近代概率論基礎(chǔ)第一章 概率空間

一、內(nèi)容與學(xué)時(shí)第一章概率空間第二章條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性第三章隨機(jī)變量與分布函數(shù)第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)第五章極限定理共32學(xué)時(shí)（5學(xué)時(shí)）（5學(xué)時(shí)）（6學(xué)時(shí)）（8學(xué)時(shí)）（8學(xué)時(shí)）第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五二、參考書目《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》高等教育出版社1995.2.華東師范大學(xué)魏宗舒等編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》高等教育出版社1997.1.浙江大學(xué)盛驟謝式千潘承毅編《概率論基礎(chǔ)》高等教育出版社2005.3.復(fù)旦大學(xué)李賢平編按照由淺到深或由簡(jiǎn)到難的順序排列第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五4.南開大學(xué)揚(yáng)振明編《概率論》科學(xué)出版社2004.5.北京師范大學(xué)嚴(yán)士健王雋驤劉秀芳著《概率論基礎(chǔ)》科學(xué)出版社1999.6.復(fù)旦大學(xué)汪嘉岡編著《現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)》復(fù)旦大學(xué)出版社1988.第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五三、說明

本課程是在工科的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生開設(shè)的一門課程，旨在對(duì)工科概率論中的一些概念和理論加以嚴(yán)格化和進(jìn)一步地深化，因而教材中有很多內(nèi)容我們都是一帶而過，有的甚至根本不講。有時(shí)還補(bǔ)充一些新內(nèi)容。希望通過本課程的學(xué)習(xí)，能使大家掌握近代概率論的一些基本思想、基本理論和基本方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與科學(xué)思維能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)《隨機(jī)過程》等后繼課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五四、常用的一些記號(hào)2、從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，不考慮其順序，其總數(shù)為1、從n個(gè)元素中取出r個(gè)(r≤n)進(jìn)行排列，其總數(shù)為其中一般地，用記正整數(shù)，用記實(shí)數(shù)。且有第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五3、將排列公式推廣，定義及則若，則由泰勒公式得：因此第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)?/p>

利用冪級(jí)數(shù)的乘法，計(jì)算的冪級(jí)數(shù)展開式中冪前面的系數(shù)知：特別地或4、第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五第一章概率空間第一節(jié)古典概型中的幾個(gè)經(jīng)典問題

第三節(jié)概率空間第二節(jié)幾何概型

第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)古典概型中的幾個(gè)經(jīng)典問題

一、生日問題

二、抽簽問題三、摸球問題四、德.梅爾問題第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五一、生日問題（又稱為分房問題）例將n個(gè)球隨機(jī)地放入N(N>n)個(gè)盒子中，設(shè)各個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，求：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率。解將n個(gè)球放入N個(gè)盒子，每一種方法是一個(gè)基本事件直接放球先選好格子，再放球或第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例(生日問題)設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機(jī)選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解(1)設(shè)A=“n個(gè)人的生日各不相同”(2)設(shè)B=“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”當(dāng)n等于64時(shí)，在64人的班級(jí)中，B發(fā)生的概率接近于1，即B幾乎

總是會(huì)出現(xiàn)。第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

二、抽簽問題例袋中有a只黑球和b只白球，k個(gè)人把球隨機(jī)的一只只摸出來，求第k個(gè)人摸出的是黑球的概率。解

將k個(gè)人取球的每一種取法看成一個(gè)樣本點(diǎn)在體育比賽中進(jìn)行抽簽，對(duì)各隊(duì)的機(jī)會(huì)均等，與抽簽的先后次序無關(guān)。這說明：第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五三、摸球問題例如果某批產(chǎn)品中有a件次品b件好品，我們采用放回和不放回取樣方式從中抽n件產(chǎn)品，問正好有k件是次品的概率各是多少？【放回抽樣】把a(bǔ)+b件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回的抽n次，把可能的重復(fù)排列全體作為樣本點(diǎn)。這即為二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量取值為k的概率。第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五從a+b件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)。這即為超幾何分布中隨機(jī)變量取值為k的概率?！静环呕爻闃印孔⒁猓寒?dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大時(shí)，采用有放回抽樣與采用不放回抽樣，差別不大。第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五四、德.梅爾問題例一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子投24次至少得到一個(gè)雙六，這兩個(gè)事件中哪一件有更多的機(jī)會(huì)遇到？因而解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)這一事件，則表示投一顆骰子4次沒有出現(xiàn)六點(diǎn)，故第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

這個(gè)問題在概率論發(fā)展史上頗有名氣，因?yàn)樗堑旅窢栂虬退箍ㄌ岢龅膯栴}之一。正是這些問題導(dǎo)致了巴斯卡的研究和他與費(fèi)馬的著名通信。他們的研究標(biāo)志著概率論的誕生。同理，若以B表示兩顆骰子投24次至少得到一個(gè)雙六，則因而，這兩件事情中，前面一件事情更容易遇到。第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)幾何概型

即：若以記“在區(qū)域中隨機(jī)的取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落在區(qū)域g中”這一事件，則其概率定義為：此時(shí)，等可能性可以通過下列方式來賦予意義：落在某區(qū)域g的概率與區(qū)域的“幾何度量”（長度、面積、體積等等）成正比并且與其位置和形狀無關(guān)。這種區(qū)域的度量統(tǒng)稱為“勒貝格（Lebesgue）測(cè)度”。有時(shí)，試驗(yàn)的可能結(jié)果是某區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)區(qū)域可以是一維的，也可以是二維的，還可以是n維的，這時(shí)不管是可能結(jié)果全體，還是我們感興趣的結(jié)果都是無限的。第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例1（會(huì)面問題）兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，這時(shí)就可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率解以x，y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則會(huì)面的充要條件為可能的結(jié)果全體是邊長為60的正方形中的點(diǎn)，能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出，故所求的概率為60202060xy0

