2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含答案解析）

2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.已知函數(shù)/(X)=/〃x+(X-2)

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程;

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)<x+a在g,

1)上恒成立，求。的取值范圍.

2.已知l<aW2,函數(shù)/(x)=/-x-a,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+°°)上有唯一零點；

(II)記xo為函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上的零點，證明：

(i)依=I<xo<J2(a-))；

(ii)XQ/'(ex°)>(e-1)(a-1)a.

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3.設(shè)函數(shù)/'(x)=alnx+x2-(Q+2)x,其中Q€R.

n

(I)若曲線y=/(x)在點(2,/(2))處切線的傾斜角為T，求a的值；

4

(II)已知導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,e)上存在零點，證明：當(dāng)工￡(1,e)時，/(x)

>-e2.

4.已知函數(shù)/(x)=ax+lnx(tzGR).

(I)若4=2,求曲線y=/(x)在x=l處切線的斜率；

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)設(shè)g(x)=f-2x+2,若對任意xiG(0,+8),均存在工2日0，1］，使得/(用)

<g(x2)，求a的取值范圍.

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5.已知函數(shù)/(x)=x~1~/nx.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)=1(w6R),且對任意的XI，X2G(0,2),/(xi)+e>g

(X2)恒成立，求實數(shù)用的取值范圍.

6.已知函數(shù)/(x)(aex-x-a)(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))的圖象與x軸

切于原點.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)證明：/(X)存在唯一的極大值點xo，滿足xo€(*,RD,且蛇Z；

(3)在(2)的條件下，求使/(xo)<加成立的最小整數(shù)用的值.

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1

7.已知函數(shù)/(%)=%2-2ax—也.，aER.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(X)有兩個極值點XI，X2(X1<X2)，求/(X2)-4(XI)的最大值.

8.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=多乙mER

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Xl>X2>0時，不等式g(XI)-g(X2)>/(XI)-f(X2)恒成立，求m的取值

范圍.

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9.已知函數(shù)［(x)=F-x,h(x)=af(x)+2/-(-x)+(2a-4)x(aeR且aWO,e是

自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)y=/(")的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x2O時，h(x)》(a+2)cosx恒成立，求a的取值范圍.

10.已知函數(shù)［(x)=2ax2-2x+\,且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù).

(1)求/(x)的解析式；

(2)若方程/(%)=要有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

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11.已知函數(shù)/(x)=lnx-asinx(t/GR).

(1)證明：當(dāng)aWO時，/(x)在(0,3上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a=l時，不等式阮l詈牙(x)對任意的在(0,今恒成立，求實數(shù)人的取值

范圍.

12.已知函數(shù)/(x)=(x+a)ehx(6^0)的最大值為：，且曲線y=/(x)在x=0處的切線

與直線y=x-2平行(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)如果0Vxi〈X2,且/(xi)=/(X2)，求證：3XI+X2>3.

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13.已知函數(shù)/(x)=加+(2-a)x-lnx(aGR),又函數(shù)g(x)=#+母2士什1兩個極

值點為X”X2(X1<X2)滿足|XI+X2|N與2XI,X2恰為〃(x)=lnx-f(x)+bx的零點.

(/)當(dāng)坯(-2,0)時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(H)當(dāng)。=1時，求證：(XI-X2)(空起)》2"2T.

2$

14.已知函數(shù)［(x)=x/-?-kx(k€R).

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)討論函數(shù)/(X)的零點個數(shù).

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15.已知函數(shù)/(x)=(alnx-1)(x-1)+l?x(a>0).

(1)當(dāng)a=4時，討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)，(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>l時，/(x)20,求a的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(x)—x3+x2-ax(a6R),g(x)—xlnx.

(1)求曲線g(x)在X=1處的切線方程：

(2)對任意(0,a],/(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)當(dāng)(0,0時，試求方程/(x)=g(x)的根的個數(shù).

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17.已知函數(shù)[(x)=mx-，(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，/。)一。+1>0在、6[0,3]上有解，求

實數(shù)P的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=/-aW,其中常數(shù)a€R.

