第十二章動量矩定理

第十二章動量矩定理第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)點質(zhì)點系動量定理：動量的改變—外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點時，vC=0，則其動量恒等于零，質(zhì)心無運動，可是質(zhì)點系確受外力的作用。

動量矩定理建立了質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運動定理：質(zhì)心的運動—外力（外力系主矢）動力學(xué)第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五

§12-1動量矩一．質(zhì)點的動量矩

⒈質(zhì)點對點O的動量矩：動量矩矢：大?。孩操|(zhì)點對軸z

的動量矩代數(shù)量正負(fù)號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同。對著軸正向看：順時針為負(fù)逆時針為正第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五⒊質(zhì)點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關(guān)系：⒋動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉(zhuǎn)動的強弱。kg·ｍ2/s⒌單位:動力學(xué)第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五⒉質(zhì)點系對軸z動量矩:二．質(zhì)點系的動量矩：⒈質(zhì)系對點O動量矩:動力學(xué)因為:即：質(zhì)點系對某點的O的動量矩矢在通過該點的Z軸上得投影等于質(zhì)點系對于該軸的動量矩。代入上式得:第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五剛體動量矩計算:⑴平動剛體:剛體平動時，可以將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點計算其動量矩。

平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點（軸）的動量矩。第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五

平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。⑶平面運動剛體:⑵繞定軸轉(zhuǎn)動剛體:

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。式中稱為剛體對于Z軸的轉(zhuǎn)動慣量。第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]已知：滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1

滑輪B：m2，R2，I2；物體C：m3

求系統(tǒng)對O軸的動量矩。動力學(xué)解：第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五§12-2動量矩定理一．質(zhì)點的動量矩定理:矢徑叉乘兩邊,有：左邊可寫成：故得：⒈質(zhì)點對固定點的動量矩定理:動力學(xué)由:而:右邊為:第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得：上式稱質(zhì)點對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點對任一固定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在該質(zhì)點上的力對同一軸之矩。⒊質(zhì)點的動量矩守恒情況（質(zhì)點動量矩守恒定律）：

質(zhì)點對任一固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一點之矩。這就是質(zhì)點對固定點的動量矩定理。

⒉質(zhì)點對固定軸的動量矩定理：動力學(xué)若則常矢量第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五運動分析：由動量矩定理：微幅擺動時，并令，則擺動周期：解：研究小球，將小球視為質(zhì)點。受力如圖示。[例2]單擺。已知m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規(guī)律。常數(shù)A由初始條件確定：則運動方程：動力學(xué)微分方程的通解為：11第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致。（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正）⒉質(zhì)點動量矩定理的應(yīng)用：

(可求解質(zhì)點動力學(xué)兩類基本問題）

⑴已知作用于質(zhì)點的力或力矩求質(zhì)點的運動；⑵已知質(zhì)點的運動求作用于質(zhì)點的力或力矩；⑶已知質(zhì)點在某一狀態(tài)下的運動要素，求在另一狀態(tài)下的運動要素（速度、位置坐標(biāo)）。動力學(xué)第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五即：質(zhì)點系對任一固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。

二．質(zhì)點系的動量矩定理----質(zhì)點系對固定點的動量矩定理對質(zhì)點系，有：對質(zhì)點Mi：⒈質(zhì)點系對固定點的動量矩定理：動力學(xué)左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運算的順序，而：第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五上式：稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。

⒊質(zhì)點系的動量矩守恒定理：

⑴當(dāng)時，常矢量。⑵當(dāng)時，常量。質(zhì)點系動量矩定理說明：內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點系的動量矩。動力學(xué)⒉質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理將上式在通過固定點O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五解:取整個系統(tǒng)為研究對象，

受力分析如圖示。

運動分析：

v=ｒ由動量矩定理：[例3]已知:

動力學(xué)所以：第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五解：由于則系統(tǒng)的動量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為。[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動。問：當(dāng)猴B向上爬時，猴A將如何動？猴A運動的速度多大？（輪重不計）動力學(xué)顯然：第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五

§12-3剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程對于一個繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體：代入質(zhì)點系動量矩定理，有：——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程⒈方程的導(dǎo)出:動力學(xué)即：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五動力學(xué)⒉可解決動力學(xué)兩類問題：其與質(zhì)點運動微分方程:有相似的形式，因而其求解方法和步驟也是類似的。二、討論⒈若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。⒉若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。將與比較，可以看出，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]已知：復(fù)擺（物理擺）重為P，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為Io；求：復(fù)擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。解：取復(fù)擺為研究對象；

受力分析如圖示；運動分析：復(fù)擺繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動；由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程:得：第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五動力學(xué)微幅擺動時，即有：即有：微分方程的解為：第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五l—復(fù)擺的簡化長度；K—復(fù)擺的擺心；O—復(fù)擺的懸點。懸點和擺心可以互換，而不改變復(fù)擺的周期。動力學(xué)上式即為復(fù)擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。A為角振幅，a為初位相，可由運動初始條件確定。復(fù)擺的運動規(guī)律是簡諧運動。這就表明：如已知某物體的重量和重心的位置，再測出其作微幅擺動時的擺動周期，則可計算出該物體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一．定義：

剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與質(zhì)點到軸的垂直距離平方的乘積之和。轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則：動力學(xué)第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五解：動力學(xué)2.回轉(zhuǎn)半徑：由所定義的長度稱為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑。[例1]勻質(zhì)細(xì)直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：對z軸的轉(zhuǎn)動慣量；對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量。二．轉(zhuǎn)動慣量的計算１．積分法：（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五在機械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過其質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量再加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積。同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。⑴定理：動力學(xué)3.平行移軸定理：

對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五動力學(xué)

⑵證明設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五動力學(xué)當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量,然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。4．計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法例如，對于例1中均質(zhì)細(xì)桿對z'軸的轉(zhuǎn)動慣量為第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五解：[例2]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；均質(zhì)圓盤：m2,R。求IO

。動力學(xué)第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五[例3]提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。