普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，是z的共軛復(fù)數(shù)，則A． B． C． D．2．已知集合，，若，則A． B． C． D．3．已知命題的否定為“，”，則下列說(shuō)法中正確的是A．命題為“，x2+1>1”且為真命題B．命題為“，”且為假命題C．命題為“，”且為假命題D．命題為“，”且為真命題4．世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費(fèi)馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費(fèi)馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費(fèi)馬大定理”．281年過(guò)去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．在不超過(guò)17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的S的值是A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是A． B． C． D．7．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為A．8 B． C．4 D．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，則雙曲線的離心率是A． B．2 C． D．9．如圖，生活中有很多球缺狀的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠面積公式為，球缺的體積公式為，其中R為球的半徑，H為球缺的高．現(xiàn)有一個(gè)球被一平面所截形成兩個(gè)球缺，若兩個(gè)球冠的面積之比為，則這兩個(gè)球缺的體積之比為A．B．C． D．10．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是A．-2 B． C． D．111．為了降低或消除白熾燈對(duì)眼睛造成的眩光，給光源加上一個(gè)不透光材料做的燈罩，可以起到十分顯著的效果.某一燈罩的防止眩光范圍，可用遮光角這一水平夾角來(lái)衡量.遮光角是指燈罩邊沿和發(fā)光體邊沿的連線與水平線所成的夾角，圖中燈罩的遮光角用表示.若圖中，，且，則A．44 B．66 C．88 D．110曲線，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為______．7816

6572

0802

6314

0702

4369

1128

059814．在等比數(shù)列中，、是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝_______．15．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，異面直線AB與CD的夾角為__________．16．若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17．(12分)已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前n項(xiàng)和為，證明：．18．(12分)某校工會(huì)開展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)下圖是校工會(huì)根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名（按照從大到小排序）分別為第68和第142，請(qǐng)指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說(shuō)明理由）．19．(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線C過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．20．(12分)如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑.(1)弦上是否存在點(diǎn)D，使得平面，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，點(diǎn)，A，B，C都在半徑為的球面上，求二面角的余弦值.21．(12分)已知函數(shù).（1）若在處有極值，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.；（2）若，設(shè).①求證：當(dāng)時(shí)，；②設(shè)，求證：（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，常數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線和相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求的值.23．[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為2，且，求的最小值．2023屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)(理科)參考答案一、單選題1．答案：A解析：依題意，，則，所以.故選：A2．答案：D解析：由題意可知，，即，所以，所以，.故選：D.3．答案：C解析：命題的否定為特稱命題，：，，當(dāng)時(shí)，，為假命題，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.4．答案：B解析：不超過(guò)17的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，共7個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)，其和為奇數(shù)包含的基本事件有：，共6個(gè)，所以.故選：B5．答案：B解析：由題意可知，流程圖的功能為計(jì)算的值，裂項(xiàng)求和可得：.故選：B.6．答案：D解析：對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠?，不符合題意；對(duì)于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對(duì)于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對(duì)于D：的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以值域?yàn)?，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．7．答案：A解析：因?yàn)?，?所以.所以.故選：A8．答案：A解析：由題意設(shè)一條漸近線的傾斜角為，則另一條漸近線的傾斜角為，由雙曲對(duì)稱性可得，則一條漸近線的斜率為，設(shè)雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，則，故離心率為，故選：A9．答案：C解析：設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，①由題意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的體積，大球缺的體積，所以小球缺與大球缺體積之比為.故選：C.10答案：B解析：由題意可得，解得或，設(shè)兩個(gè)為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個(gè)根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個(gè)根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B11．答案：B解析：，即，所以，，解得，故選：B.12．答案：B解析：由題意得：，即，即曲線上的點(diǎn)為圓上或圓外的點(diǎn)，由得：或，由得：或或或，由此可得曲線的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、填空題13．答案：11解析：由題設(shè)，依次取出的編號(hào)為08、02、14、07、11、05，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為11.故答案為：1114．答案：解析：，由題是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則由韋達(dá)定理，所以又是的等比中項(xiàng)且與同號(hào)，則.故答案為：.15．答案：解析：如圖所示，把展開圖恢復(fù)到原正方體．連接AE，BE．由正方體可得且，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AEDC．∴或其補(bǔ)角是異面直線AB與CD所成的角．由正方體可得：，∴是等邊三角形，∴．∴異面直線AB與CD所成的角是60°．故答案為：60°16．答案：1解析：設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而曲線也關(guān)于直線對(duì)稱，因此點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，從而，，所以．故答案為：1.三、解答題17．答案：(1)；(2)詳見解析.解析：（1）由設(shè)數(shù)列的公差為，則解得，，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以；（2）由，可得，所以,又，故.18．答案：(1)(2)分布列見解析，(3)3月3日解析：（1）令時(shí)間A為“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000”，從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，甲乙微信記步數(shù)都不低于10000，故.（2）由（1）知：，，，，的分布列為：（3）根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在，，，，（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為人，人，人，人，人，由甲微信記步數(shù)排名第68，可知當(dāng)天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬(wàn)之間，根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當(dāng)天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬(wàn)之間，根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．答案：(1)(2)證明見解析解析：（1）因?yàn)閽佄锞€C過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，直線l的方程為，聯(lián)立，化為，，∴，∵，∴，，解得，滿足，∴直線l的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn)．20．答案：(1)存在，理由見解析(2)解析：（1）當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取AB的中點(diǎn)D，連接OD，∵O，D分別為，的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.（2）∵是的直徑，可得，即，且，，故，，又∵平面，且平面，∴，即，，兩兩垂直，且點(diǎn)，A，B，C都在半徑為的球面上，可知該球?yàn)橐?、、為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，則，可得，以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，可得，且為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.21．答案：（1）存在，；（2）①證明見解析；②證明見解析.解析：由題可知，.（1）由，可得，.又當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故函數(shù)在處取得極值，所以.∵，.∴，當(dāng)時(shí)，由上述討論可知，單調(diào)遞增，故不等式對(duì)任意及恒成立，即：，即：對(duì)恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即為所求.（2）①∵，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即證.②由①可得：令：，得，即：=即證.22．答案：(1)