(1)若。=1,令g(X)=/(x),求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)(0,+8)時，不等式/J)>0恒成立，求實數(shù)0的取值范圍;

(3)若a=l,且xW[0,+8)時，求證：f(x)>X2+4X-14.

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19.已知三次函數(shù)/(x)=x3+af+4x+l(。為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)/(x)在x=2處的切線方程：

(2)若a<0,討論函數(shù)f(x)在x€(0,+8)的單調(diào)性.

20.已知函數(shù)=其中4W0.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若%>0,討論關(guān)于x的方程|/NX|=/(x)在區(qū)間(0,2)上實根的個數(shù).

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21.已知函數(shù)/'(x)=lnx+2x2-ax(a>4).

(1)當(dāng)。=5時，求函數(shù)/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

1q

(2)若不，X2是函數(shù)的兩個極值點，且XI,X2G(0,1],求證：/(%1)-/(x2)>2ln2一月■.

22.已知函數(shù)/(x)=詈.

(1)若對任意(0,+8),/(x)〈依恒成立，求左的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+1—機(jī)有兩個不同的零點xi,xi,證明：XI+X2>2.

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23.已知函數(shù)/(x)=a(xev1-4)-blnx+3x.

(1)當(dāng)a=0時，討論/(-x)的單調(diào)性；

(2)若a=l,且/(x)20,求b的值.

24.已知函數(shù)f(x)—axlnx-(a+1)Inx,f(x)的導(dǎo)數(shù)為/(x).

(1)當(dāng)a>-1時，討論/(x)的單調(diào)性；

0,1

(2)設(shè)4>0,方程/(x)=￡一》有兩個不同的零點X1,X2(X1<X2)?求證：%14-e>x

C2&

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25.已知函數(shù)/(x)=a(x-e)1(aGR),g(x)=-x-1.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a—1且x>1時，求證：f(x)>g(x).

26.已知函數(shù)/(x)=戶-入Inx.

(1)當(dāng)人=-1時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若0(入＜e,函數(shù)/(x)的最小值為〃(人)，求力(A)的值域.

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27.已知/(%)=alnx—，，+1.

(1)當(dāng)〃=1時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a€(0,1時,求證：xf(x)>/(x)；

(3)滿足(2)條件下的任意XI,X2,求證：/(X1+X2)>/(xi)”(犯).

28.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax,a&R.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a(x)=寫有唯一零點，求a的取值范圍.

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29.設(shè)函數(shù)/(x)^ax2-a-Inx,g(x)=]一套，其中〃6R，e=2.718.為自然對數(shù)的

底數(shù).

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性：

(2)證明：當(dāng)x>l時，g(x)>0.

30.已知函數(shù)/(x)=(x-1)其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=y+，(x)I，求函數(shù)g(X)的單調(diào)區(qū)間；

1

(3)設(shè)〃(x)=mf(x)-Inx,求證：當(dāng)時，函數(shù)萬(4)恰有2個不同零點.

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31.已知函數(shù)/(x)=，-af+6的圖象在點x=0處的切線為y=ax.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

(2)當(dāng)x€R時，求證：f(x)+x2>x：

(3)若/(x)+履>0對任意的x6(0,+8)恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

cosxsinx

32.已知函數(shù)/(x)?(x-1+.)_a(――sinx+xcosx)在(0,)內(nèi)有兩

/3

個極值點XI，X2(「〈X2點其中a為常數(shù).

(1)求實數(shù)。的取值范圍;

(2)求證：XI+X2>2.

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33.已知函數(shù)/(x)=a/+b的圖象在(0,/(0))處的切線方程為x->2=0.

(1)討論函數(shù)尸(x)—f(mx)的單調(diào)性.

(2)是否存在正實數(shù)f,使得函數(shù)g(x)=f(x-t)-In(x+t)-2的定義域為［0,+8)

時，值域也為［0,+8)?若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

34.設(shè)函數(shù)/(x)=-1-Inx,其中aeR.

(1)若。=0,求過點(0,-1)且與曲線y=/(x)相切的直線方程;

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點XI，X2，

①求a的取值范圍；

②求證：f(xi)+f(X2)<0.

