廣東省梅州市梅北中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省梅州市梅北中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：D

依題意；化簡(jiǎn)集合，，利用集合的運(yùn)算可得：.故選D.2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為

(A)

(B)

(C)或

(D)參考答案：C略3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐（也可以看成是一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體），代入錐體體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其底面S=（1+2）×1=，高h(yuǎn)=1，故體積V==，故選：D也可以看成是一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，同樣得分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的表面積和體積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．4.如圖，在正四棱錐中，分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．中恒成立的為（

）（A）①③

（B）③④

（C）①②

（D）②③④參考答案：A5.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（－1,1）上是增函數(shù)的為（

）A、y＝|x＋1|B、y＝sinxC、y＝D、y＝lnx參考答案：6.若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）Ａ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行Ｂ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直Ｃ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交Ｄ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面參考答案：答案：B解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為，若與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。由于l、m只有惟一的公垂線，而過(guò)點(diǎn)P與公垂線平行的直線只有一條，故B正確。對(duì)于選項(xiàng)C、D可參考右圖的正方體，設(shè)AD為直線l，為直線m;若點(diǎn)P在P1點(diǎn)，則顯然無(wú)法作出直線與兩直線都相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。若P在P2點(diǎn)，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。7.

如圖所示的曲線是函數(shù)的大致圖象，則等于（

）A．

B．C．

D．參考答案：C8.已知{an}是公差d不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若成等比數(shù)列，則A. B.C. D.參考答案：B∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴，，故選B.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以小于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O；③連接AP，交BC于點(diǎn)E．若CE＝3，BE＝5，則AC的長(zhǎng)為()A.4 B.5 C.6 D.7參考答案：C【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進(jìn)而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC=ED=3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC=AD，∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，∴BD=4，設(shè)AC=x，則AB=4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2，解得：x=6，即AC的長(zhǎng)為：6．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確得出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．10.已知集合，，則（

）A.(－1,2)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.(－1,1)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且=，a2=5，則S6=．參考答案：722【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為2．∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1，則S6=﹣6=722．故答案為：722．12.閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為_(kāi)__________參考答案：13.如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．若EB=6，EC=6，則BC的長(zhǎng)為

．參考答案：2考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專(zhuān)題：直線與圓．分析：連接OC，由弦切角定理推導(dǎo)出OC∥AD．由AD⊥DC，得到DC⊥OC，由切割線定理得到EC2=EB?EA．再由已條件推導(dǎo)出△ECB∽△EAC，由此能求出BC長(zhǎng)．解答： 解：∵AB是⊙O的直徑，∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在⊙O上．連接OC，由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD．又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC．∵OC為⊙O半徑，∴DC是⊙O的切線．∵DC是⊙O的切線，∴EC2=EB?EA．又∵EB=6，EC=6，∴EA=12，AB=6．又∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴==，∴AC=BC．又∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意切割線定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．14.垂直于直線x+2y-3=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線的方程_________.參考答案：略15.已知函數(shù)，將的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上至少含有個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為

參考答案：16.計(jì)算：參考答案：略17.如圖，該程序運(yùn)行后輸出結(jié)果為_(kāi)________．

參考答案：16

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕成本為50元，每個(gè)蛋糕的售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩余的蛋糕作垃圾處理.現(xiàn)搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），得到如圖所示的柱狀圖.100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率.（1）若蛋糕店一天制作17個(gè)生日蛋糕.①求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式；②求當(dāng)天的利潤(rùn)不低于600元的概率.（2）若蛋糕店計(jì)劃一天制作16個(gè)或17個(gè)生日蛋糕，請(qǐng)你以蛋糕店一天利潤(rùn)的平均值作為決策依據(jù)，應(yīng)該制作16個(gè)還是17個(gè)生日蛋糕？參考答案：（1）①②．（2）該制作17個(gè)生日蛋糕.【分析】（1）①討論需求量和17的關(guān)系可得分段函數(shù)；②由柱狀圖可得需求量不低于個(gè)的頻率，進(jìn)而可得概率；（2）分別求出制作16個(gè)和17個(gè)蛋糕的平均利潤(rùn)，即可得解.【詳解】（1）①當(dāng)天的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)天需求量的函數(shù)解析式為：②設(shè)“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”為事件A，由①知，“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”等價(jià)于“需求量不低于15個(gè)”，所以當(dāng)天的利潤(rùn)不低于600元的概率為．（2）若一天制作個(gè)蛋糕，則平均利潤(rùn)為：；若一天制作個(gè)蛋糕，則平均利潤(rùn)為：；，蛋糕店一天應(yīng)該制作17個(gè)生日蛋糕.【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，理解題意是解題的關(guān)鍵，并能用統(tǒng)計(jì)的思想計(jì)算平均數(shù)，屬于中檔題.19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，，求b.參考答案：(1)(2)或5.【分析】（1）利用降冪公式和正弦定理可把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.（2）利用余弦定理渴求b.【詳解】解：（1）由題意知，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，且為?nèi)角，即.（2）由余弦定理得，所以，所以，所以或5.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.20.（14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值，總有不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的

“凸函數(shù)”.試證當(dāng)時(shí)，為“凸函數(shù)”.參考答案：解析：（Ⅰ）由，得.

………………2分

由函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，得在上恒成立，

即不等式在上恒成立.

也即在上恒成立.

……………4分令，上述問(wèn)題等價(jià)于．而為在上的減函數(shù)，則．于是為所求.

……………6分（Ⅱ）證明：由，得．．

而

．

①

∵，∴.

……………9分

又，

∴．

②

……………11分

∵

，∴.

∴.

③

……………13分

由①、②、③，得

.

即，從而由凸函數(shù)的定義可知函數(shù)為凸函

數(shù).

……………14分

21.已知橢圓的離心率，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時(shí)，斜率之和是與m無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1