材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)

材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)工程問題中，有很多桿件是受扭轉(zhuǎn)的。自行車的中軸受扭轉(zhuǎn)?！?-1扭轉(zhuǎn)的概念材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)華北電力大學(xué)力學(xué)教研室材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)華北電力大學(xué)力學(xué)教研室材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)材料力學(xué)齒輪傳動示意圖材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用（矢量與軸線一致）變形特點(diǎn)：Me

Me

工程中主要承受扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件稱為“軸”，實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形形式。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)§4-2傳動軸的外力偶矩

·扭矩及扭矩圖Ⅰ、傳動軸的外力偶矩傳動軸的轉(zhuǎn)速n；所傳遞的功率P(kW)作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：求：傳動輪的轉(zhuǎn)速n

、功率P及其上的外力偶矩Me之間的關(guān)系：(P—馬力)Me

Me

AB材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)Ⅱ、扭矩及扭矩圖

圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號T表示。11利用截面法來確定.材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)扭矩的符號規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。

仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11xMeT圖+xT材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪輸入的功率P1=500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1

M2

M3

M4

ABCD材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)分別計(jì)算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)扭矩圖Tmax=9.56kN·m在CA段內(nèi)M1

M2

M3

M4

ABCDT圖(kN·m)材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)一、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與假設(shè)：§4-3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件1、相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但圓周的大小、形狀、間距都未變；2、縱向線傾斜了同一個角度g，表面上所有矩形均變成平行四邊形。平面假設(shè)：圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。表面變形特點(diǎn)：材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量切應(yīng)變gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'橫截面上沒有正應(yīng)力產(chǎn)生，只有切應(yīng)力，方向與圓周相切，即與半徑垂直。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體單元體·切應(yīng)力互等定理單元體——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'純剪切應(yīng)力狀態(tài)：

單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)O1O2ababdxMe

Me

二、橫截面上的應(yīng)力公式物理方面靜力學(xué)方面幾何關(guān)系A(chǔ)、幾何關(guān)系材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)gMe

Me

djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對于給定的橫截面為常量djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)剪切胡克定律：（在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。B、物理方面Od？橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與點(diǎn)到截面中心的間距成正比，即剪應(yīng)力沿截面的半徑呈線性分布。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)C、靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩

trdA

rrO令得T材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式：OdtmaxrtmaxtrT1、T為橫截面上的扭矩2、Ip為截面參數(shù)，取決于截面形狀與尺寸3、ρ為所求點(diǎn)距圓心距離。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)最大切應(yīng)力令即tmaxtmaxOdrtrT材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：—幾何性質(zhì)OdrrdDdrrOd材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)4-4圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件與合理設(shè)計(jì)一、扭轉(zhuǎn)失效塑性材料扭轉(zhuǎn)失效時(shí)，先發(fā)生屈服，最終沿橫截面斷裂。脆性材料扭轉(zhuǎn)失效時(shí)，變形很小，最終沿與軸線成45°螺旋面斷裂。對于塑性材料：對于脆性材料：材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)二、強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力三、圓軸合理截面OdtmaxrtmaxtrTtmaxtmaxODdTrtr材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例2實(shí)心等截面直軸，d=110mm，(1)試求截面Ⅱ上距軸線40mm處的點(diǎn)的剪應(yīng)力。(2)若已知[τ]=40MPa，試校核軸的強(qiáng)度。解：由扭矩圖得知T2材料力學(xué)(1)應(yīng)力計(jì)算材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)(2)強(qiáng)度計(jì)算＜[τ]材料力學(xué)軸的強(qiáng)度滿足危險(xiǎn)橫截面在AC段，Tmax材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例3（同例2）若AD輪互換位置，試校核軸的強(qiáng)度。解：互調(diào)AD輪位置后，扭矩圖如圖所示:∴強(qiáng)度不符合要求。材料力學(xué)Tmax材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)討論:扭矩合理分配MA

MBⅡⅠMC

ACBMA

ⅡⅠMBACMC

B22143614一定使軸上的Tmax最小材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)

例4（同例2）若BD軸改用內(nèi)外徑之比為9:10的空心軸，在保證同樣強(qiáng)度條件下，試確定空心軸的內(nèi)外徑d與D；并計(jì)算空心與實(shí)心軸的材料消耗之比。解：由得d=0.9D=141mm材料力學(xué)材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例已知：傳動軸為無縫鋼管，D=90mm，t=mm，Tmax=·m,[t]=60MPa。求：校核軸的強(qiáng)度。解：