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35.已知函數(shù)/(x)=(x-1)，，g(x)—mx1-kx,其中，"€R且加WO,kGR.

(1)若函數(shù)/(x)與g(x)有相同的極值點(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的

值)，求左的值；

(2)當(dāng)"?>0,左=0時，求證：函數(shù)e(x)=/(x)+g(x)有兩個不同的零點；

(3)若，〃=1,記函數(shù)/i(x)=q?+,若能，b,ce[O,1],使/?(a)+hQb)

<h(c),求％的取值范圍.

36.已知函數(shù)/(x)=kx-xl〃x在(0,+8)上的最大值為1.

(1)求/(x)的解析式；

(2)討論尸(*)=f(x)-cosx的零點的個數(shù).

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37.已知函數(shù)/'(x)-1-asinx(aGR).

(1)當(dāng)x€[0,n]時，f(x)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)4=1時，數(shù)列｛〃〃｝滿足：即+1=/(即)，求證：｛斯｝是遞減數(shù)列.(參

考數(shù)據(jù)：sin1^0.84)

38.已知函數(shù)/(x)=，(sinx-cosx+4),函數(shù)g(x)=2x-cosx,其中e=2.71828…是自

然對數(shù)的底數(shù).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)力(x)=f(x)-ag(x)(〃ER),討論/?(x)的單調(diào)性；

(3)若對任意xe[0,居],恒有關(guān)于x的不等式cosx-瞥W0成立，求實數(shù),"的取

值范圍.

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39.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+a.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：，+sinx>x/〃x+1.

40.已知函數(shù)/(x)=alnx+(1-a)x2-bx+1在點(1,/(D)處的切線與y軸垂直.

(1)若a=l,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若0Vx<e,/(x)<0成立，求a的取值范圍.

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41.已知函數(shù)/(x)—x2-x+klnx,k>Q.

(1)函數(shù)/(x)在點(1,/(I))處的切線的斜率為2,求A的值：

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)/(X)有兩個不同極值點為XI、X2,證明-f(x2)\<^-2k.

42.設(shè)函數(shù)/?(x)=x3-ax2+bx+c(a,h,c€R),且力(0)=1,h(1)=-1,h(2)=3.

(1)求函數(shù)〃(x)的極大值和極小值；

(2)若函數(shù)/(x)=h(x)-1,且過點M(1,w)(mW-2)可作曲線y=/(x)的三

條切線，求實數(shù)〃，的取值范圍.

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43.已知函數(shù)/(x)=用-+(號1112+x+i(aWl),g(x)=e\

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a=0時，方程g(x)=/(x)有且僅有一個解.

44.已知函數(shù)/(x)—2x3-ax1+b.

(1)求/(x)的極大值點；

(2)當(dāng)。=1,6=0時，若過點P(1,/)存在3條直線與曲線y=/(x)相切，求f的

取值范圍.

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45.已知函數(shù)/(x)=—x+alnx.

（I）求/（x）在（1,/（1））處的切線方程（用含Q的式子表?。?/p>

（II）討論/（X）的單調(diào)性;

（m）若/⑴存在兩個極值點XI，必證明：黑三詈（。一2.

1

46.已知函數(shù)/(%)=+(1一@)工一"》,aGR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若〃E(-8,-1),設(shè)g(x)=xex-x-Mx+a，證明：Vxi6(0,2],3x26(0,+

8),使/(xi)-g(X2)>2-ln2.

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1

47.已知函數(shù)f(x)=2必—kx-2)x.

(I)求函數(shù)/(x)的極小值點；

(II)設(shè)/(xi，yi),B(X2，y2)(0<xi<%2)為函數(shù)(x)圖象上的任意兩點，f

(x)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求證：寸(^1).

48.已知函數(shù)［(x)=x-a/"x(aCR).

(1)當(dāng)。>0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論函數(shù)/(方)的零點個數(shù).

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c1

49.已知函數(shù)/(x)勿x在x=1處有極值

(1)求〃，b的值；

(2)求函數(shù)/(x)在既，2]上的最大值與最小值.

