連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度

連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x有則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)

f(x)稱(chēng)為

X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度。連續(xù)型隨機(jī)變量的概念第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)

f(x)的幾何意義-10-550.020.040.060.08第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五由定義知道，概率密度f(wàn)(x)

具有以下性質(zhì)f(x)0x1概率密度的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某X的概率密度函數(shù)的充要條件第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五這是因?yàn)樽?/p>

由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義，我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題。第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)數(shù)集A

(嚴(yán)格意義下要求可測(cè)性),

第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,有概率密度

f(x)，則

（2）在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，有

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密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五注

1、對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量,密度函數(shù)唯一決定分布函數(shù)。

2、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定是連續(xù)的；分布函數(shù)如果不連續(xù)就不是連續(xù)型隨機(jī)變量

(除了連續(xù)型分布和離散型分布以外還存在其它類(lèi)型的分布)。第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解⑴由密度函數(shù)的性質(zhì)求：⑴常數(shù)c；第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

某電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量。求5個(gè)同類(lèi)型的元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率。解設(shè)A={某元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)需要更換}第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五檢驗(yàn)5個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重伯努利試驗(yàn)

B={5個(gè)元件中恰有2個(gè)的使用壽命不超過(guò)

150小時(shí)}第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

確定常數(shù)k

；(2)求X的分布函數(shù)；(3)

求第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五解(1)由得故，X的概率函數(shù)為第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(2)由得第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)當(dāng)然，還可以用概率密度求概率。第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

確定A、B的值；(2)

求X的概率密度；(3)

求第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五故有解(1)

因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量，所以F(x)連續(xù)即第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)(2)

由得當(dāng)然，還可以用概率密度求概率。第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五注

在F(x)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定的值。第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五二幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1、均勻分布則稱(chēng)X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布，若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為記作第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五均勻分布密度函數(shù)的圖形第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五其分布函數(shù)為第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五均勻分布的特性如果隨機(jī)變量X在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布，則X落在區(qū)間（a,b）中的任意一個(gè)子區(qū)間上的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。即隨機(jī)變量X落在區(qū)間（a,b）中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五X(qián)abxll0即X第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

例5

設(shè)公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來(lái)一班車(chē)，如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30

之間的均勻隨機(jī)變量，試求該乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率。解設(shè)該乘客于7時(shí)X分到達(dá)此站則X服從區(qū)間[0,30]上的均勻分布第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五令B={候車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘}則第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、指數(shù)分布其中θ>0為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布密度函數(shù)的圖形第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五則其分布函數(shù)為第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布的應(yīng)用指數(shù)分布具有“無(wú)記憶性”。所以，又把指數(shù)分布稱(chēng)為“永遠(yuǎn)年輕”的分布。對(duì)任意

s,t>0,有“無(wú)記憶性”：若X服從參數(shù)為θ

的指數(shù)分布，則

指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似。第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例

設(shè)某日光燈的使用壽命服從參數(shù)θ=2000的指數(shù)分布（單位：h）（1）任取一根這種燈管，求能正常使用1000h以上的概率。（2）某燈管已近正常使用了1000小時(shí)，求還能使用1000小時(shí)以上的概率。第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中μ，σ

（

σ

>0）為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ，σ

的正態(tài)分布或高斯分布。

記作若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為3、正態(tài)分布第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五其分布函數(shù)為第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五正態(tài)分布的應(yīng)用若隨機(jī)變量X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加，則X服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛、最重要的一種分布。例如各種測(cè)量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)；

……

都服從或近似服從正態(tài)分布。第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何特性第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）曲線關(guān)于直線

x=

對(duì)稱(chēng)：

f(+x)=f(-x)；（2）在

x=

時(shí)，

f(x)取得最大值（3）在

x=±

時(shí)，曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)；（4）曲線

y=f(x)以x軸為漸近線；（5）曲線

y=f(x)的圖形呈單峰對(duì)稱(chēng)狀；第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）

—位置參數(shù)即固定，改變

的值，則f(x)的形狀不變，只是位置不同，沿著x軸作平移變換。正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)

的兩個(gè)參數(shù)：第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）

—形狀參數(shù)即固定

，改變

的值，則f(x)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不變，而形狀在改變。越小，圖形越高越瘦；越大，圖形越矮越胖。第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)μ=0，σ=1

時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其概率密度和分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)的圖形第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五重要結(jié)論

若，則

1、3、2、第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明1、

的分布函數(shù)為故第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、由1得3、由2

得第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)上述結(jié)論，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以通過(guò)查表解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。說(shuō)明第五十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5

設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，試求（1）；解（1）（2）

（2）

第五十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五解（1）例6

設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,9)，試求（1）；（2）

；

（3）

第五十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）第五十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）第五十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五若X~N(μ,σ)

，則

3σ—準(zhǔn)則可以看到，X的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi)，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作3σ—準(zhǔn)則。第五十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五這說(shuō)明，X