第六章動力學(xué)基礎(chǔ)

第六章動力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四本章主要介紹動力學(xué)的一些基本定律和處理動力學(xué)問題時常用的一些定理，它們是學(xué)習(xí)動力學(xué)的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)時主要掌握動力學(xué)定律的基本概念和公式，并能應(yīng)用動力學(xué)的基本定律來解決具體問題。教學(xué)目的和要求第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程；剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程；質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理和動能定理；質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。教學(xué)重點(diǎn)第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用；質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量定理；質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理；質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理。

教學(xué)難點(diǎn)第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四動力學(xué)——研究物體機(jī)械運(yùn)動與作用在物體上的力之間的關(guān)系的科學(xué)。質(zhì)點(diǎn)——具有質(zhì)量而形狀和大小都可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系——由幾個或無限個有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。

運(yùn)動量——從不同的側(cè)面來描述系統(tǒng)的運(yùn)動特征。物理量

作用量——從不同的側(cè)面來描述力系的作用效果。動力學(xué)的幾個基本概念第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四1.牛頓第一定律第一節(jié)動力學(xué)的基本定律牛頓第一定律——如果質(zhì)點(diǎn)不受力的作用，那么它或者是靜止，或者是作勻速直線運(yùn)動。牛頓第一定律表明，任何物體都有保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的屬性，該屬性習(xí)慣上稱為慣性。因此牛頓第一定律也稱慣性定律。第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四2.牛頓第二定律牛頓第二定律——質(zhì)點(diǎn)受力的作用時所獲得的加速度與力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即或這是一個矢量表達(dá)式，它表明力的方向與加速度方向是一致的。第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四3.牛頓第三定律牛頓第三定律——兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，并且沿著同一條直線。牛頓第三定律也稱為作用力和反作用力定律。這個定律不僅在物體平衡時適用，而且也適用于作任何形式運(yùn)動的物體。牛頓定律所給出的結(jié)論只有在慣性參考系才是正確的。第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)中描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的三種基本方法，可以將質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)基本方程表示為不同形式的微分方程。第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量形式

質(zhì)點(diǎn)受到n個力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用時，由質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本方程，有第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四二、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的直角坐標(biāo)形式

由牛頓第二定律得

第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四三、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的自然坐標(biāo)形式

若將課本中的式(6-2)在自然軸系的切線方向、法線方向投影可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的自然坐標(biāo)形式，即

第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例6-1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M繞橢圓形路線運(yùn)動，如圖所示其運(yùn)動方程為方程中a、b、k都是常數(shù)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。解以質(zhì)點(diǎn)M為研究對象，將運(yùn)動方程微分兩次得第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四力F與矢徑r共線、反向，這表明，此質(zhì)點(diǎn)按給定的運(yùn)動方程作橢圓運(yùn)動。作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力在軸上的投影為由牛頓第二定律得第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例6-2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在已知力Fx=Fsinωt的作用下沿x軸運(yùn)動，在初始時t=0，x=x0,vx=v0，求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。解取質(zhì)點(diǎn)為研究對象，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程為兩邊乘以dt得兩邊積分得推導(dǎo)出將代入，分離變量并積分得第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程1.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的概念剛體繞定軸轉(zhuǎn)動——剛體轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)始終有一條直線固定不動，而這條直線以外的各點(diǎn)則繞此直線作圓周運(yùn)動。2.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量，剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量定義為影響轉(zhuǎn)動慣量的因素有：剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的分布情況以及轉(zhuǎn)軸的位置，若z軸與剛體固連在一起時Jz是常量。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

以上各式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四2）特殊情況對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程的理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，其主動力對轉(zhuǎn)軸的矩使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化。轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變難易程度的度量。

若外力矩恒為零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止；

若外力矩為常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。1）物理意義第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

例6-3如圖所示，已知定滑輪半徑為r，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動定滑輪的膠帶拉力為F1和F2。求定滑輪的角加速度ε。解由剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程，有