50.已知函數(shù)，(x)=lnx-(m+2)x+2(wWR).

(1)討論函數(shù)/G)的單調(diào)性；

(2)設(shè)加>0,若存在％€弓，1],使得不等式/(x)<-加小成立，求機(jī)的取值范圍.

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2023年江西省高考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

參考答案與試題解析

1.已知函數(shù)/(%)=lnx+(x-2)

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)Vx+a在4，1)上恒成立，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)依題意，f(x)=1+/+(x-2)/=1+(x-1)

則/(1)=1,而/(I)=-e,

故所求切線方程為歹=x-1-e；

(2)證明：依題意，a>lnx+(x-2)x,令g(x)=lnx+(x-2)x,

貝l」g'(x)=(x-1)(/-；),

當(dāng)《?1時，X-l<0,令h(x)=(ev-i),

2%

1

則〃'(x)=，+￡〉o,

：.h(x)在(；，1)上單調(diào)遞增,

又h(；)=Ve-2<0,h(1)=e-l>0,

1i

，存在xoE1),使得力(xo)=0,EPex°=—,即加xo=-xo,

2xo

，當(dāng)(5,xo)時，h(x)<0,此時g'(x)>0,當(dāng)(xo,1)時，h(x)>0,

此時g'(x)<0,

2

:.g(x)niax=g(xO)=lnxo+(xo-2)ex0-xo=1-----2xo,

x0

.21

ni(x)=1----2x,(二，1),

%2

貝Um'(x)=2(號2)>0,

1

函數(shù)加(x)在(5,i)上單調(diào)遞增，

.,.m(x)<m(1)=-3,

-3,

故a的取值范圍為［-3,+8).

2.已知l<a<2,函數(shù)/(x)=/-》-〃，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

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(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上有唯一零點；

(II)記工o為函數(shù)(x)在(0,+8)上的零點，證明：

(i)y/a—1<xo<J2(a-1)；

(ii)xof(e%。)2(e-1)(〃-1)a.

r

【解答】證明：(I)V/(x)=e-x-a=0(x>0),：.f(x)="-l>0恒成立，

：.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

22

Vl<a^2,???/(2)=e-2-a^e-4>0f又/(0)=1-a<0,

，函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上有唯一零點.

(II)(z)f(xo)=0,.\ex°-xo-a=0,

x2x

:?7a—1<x0<J2(a—1),/.e°—xQ—1<x0<2(e°—x0—1),

令g(x)-x-I-x2(0<x<2),h(x)="-x-1(0<x<2),

一方面,hf(x)=ex-1-x=h\(x),/i/(x)=ex—l>0,

:?h'(x)>〃'(0)=0,：.h(x)在(0,2)單調(diào)遞增，

：.h(x)>h(0)=0,

?，?產(chǎn)-x-1一苗>0,2(-x-1)>，，

另一方面，1VQW2,：.a-1^1,

，當(dāng)xo21時，7a-1￡%o成立,

工只需證明當(dāng)OVxVl時,g(x)=方7-1-y&0,

'.'g"(x)=/-l-2x=gi(x),gf(x)=/-2=0,：.x=l〃2,

當(dāng)xW(0,歷2)時，gf(x)<0,當(dāng)xW(加2,1)時，g「(x)>0,

:?g’(x)<max[g,(0),g'(1)},g'(0)=0,g'(1)=e-3VO,

:.g'(x)<0,：,g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

Ag(x)<g(0)=0,/.^v-x-1<x2,

x2x

綜上，e°-x0-1<x0<2(e°-xQ-1),

：.7a—1J2(Q-1)?

(ii)要證明xof(e3)2(e-l)(a-l)a,只需證xqf(xo+a)2(e-l)(〃-l)a,

由(i)得只需證e后^+0—4元—2QZ(e-1)

Ve^^l+x+^x2,I.只需證1+4(A/Q-14-a)2-(e-1)a7a-1,

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Qyfa-T.

