高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第三章數(shù)列的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。5數(shù)列的應(yīng)用鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1.實(shí)際生活中的銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率、濃度問題等常常通過數(shù)列知識加以解決。2.理解“復(fù)利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出來的數(shù)列模型也不同。3.實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，首先要弄清首項(xiàng)、公差（或公比)，其次要弄清是求某一項(xiàng)還是求某些項(xiàng)的和的問題.二、點(diǎn)擊雙基1.已知{an｝是遞增的數(shù)列,且對于任意n∈N*,都有an=n2+λn成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（)A.λ〉0B.λ〈0C.λ=0D.λ〉-3解析：由題意知an〈an+1恒成立，即2n+1+λ>0恒成立，得λ>-3.答案：D2.一個(gè)小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下。設(shè)它第n次著地時(shí),共經(jīng)過了anm（n≥2），則有（)A.an=an-1+B。an=an—1+C。an=an-1+D。an=an-1+解析：an=100+50×2+25×2+…+100×（)n-1×2=100+2×=300-200×,∴an-an—1=200（-)==。答案:B3。1993年年底世界人口達(dá)到54.8億,若人口的年平均增長率為x%,2001年年底世界人口數(shù)為y（億),那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是_____________.答案:y=54。8×（1+x%）84.有200根相同的圓鋼，將其中一些堆放成橫截面為正三角形形狀的垛,要求剩余的根數(shù)盡可能的少,這時(shí)，剩余的圓鋼有_______根。解析:垛成公差為1的等差數(shù)列，設(shè)n行,其和為≤200，即n（n+1）≤400，∴n=19?！嘤?0根.答案:10誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】某市2004年底有住房面積1200萬平方米,計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5％。（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積；（2）求2024年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01)剖析：本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題。解：（1)2005年底的住房面積為1200(1+5%）—20=1240（萬平方米），2006年底的住房面積為1200(1+5%）2-20(1+5%)—20=1282(萬平方米),∴2005年底的住房面積為1240萬平方米,2006年底的住房面積為1282萬平方米.（2）2024年底的住房面積為1200(1+5％）20-20（1+5％）19-20(1+5%）18—…-20（1+5%）—20=1200(1+5%）20-20×≈2522.64(萬平方米),∴2024年底的住房面積約為2522。64萬平方米。講評：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識解決，然后回到實(shí)際問題，給出答案.【例2】某汽車銷售公司為促銷采取了較為靈活的付款方式,對購買10萬元一輛的轎車在一年內(nèi)將款全部付清的前提下,可以選擇以下兩種分期付款的方案購車:方案一：分3次付清,購買后4個(gè)月第1次付款,再過4個(gè)月第2次付款,再過4個(gè)月第3次付款.方案二：分12次付清，購買后1個(gè)月第1次付款，再過1個(gè)月第2次付款,…,購買后12個(gè)月第12次付款.規(guī)定分期付款中每期付款額相同,月利率為0.8％，每月利息按復(fù)利計(jì)算,即指上月利息要計(jì)入下月的本金.（1）試比較以上兩種方案的哪一種方案付款總額較少？(2)若汽車銷售公司將收回的售車款進(jìn)行再投資，可獲月增長2%的收益，為此對一次性付款給予降價(jià)p%的優(yōu)惠,為保證一次性付款經(jīng)一年后的本金低于方案一和方案二中較少一種的付款總額,且售車款再投資一年后的本金要高于車價(jià)款一年的本金,試確定p的取值范圍.(注：計(jì)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù):1。0083≈1。024，1。0084≈1.033,1。00811≈1。092，1.00812≈1.1，1.0211≈1.243,1。0212≈1。268）解：(1)對于方案一,設(shè)每次付款額為x1萬元，那么一年后,第一次付款的本金為1。0088x1萬元,第2次付款的本金為1.0084x1萬元,第3次付款的本金為x1萬元，則1。0088x1+1.0084x1+x1=10×1.00812.解得x1≈3.63（萬元)。付款總額為3×3。63=10。89(萬元)。對方案二,設(shè)每次付款為x2萬元，那一年后，第一次付款的本金為1。00811x2萬元，第2次付款的本金為1.00810x2萬元，…,第12次付款的本金為x2萬元.則1.00811x2+1.00810x2+…+1.008x2+x2=10×1。00812。解得x2≈0.88（萬元），付款總額為12×0.88=10.56(萬元)。顯然,第二種方案付款總額較少.（2）如果降低p％的售車款為10(1-p％),那么一年后產(chǎn)生的本金為10(1-p％）×1。00812，而轉(zhuǎn)入再投資所產(chǎn)生的本金為10（1-p％)（1+2％）12，則依題意有解得4<p〈13。2.講評：復(fù)利計(jì)算是一種等比數(shù)列的模型,本題兩種方案的復(fù)利計(jì)算公比不同,運(yùn)算要求也很高。本題雖然主要考查的是數(shù)列知識，但綜合程度很大,和不等式、二項(xiàng)式定理的計(jì)算融合在一起,難度就隨之增大了.【例3】2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40％，從2003年開始,計(jì)劃每年將非綠化面積的8％綠化，由于修路和蓋房等用地,原有綠化面積的2％被非綠化。（1）設(shè)該縣的總面積為1，2002年底綠化面積為a1=，經(jīng)過n年后綠化的面積為an+1,試用an表示an+1;（2）求數(shù)列｛an｝的第n+1項(xiàng)an+1;（3)至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%?（lg2=0。3010,lg3=0。4771）解：(1）設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為b1，經(jīng)過n年后非綠化面積為bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1。依題意，an+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積an減去被非綠化部分an后剩余的面積an，另一部分是新綠化的面積bn，于是an+1=an+bn=an+（1-an)=an+。(2）an+1=an+，an+1-=(an-）。數(shù)列{an—｝是