25初等變換與初等矩陣

第2.5節(jié)初等變換與初等矩陣線性代數(shù)1一、矩陣的初等變換二、初等矩陣三、用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣主要內(nèi)容:四、思考與練習2一、矩陣的初等變換線性方程組的一般形式什么是初等變換?3用矩陣形式表示此線性方程組：令那么，線性方程組可表示為4如何解線性方程組？可以用消元法求解。始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換：〔1〕交換方程次序；〔2〕以不等于０的數(shù)乘某個方程；〔3〕一個方程加上另一個方程的k倍．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．5假設記那么對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B〔方程組的增廣矩陣〕的變換．因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．6即，求解線性方程組實質(zhì)上是對增廣矩陣施行3種初等運算：(1)對調(diào)矩陣的兩行。(2)用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行的所有元素。將矩陣的某一行所有元素乘以非零常數(shù)k后加到另一行對應元素上。統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換7定義1：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:同理可定義矩陣的初等列變換(把“r〞換成“c〞)．8矩陣的初等變換通常稱(1)對換變換(2)倍乘變換(3)倍加變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換9定義2：如果矩陣A經(jīng)過行（列）初等變換可化為B，則稱A與B行（列）等價.若矩陣A經(jīng)過初等變換可化為B，則稱A與B等價.記作.等價關系的性質(zhì)：（1）反身性（2）對稱性若，則.（3）傳遞性若，則10用矩陣的初等變換解以下方程組〔1〕11用矩陣的初等行變換解方程組〔1〕：12131415特點：〔1〕可劃出一條階梯線，線的下方全為零；〔2〕假設存在零行，零行位于非零行的下方.臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．非零行的首非零元的列標逐行增加.16注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形．17例如，18特點：

所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.19注：1、任何一個矩陣經(jīng)過有限次初等變換總可以化為標準型；2、階可逆方陣化為標準型矩陣必為階單位陣；20定義3：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種根本運算，應用廣泛.二、初等矩陣21(1)對調(diào)兩行或兩列，得初等對換矩陣。22(2)以數(shù)乘某行或某列，得初等倍乘矩陣。23(3)以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩陣。24初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。25例1：計算26定理：證明：具體驗證即可27一般記法：28例2：(1)設初等矩陣29解：3031解：32三、用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣.定理：可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積推論1：證明：由定理，知,即存在初等矩陣使得又因為初等矩陣可逆，所以等號兩邊左乘初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，定理得證。33等號兩邊右乘推論2：如果對可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，那么當變成單位矩陣時，就變成。即，即，34解：例3：3536練習：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣3738假設作初等行變換時,出現(xiàn)全行為0，那么矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時,假設用初等行變換必須堅持始終,不能夾雜任何列變換.注：即初等行變換另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣39例4：解：方法1：先求出，再計算。方法2：直接求。初等行變換4041列變換行變換又，42例5：將矩陣A表示成三個初等矩陣的乘積。解：431.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:小結(jié)：44要求掌握內(nèi)容:(1)掌握三種初等變換及與之對應的三種初等矩陣.做到給出變換會寫相應