只需證—(y/a—l)2—2(e-2)ay/a—1>0,即證被-—----->2(e-2),

a1

+y/a-1G[2,+8),

y/a—1\[a—i

ay/a-113

肯一丁22-5=522作—2),

，XQ/'(e*。)2(e-1)(〃-1)Q.

3.設(shè)函數(shù)/(%)=alnx+x2-(a+2)x,其中QWR.

71

(I)若曲線y=/(x)在點(2,/(2))處切線的傾斜角為工，求。的值;

(II)已知導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,e)上存在零點，證明：當(dāng)xW(1,e)時，f(x)

>-e2.

【解答】(I)解：根據(jù)條件/(x)=J+2x-(a+2),

則當(dāng)x=2時，f(2)=搭+4-(a+2)=-+2—tan—=1>解得a=2；

(H)證明：因為/(x)=W+2x-Q+2)=3？久二1),

又因為導(dǎo)函數(shù)，(x)在(1,e)上存在零點，

所以/(x)=0在(1,e)上有解，則有IV^Ve,EP2<a<2e,

且當(dāng)l<x</時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)]<r<e時，/(》)>0,/&)單

調(diào)遞增，

~,Qaa2,a&2

所以/(x)2/(~)="，5+7—5(.+2)=alna—4—(1+/?2)。，

設(shè)g(x)=xlnx——(1+/〃2)x,2<x<2e,

則g'(x)=lnx+\—(1+"2)=/〃%—訝一歷2,

貝Ijg''(x)=i-1<0,所以g'(x)在(2,2e)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在(2,2e)上單調(diào)遞減，

則g(2e)=2eln2e-e2-2e(l+/?2)=-e2<g(2),

所以g(x)>-e2,

則根據(jù)不等式的傳遞性可得，當(dāng)(1,e)時，/(x)>-e2.

4.已知函數(shù)/(x)—ax+lnx(a€R).

(I)若a=2,求曲線y=/(x)在x=l處切線的斜率；

第28頁共76頁

(II)求/G)的單調(diào)區(qū)間；

(III)設(shè)g(x)-2x+2,若對任意xiE(0,+8),均存在X2W[O，1]，使得/(xi)

Vg(X2),求。的取值范圍.

【解答】解：(I)由已知f'(x)=2+*(x>0),則/(I)=2+1=3.

故曲線y=/(x)在x=l處切線的斜率為3；

(II)f(x)=a+1=^(x>0).

①當(dāng)a20時，由于x>0,故ar+l>0,/(x)>0

所以，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

②當(dāng)a<0時，由/(%)=0,得乂=-，.

11

在區(qū)間(0，-役)上，f(x)>o,在區(qū)間(一公，+8)上/(X)<0,

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-5),單調(diào)遞減區(qū)間為(一，，+00)；

(III)由已知，轉(zhuǎn)化為/(x)max<g(x)max,

因為g(x)=J？-2x+2=(x-1)2+1,xG[0,1],

所以g(x),皿=2…(9分)

由(II)知，當(dāng)a20時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，值域為R,故不符合題意.

當(dāng)a<0時，f(x)在(0,-^)上單調(diào)遞增，在(一；，+8)上單調(diào)遞減，

Jaa

11

故f(x)的極大值即為最大值，/(―￡)=-1+仇―)=~\-In(-a),

所以2>-\-In(-〃)，解得aV—皮.

5.已知函數(shù)/(x)=文夕!竺.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)=(X~~~~(w6R),且對任意的XI，X2&(0,2),f(xi)+e>g

(X2)恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)'：f(X)=x-1~<nx,：.f()x-l-x+l+lnxlnx^定義域為(0,

Xx=X=X

+8),

,:f(1)=0,且當(dāng)OVxCl時，/(x)<0；當(dāng)x>l時，/(x)>0,

：.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

第29頁共76頁

(2)由(1)知，xG(0,2)時，/(x)min=f(1)=0,

故對任意的xi，X2E(0,2),f(X1)+e>g(%2)恒成立等價于e>g(J2)對任意的MW

(0,2)恒成立，即g(x)niax<e.