計(jì)算Wt

切應(yīng)力材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例已知：同上例。將空心軸改為實(shí)心軸。要求與空心軸有相同的強(qiáng)度。Tmax=1.5kN·m。求：實(shí)心軸的直徑。解：

比較空心軸與實(shí)心軸實(shí)心軸截面積材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)

比較空心軸與實(shí)心軸實(shí)心軸截面積空心軸截面積空心軸與實(shí)心軸截面積比材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d

。試推導(dǎo)彈簧絲橫截面上的應(yīng)力并建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)解：1、求簧桿橫截面上的內(nèi)力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應(yīng)力a)剪力相應(yīng)的切應(yīng)力(假定均勻分布)b)扭矩相應(yīng)的切應(yīng)力OTA材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)當(dāng)D>>d

時(shí)可略去剪力的影響OTA當(dāng)D/

d<10時(shí),不可略去剪力的影響當(dāng)D/

d<10時(shí),不可略去剪力的影響m=D/

d材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)§4.5

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)角

扭轉(zhuǎn)變形

兩個橫截面繞軸線的相對轉(zhuǎn)角。

微段的扭轉(zhuǎn)角

整體的扭轉(zhuǎn)角djgD'TTO1O2ababdxDA材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)

整體的扭轉(zhuǎn)角

等直圓軸且扭矩不變時(shí)GIp

圓軸的抗扭剛度。

臺階軸或扭矩分段變化材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)二、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：對于精密機(jī)器的軸對于一般的傳動軸常用單位：/m稱為單位長度扭轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例5（同例2）d=110mm，若各輪之間距離均為l=2m，G=80GPa，[]=0.5°/m，(1)計(jì)算相鄰兩輪之間的扭轉(zhuǎn)角和軸兩端截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角。(2)試校核軸的剛度；材料力學(xué)解:(1)變形計(jì)算材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)軸兩端截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角為：材料力學(xué)(2)剛度計(jì)算所以剛度符合要求。Tmax材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例如圖傳動軸，n=500r/min，N1=500馬力，N2=300馬力，N3=200馬力，已知[τ

]=40MPa

，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[

]=1/m

，G=80GPa。求：確定AB和BC段直徑。解：

1）計(jì)算外力偶矩材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)2）計(jì)算直徑AB段：由強(qiáng)度條件

由剛度條件BC段：同理，由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得 由扭轉(zhuǎn)剛度條件得材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)§4-6扭轉(zhuǎn)靜不定問題

扭轉(zhuǎn)靜不定問題的解法，同樣是綜合考慮靜力、幾何、物理三方面。其主要難點(diǎn)仍是由變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程。例兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用如圖。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp，試求桿兩端的支反力偶矩。解：一次超靜定

設(shè)想解除固定端B處的約束，代之以約束力偶矩MB.MeABablCIIIMAMeCABIIIxBM設(shè)固定端A的支反力偶為MA,方向同MB材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)

變形協(xié)調(diào)條件：根據(jù)原靜不定桿的約束情況，B端的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)等于零,即補(bǔ)充方程為

列出平衡方程：

按疊加原理：BB、BM分別為MB、Me引起的在桿端B的扭轉(zhuǎn)角。MAMeCABIIIxBM材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)線彈性時(shí)，物理關(guān)系(胡克定理)為代入上式可解得MA可平衡方程求得。材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)例

圖示一長為l的組合桿，由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿套在一起而組成，內(nèi)、外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其扭轉(zhuǎn)剛度分別為GaIpa和GbIpb。當(dāng)組合桿的兩端面各自固結(jié)于剛性板上，并在剛性板處受一對扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用時(shí)，試求分別作用在內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)力偶矩。

解：

寫出獨(dú)立平衡方程

一次靜不定問題。ABMeeMrbarl材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形性質(zhì)變形協(xié)調(diào)條件：原桿兩端各自與剛性板固結(jié)在一起，故內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形相同。即補(bǔ)充方程為

代入物理關(guān)系(胡克定理)，與平衡方程聯(lián)立，即可求得Ma和Mb。

并可進(jìn)一步求得桿中切應(yīng)力如圖（內(nèi)、外兩桿材料不同），可見在兩桿交界處的切應(yīng)力是不同的。dDT1T1ttt2min1max2max21材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)變形