各種變換的不同之處在于除了0軸分量外的其它兩個(gè)分量。在不同的坐標(biāo)系統(tǒng)中這兩個(gè)分量可以是實(shí)數(shù)的，或是復(fù)數(shù)的，坐標(biāo)軸可以以不同的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)。第四十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期四4.同一問題可以用幾種不同的坐標(biāo)系統(tǒng)微求得解答。但用某些坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)求解更加方便些，而用另一些坐標(biāo)系統(tǒng)