?；g(x)=(XT)(吩廠止1=-2+(叱歲—m_2=_制_(機(jī)+2)升機(jī)+2.，

6xe&e

二?g'(x)=--^[x2-(加+2)x+m+2+2x-(加+2)]，=—J(x2-〃?x).=_式：二),

①當(dāng)MWO時，g*(x)VO恒成立，：.g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

2

Ag(x)<g(0)=,2<e,解得加2-e-2,

.*?-e2-2W〃W0.

②當(dāng)0VzwV2時，令g'(x)<0,得加VxV2；令g'(x)>0,W0<x<mf

：.g(x)在(0,小)上單調(diào)遞增，在(加，2)上單調(diào)遞減，

:.g(x)max=g(m)=VOVe恒成立,

：.0<m<2.

③當(dāng)加22時，，g(x)>0恒成立，，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，

**.g(x)<g(2)=e(加-2)We,解得加W3,

???2—

綜上所述，實數(shù)機(jī)的取值范圍為[-/-2,3].

6.已知函數(shù)/G)="(叱7-〃)(其中0=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))的圖象與x軸

切于原點.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)證明：/(x)存在唯一的極大值點刈，滿足xo€(k,%+1),且左€Z；

(3)在(2)的條件下，求使/(猶)〈加成立的最小整數(shù)加的值.

【解答】解：(1)/(工)=/C-x-q),

:?，(x)=ex(2aex-x-a-1),

由題意可知，f(0)=。-1=0,

所以a=\,

(2)由(1)可知，/(x)=/(2/-X-2),

令g(x)=2^-x-2,貝Ug'(x)=2/-1,

當(dāng)x>-ln2時、g'(x)=2/-1>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<-ln2時，g1(x)=2然

第30頁共76頁

-l<0,g(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=-/〃2時g(x)取得最小值g(-歷2)=/”2-1<0,且g(0)=0,

又xf-8,g(x)>0,xf+8時，g(x)>0>

故存在xo<-Ini使得g(xo)=0,

且xVxo時，g(x)>0,/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，xoVxVO時，g(x)<0,f

(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，x>0時，g(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=xo時，函數(shù)存在唯一的極大值，

?；g(-2)=專2>0,g(-1)=12-1<0>

故xoe(-2,-1),

故/(x)存在唯一的極大值點出，滿足xo6(-2,-1),

(3)由(2)可得，0=2e*。-xo-2,

,、111

xx2

/./(xo)—e°Ce°—xo-1)=(l+,%o)?(—1%())=—^(x0+2x0),

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，xoe(-2,-1)時，一鋁()2+2&)€(o,1),

故使得f（xo）<m成立的最小整數(shù)rn的值1.

7.已知函數(shù)/（%）=工2—2QX—伍婷aER.

（1）討論/G）的單調(diào)性；

（2）若/（X）有兩個極值點XI，X2（X1<X2），求/（X2）-2/（XI）的最大值.

【解答】解：（1）/（x）=2x_2a+卜2/-警+1,x>0>

令歹=2%2-2ax+1,

當(dāng)△=4q2-8W0,即一或WQW迎時，y20,此時/（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增;

當(dāng)QV-/時，2/-2公+1=0有兩個負(fù)根，此時/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增;

當(dāng)。時，入2_2ax+l=0有兩個正根，分別為制=。今2,X2=—工

此時/（X）在（0,XI）,（X2，+°°）上單調(diào)遞增，在（XI，X2）上單調(diào)遞減.

綜上可得：“三四時，/'（X）在（0,+°°）上單調(diào)遞增,

CL—yJO?,—2a+Ja2—2

a>近時，/(x)在(0,——-——),(——-——,+8）上單調(diào)遞增,

a-d點一2a+Ja2-2

在（--------上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可得xi+x2=a,xi*X2=a>y[2,

第31頁共76頁

2

2ax\=2x^-4-1,2ax2=2x2+1,

..ay[2

22

V2V2

.-X16(0,—X2E(—,+8),

f(%2)-2f(xi)=%22—2ax2+/wx2-2(%i2-2ax\+lnx\)

=—%22+2%—+加X2-2/WX1+1

=—%22+2(2~—)2+/〃X2+2-4-l=—%22--+|-//7%22+1+2/〃2,

22%2

令仁審，則/*，

13

g(/)—-z+五+2z+l+2/〃2,

,13_-2t23t-l_-2t-l)(t-l)

g⑺1卞+五一+-—--(----2P-----'

1

f

當(dāng)時，g⑺>0；當(dāng)，>1時，g'(r)<0,

1

：.g(r)在(5,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減

zx/I、1+4仇2

g⑺max=g⑴=-2—

Q…，1+4仇2

/(X2)-/(XI)的最大值為一--.