則由此可見，欲使跨過定滑輪的膠帶拉力相等，只有當(dāng)定滑輪為勻速轉(zhuǎn)動(包括靜止)，或當(dāng)非勻速轉(zhuǎn)動時可忽略定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量的條件下才能實(shí)現(xiàn)。第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四第四節(jié)動量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動量質(zhì)點(diǎn)的動量——設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)相對于某一慣性參考系以速度v作運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)的動量等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積，即mv。動量是矢量，它的方向與質(zhì)點(diǎn)速度的方向一致。二、質(zhì)點(diǎn)系的動量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量，即第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四三、質(zhì)心的動量質(zhì)心——組成質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量及其在空間的位置是不同的。表征質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量及其位置的分布情況的一個幾何點(diǎn)稱為質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。靜力學(xué)中求質(zhì)心的公式為其坐標(biāo)公式為,,第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四由于質(zhì)點(diǎn)系的動量是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和，再由質(zhì)心的定義得可見質(zhì)點(diǎn)系的動量（主矢）等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。寫成投影式為

第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例6-4求圖中各質(zhì)點(diǎn)系的動量。(1)質(zhì)量為m，質(zhì)心速度為vc的均質(zhì)圓盤在水平面上運(yùn)動；(2)質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿繞O軸轉(zhuǎn)動的角速度為ω；(3)皮帶及皮帶輪的質(zhì)量都是均勻的。解(1)

(2)

(3)因?yàn)槠Ъ捌л喌馁|(zhì)量均勻分布，系統(tǒng)在任何瞬時的形狀與質(zhì)量分布都是相同的，所以質(zhì)心的位置固定不動即故第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點(diǎn)Q的動量對于O點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩：1.質(zhì)點(diǎn)的動量矩質(zhì)點(diǎn)動量mv在Oxy平面的投影（mv)xy對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩。質(zhì)點(diǎn)對于O點(diǎn)的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。正負(fù)號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同：對著軸看“順時針為負(fù)，逆時針為正”。第五節(jié)動量矩定理一、動量矩第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的動量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點(diǎn)系動量對點(diǎn)O的主矩，即2.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即所以有上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對于該軸的動量矩。第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四1.質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理對質(zhì)點(diǎn)動量矩求一次導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)榈枚恿烤囟ɡ淼诙屙?，共三十五頁，編輯?023年，星期四上式表示質(zhì)點(diǎn)對任意一定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點(diǎn)的矩，稱為質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理。2．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理對于n個質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動量矩定理有第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四上式表明質(zhì)點(diǎn)系對于某定點(diǎn)O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和（外力對點(diǎn)O的主矩），稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理。由于于是n個方程相加，有第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量形式為一、質(zhì)點(diǎn)的動能定理第六節(jié)動能定理兩邊同時乘以dr得：由于故

或

積分得即在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的某個過程中，質(zhì)點(diǎn)動能的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)的力所作的功?；虻诙隧摚踩屙?，編輯于2023年，星期四對于由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中任意一質(zhì)點(diǎn)都符合動能定理，即二、質(zhì)點(diǎn)系的動能定理將所有的質(zhì)點(diǎn)動能方程相加得

或第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四設(shè)一質(zhì)點(diǎn)M質(zhì)量m，受主動力和約束力，合力作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理第七節(jié)達(dá)朗伯原理若令稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理對于由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中任意一質(zhì)點(diǎn)i的達(dá)朗伯原理表示為若將作用在質(zhì)點(diǎn)上的力分為外力合力和內(nèi)力合力，則

將各質(zhì)點(diǎn)外力合力、內(nèi)力合力與虛加慣性力合力相加得因?yàn)楣剩旱谌豁?，共三十五頁，編輯?023年，星期四本章小結(jié)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量形式為

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的直角坐標(biāo)形式為

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的自然坐標(biāo)形式為

第三