2022-2023學年四川省雅安市高二下學期期中數(shù)學（理）試題【含答案】

2022-2023學年四川省雅安市高二下學期期中數(shù)學（理）試題一、單選題1．復數(shù)為虛數(shù)單位的模為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】應用復數(shù)除法化簡復數(shù)，即可得模.【詳解】，故模為.故選：C2．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)運算公式逐項求解即可.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D.3．對于命題，，若是假命題，是假命題，則下列判斷正確的是（）A．，都是真命題 B．，都是假命題C．是真命題，q是假命題 D．是假命題，是真命題【答案】D【分析】根據(jù)命題的真值表即可判斷．【詳解】因為是假命題，所以命題，中至少有一個為假命題，又因為是假命題，所以，都是假命題，所以為真命題，故選：D．4．曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)在點處的導數(shù)值，根據(jù)點斜式求切線方程..【詳解】因為，所以，所以，所以曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，故選：A.5．在正四面體中，F(xiàn)是的中點，E是的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的運算法則即可得，再由三角形法則即可求得.【詳解】根據(jù)題意可得，；再由，可得.故選：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學參加勞動技術比賽，決出第一名到第五名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍，”對乙說：“你不是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（

）不同的排列A．36 B．54 C．60 D．72【答案】B【分析】利用特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮，結合分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下人有種可能，所以5人的名次排列有種不同情況.故選：B.7．命題“，”是真命題的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用恒成立問題的建立不等式，進一步求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】命題“，”為真命題，則在上恒成立，∵，∴，則.故選∶B．8．直線l的方向向量為，且l過點，則點到直線l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，，∴，又，∴在方向上的投影，∴P到l距離.故選：C9．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合函數(shù)值，以及函數(shù)的變化趨向，即可判斷選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除B，設，，所以在上單調(diào)遞增，，，所以當時，，故排除D；當時，，故排除A.故選：C10．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結果．【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．【點睛】本題考查乘法原理的運用和排列知識，還運用了捆綁法和插空法解決相鄰和不相鄰問題，考查學生分析解決問題的能力．11．設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù)，研究其單調(diào)性，進而可以比較a，b，c的大小.【詳解】令，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，，因為，所以.故選：D.12．已知是偶函數(shù)的導函數(shù)，．若時，，則使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，求導得，進而可得時，單調(diào)遞增，由于為偶函數(shù)，推出為奇函數(shù)，進而可得在上單調(diào)遞增，由于，則，由于，則，推出，即可得出答案．【詳解】設，，由題意得時，，單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選：C．二、填空題13．方程的復數(shù)根是__________.【答案】【分析】利用復數(shù)單位i的性質(zhì)，解方程即可求得答案.【詳解】由題意得方程即，故，故的復數(shù)根是，故答案為：14．已知向量，且與互相垂直，則實數(shù)__________.【答案】/【分析】求出，根據(jù)向量模長公式列出方程，求出.再分與兩種情況，根據(jù)向量垂直列出方程，求出實數(shù)k的值.【詳解】，所以，解得.當時，，，因為與互相垂直，所以，解得.當時，，因為與互相垂直，所以，解得，綜上：.故答案為：15．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，，，，五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，符合這些要求的不同著色的方法共有____．（用數(shù)字填寫答案）【答案】540【分析】利用分步計數(shù)原理并按AD同色和AD不同色分類討論，即可求得符合這些要求的不同著色的方法數(shù).【詳解】按照的順序依次著色：當AD同色時，不同著色的方法有；當AD不同色時，不同著色的方法有則符合這些要求的不同著色的方法共有（種）故答案為：54016．已知函數(shù)在點處的切線過點，則的最小值為__________.【答案】12【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在點處的切線方程，可推出，將化為，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由函數(shù)可得，則，故函數(shù)在點處的切線方程為，即，則由題意可得，故，當且僅當，即取等號，即的最小值為12，故答案為：12三、解答題17．已知復數(shù).(1)若復數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)實部為零，虛部不為零列式計算即可；（2）直接根據(jù)實部大于零，虛部小于零列不等式計算即可；【詳解】（1），且復數(shù)為純虛數(shù)，，解得；（2）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，，解得.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(2)最大值為59，最小值為-49【分析】（1）求定義域，求導，解不等式，得到單調(diào)區(qū)間；（2）求出極值和端點值，比較后確定最值.【詳解】（1）的定義域為R，且，令得，令得，所以遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間；(2)x-3(-3，-1)-1(-1，1)1(1，3)3+0-0+-49單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減極小值-1單調(diào)遞增59所以函數(shù)在上的最大值為59，最小值為-49.19．設：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足.(1)若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)為真，則真且真，即可求實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)是的充分不必要條件，列出不等式即可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由得，當時，，即為真時，實數(shù)的取值范圍是，由，解得，即為真時，實數(shù)的取值范圍是，若為真，則真且真，故實數(shù)的取值范圍是.（2）由得，又，∴.若是的充分不必要條件，則，且.∴，且.∴是的充分不必要條件.設，，則.∴且等號不同時取到，解得.∴實數(shù)的取值范圍是.20．如圖，在正四棱柱中，，M是棱上任意一點．(1)求證：；(2)若M是棱的中點，求異面直線AM與BC所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線線垂直；（2）在第一問的基礎上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值.【詳解】（1）證明：以A為原點，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，，所以；（2）M是棱的中點，故，則，設異面直線AM與BC所成角的大小為，則，故異面直線AM與BC所成角的余弦值為.21．如圖，在直三棱柱中，，點D是的中點，點E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接、，由三角形的中位線定理可得，進而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由線面垂直的性質(zhì)可得平面，從而推出平面，再由面面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）知平面，當三棱錐的體積最大時，設出，結合立體幾何的體積公式，和基本不等式可求出，建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合向量的夾角與線面角的關系，即可求解.【詳解】（1）取中點，連接、，如圖所示：，點是的中點，，又是的中點，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，則，設，則，，，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，即三棱錐的體積最大，此時，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則有，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，取，解得，設直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對求導，分類討論和時的正負，即可得出的單調(diào)性；（2）解法一：“方程有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)有兩個零點”．對求導，討論的單調(diào)性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，對求導，得出的單調(diào)性和最值即可得出答案.【詳解】（1）由條件知，，當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）解法一：由方程得，“方程有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)有兩個零點”．，．①當時，，在上是增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；②當時，由得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減．（?。┤簦瑒t，最多只有一個零點；（ⅱ）若，因為，且，，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點．令函數(shù)，則，．當時