8.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=竽好，meR

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若Xl>X2>0時，不等式g（XI）-g（X2）>f（xi）-f（X2）恒成立，求〃？的取值

范圍.

【解答】解：（1）因為/（x）=xlnx（x>0）,

所以/'（x）=l+/〃x（x>0）,

當(dāng)xW（0,一）,f（x）VO,f（x）=x/〃x在區(qū)間（0,一）單調(diào)遞減，

ee

當(dāng)xW（一，+8）,f（x）>0,f（x）=x/〃x在區(qū)間（一，+8）單調(diào)遞增,

ee

所以，/（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0,：）,單調(diào)遞增區(qū)間為（:+8）；

（2）若％1>工2>0時，總有萬（xj-JQ2）>f（xi）-/（X2）恒成立，

則7/2-X］阮ri22r2>X2>0在（O，+8）恒成立，

2,

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令"(x)=yX2-xlnx(x>0),

則"(x)=y?-xlnx(x>0)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以H'(x)=〃?x-/〃x-120在(0,+8)恒成立，

即〃也上學(xué)竺在(0,+8)恒成立，

只需，心(1(吃)max(X>0)恒成立，

令〃(x)=1^(%>0),則〃'(X)

令〃'(X)=0,解得：x=L

故人(x)在(0,1)遞增，在(1,+8)遞減，

故〃(X)max=h(1)—1,

故加21.

9.已知函數(shù)f(x)=/-x,h(x)=af(x)+2f(-x)+(2a-4)x(aER且a#0,e是

自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)y=/(ax)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時，h(x)N(〃+2)cosx恒成立，求〃的取值范圍.

【解答】解：(1)>=/(ax)=e"-"，貝！=a(eax-1),

①若〃>0,則當(dāng)x>0時，/=a(e^-1)>0,當(dāng)x<0時，<=a(產(chǎn)-1)<0,

②若aVO,則當(dāng)x>0時、y'=a(*-1)>0,當(dāng)xVO時，，yf=aCeax-1)<0,

所以函數(shù)歹=/(以)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減.

,77.兀匹_匹71

(2)當(dāng)x=亍時，h(―)=a&+2e2+(<z-2)—>0,

z22

4IT2

即(海+亍)Q27l--7F〉0，所以a>0,

令g(x)—h(x)-(a+2)cosjr=a/+2e"+(a-2)x-(Q+2)COSX,

則g'(x)=aex-2e"+(a-2)+(a+2)sinx=~~---F(a-2)+(a+2)sinx,

若a22,則當(dāng)x6[0,IT]時，g'(x)20,所以g(x)在[0,司上單調(diào)遞增；

當(dāng)xW(IT,+8)時，g'(x)=aex-2ex+(a-2)+(a+2)sinx

9

xx

-2e"+(a-2)-(Q+2)=ae-2e-4>4a--T—4>0,

所以當(dāng)x€[0,+8)時，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)2g(0)=0,

若0<a<2,則g'(0)=2(a-2)<0,

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g'(x)=aex-2ex+(a-2)+(a+2)sinx'ae"-2e*+(a-2)-(a+2)=aex-2e

x-4,

.2+>/4+2a2+―4+2a

由a/-2ex-4=0,將x=/n-------->0,所以gUn---------)20,

aa

2+:4+2a

所以mxoE(0,In--------),使得g(xo)=0,

a

且當(dāng)xE(0,xo)時，g(x)<g(0)=0,不符合題意.

綜上，a的取值范圍為［2,+8).

10.已知函數(shù)/(x)=2ax2-2x+l,且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù).

(1)求/(X)的解析式；

(2)若方程/(?=?有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)5的取值范圍.

【解答】解：(1)由題可知所以函數(shù)/(x)=2ay2-2x+l的對稱軸為x=/,

由于y=/(x+1)是偶函數(shù)，所以f(-x+1)=f(x+l),即/(x)=2ax2-2x+\關(guān)于x

=1對稱，

11

所以h=1,即a=亍所以/'(x)=x2-2x+l.

2a/

(2)方程f(x)=共有三個不同的實數(shù)根，即方程(x)有三個不同實數(shù)根.

令g(x)—^'f(x).由(1)有g(shù)(x)=(x2-2x+l)

所以g，(x)=(x2-1)e\令g'(x)=0,則x=-1或x=l.

當(dāng)x<-1時，g'(x)>0；

當(dāng)-1<X<1時，g'(x)<0；當(dāng)x>l時，g'Cx)>0.

故當(dāng)x<-1時，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)-1<X<1時，g(X)單調(diào)遞減：當(dāng)X>1時，g(X)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x=-l時，g(x)取得極大值g(—1)=小

當(dāng)x=l時，g(x)取得極小值g(1)=0.

又由于g(x)20,且當(dāng)x--8時，g(%)-0；

當(dāng)Xf+8時，g(x)f+8.

所以，方程"?="?/(x)有三個不同實數(shù)根時，機(jī)的范圍是(0,：).

11.已知函數(shù)/(x)=lnx-tzsinx(a€R).

n

(1)證明：當(dāng)aWO時，/(x)在(0,51上單調(diào)遞增；

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UY7T

(2)當(dāng)4=1時，不等式配L管沙(X)對任意的在(0,萬]恒成立，求實數(shù)人的取值

范圍.

【解答】(1)證明：因為/(x)=lnx-asinx(aWR),所以f(x)=1-acosx,%G(0/5],

當(dāng)aW0時,//(x)=^-acosx>0恒成立，f(x)在(0,引上單調(diào)遞增.

(2)解法1：由題意，對工€(0,外exsinx-fcx>0恒成立，

設(shè)//(x)="sinx-fcc,h'(x)=^sinx+/cosx-%,

又設(shè)m(x)=/sinv+/co&￥-k,貝U〃?'(x)=ervsinx+evcosx+evcosx-exsinx=2^008%>0,

因此加(x)在(0,并單調(diào)遞增，

所以加(x)>m(0)=\-k,

①當(dāng)K1時，m(x)>0,即h'(x)>0,h(x)在(0,J]單調(diào)遞增，

故有h(x)>h(0)=0,即k41適合題意.

②當(dāng)人>1時'm(0)=1-fc<0,)=e2—fc,

TT"

若e2—k<0,則取x0=%oE(0，x0)時，m(x)<0,

TT"

若e2-k》0,則在(0,上m(x)存在唯一零點，記為xo，

當(dāng)xW(0,xo)時，m(x)V0,

總之，存在%0E(0,使xE(0,xo)時，tn(x)<0,

即小(x)<0,所以h(x)單調(diào)遞減，h(x)<h(0)=0,

故人>1時，存在xE(0,xo)使h(x)<0不合適題意.

綜上，實數(shù)%的取值范圍是(-8,1].

解法2：Inx-%時(x)。k4竺萼,

設(shè)g(x)="或11￥-x,則g'(%)=ex{sinx+cosx)-1=V2sin(x+-1>ex-1>0,

:?g(x)=eYsinx-x在區(qū)間(0,^-J上遞增，即g(x)=evsinx-x>g(0)=0,

exsinx

：.--------->1,

x

xxz

..esinx..(esinx)..x

HumJhm---------=hmzxZ=hme(sinx+cosx)J=1,

XTOXx->0(%)=0、

第35頁共76頁

因此函數(shù)y=言竺的下確界為1,

實數(shù)k的取值范圍是(-8,1].

12.已知函數(shù)/(x)=(x+a)ehx