實(shí)際上，我們假定了兩人到達(dá)的時(shí)間在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間的機(jī)會(huì)均等且互不影響。第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例2在圓周上任取三點(diǎn)A，B，C，試求這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形的概率解分別以x，y，z表示的弧度，于是樣本點(diǎn)是三維空間中的點(diǎn)（x，y，z），而樣本空間為故所求的概率為由任意性可知樣本點(diǎn)在中均勻分布。我們關(guān)心的事件為zxyDEFMNL第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五幾何概型在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中曾經(jīng)起過重大作用。19世紀(jì)時(shí)，不少人相信，只要找到適當(dāng)?shù)牡瓤赡苄悦枋?，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構(gòu)造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理卻相互矛盾的答案。下面就是一個(gè)著名的例子。貝特朗奇論在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一弦，求其長超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率?！窘夥ㄒ弧咳魏蜗医粓A周兩點(diǎn)，不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的弧長為整個(gè)圓周的，故所求的概率為。第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五【解法二】弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于時(shí)，其長才大于，因此所求的概率為。【解法三】BA弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為的同心圓時(shí)，弦長才大于，此小圓面積為大圓面積的，故所求的概率為。NABMCABC第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五同一問題有三種不同的答案，細(xì)究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定。在第一種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種解法中，假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第三種解法中，又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。這三種答案針對(duì)三種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的。

因此在使用術(shù)語“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異。

由于采用等可能性來定義概率有這種困難，因此后來就選擇另外的途徑，即在定義概率這一基本概念時(shí)只指明概率應(yīng)具有的基本性質(zhì)，而把具體概率的給定放在一邊，這樣做的好處是能針對(duì)不同的隨機(jī)試驗(yàn)給定適當(dāng)?shù)母怕省５诙摚参迨豁?，編輯?023年，星期五第三節(jié)概率空間一、概率空間及其三要素1、樣本空間2、與可測(cè)空間3、概率P與概率空間二、概率的可列可加性與連續(xù)性三、概率空間的實(shí)際例子第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五在《工科概率》中講到：事件就是某些樣本點(diǎn)組成的集合，事件之間的運(yùn)算也就是集合運(yùn)算。前蘇聯(lián)學(xué)者科爾莫哥洛父于1933年在《概率論基礎(chǔ)概念》一書中，用公理化的方法與集合論的觀點(diǎn)成功地解決了這一問題，提出了概率空間的概念。但是，并沒有對(duì)事件的集合進(jìn)行限制。對(duì)于事件，一個(gè)很明顯的要求就是所有事件組成的集合對(duì)于并、交、余這三種運(yùn)算封閉。第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五一、概率空間及其三要素1、樣本空間

是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為樣本點(diǎn)，相應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。2、與可測(cè)空間我們把事件A定義為的一個(gè)子集，它包含若干樣本點(diǎn)，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的樣本點(diǎn)中有一個(gè)發(fā)生。一般并不把的一切子集都作為事件，因?yàn)檫@將對(duì)給定概率帶來困難。同時(shí)，又必須把問題中感興趣的事件都包括進(jìn)來，因?yàn)槭录慕?、余、并等也?yīng)該為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率。第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五若是由樣本空間的一些子集構(gòu)成的一個(gè)域，則稱它為事件域，中的元素稱為事件，稱為必然事件，稱為不可能事件。于是，我們把事件的全體記為，它是由的某些子集構(gòu)成的集類，并且還應(yīng)滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集類為域，也稱代數(shù)。很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例1：為一域。例2：為一域。例3是由的一切子集構(gòu)成。這時(shí)，是一個(gè)有限的集合。共有元素2n個(gè)。為一域。例4為一域。可以驗(yàn)證對(duì)于一般的，若由的一切子集構(gòu)成。注：事件域可以很簡(jiǎn)單，也可以十分復(fù)雜，要根據(jù)問題的不同要求來選擇適當(dāng)?shù)氖录颉５诙唔?，共五十一頁，編輯?023年，星期五命題給定的一個(gè)非空集類，必然存在唯一的一個(gè)中的域，滿足：（1）包含，（2）若有其它域包含，則必包含。稱為包含的最小域，或由產(chǎn)生的域。一維博雷爾(Borel)點(diǎn)集以后，用記數(shù)直線或?qū)崝?shù)全體，用記n維歐幾里得（Euclid）空間。由一切形為[a,b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的域稱為一維博雷爾域，記為，中的集合稱為一維博雷爾點(diǎn)集。

n維博雷爾點(diǎn)集由一切n維矩形產(chǎn)生的n維博雷爾域。第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五若x,y表示任意實(shí)數(shù)，由于因此，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，可列個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運(yùn)算而得出的集合。這是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。同樣，也是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五3、概率P與概率空間（i）

概率P為定義在事件域上的函數(shù)，即它是一個(gè)從到的映射：，且它滿足（ii）性質(zhì)（iii）稱為可列可加性或完全可加性。（iii）若且兩兩互不相容，則稱這樣的P為可測(cè)空間上的一個(gè)概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱為概率。稱為概率空間。第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五可以推出，概率測(cè)度P有以下性質(zhì)：有限可加性即若，則若，則②①第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五概率的加法公式布爾不等式Bonferroni不等式加法公式的推廣提示：可用歸納法證明第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五

利用上面的公式來作概率的計(jì)算，常能使解題思路清晰，計(jì)算便捷。例5（匹配問題）某人寫好n封信，又寫好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對(duì)的概率。解：若以Ai記第i封信與信封符合，則所求的事件為不難求得第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五因此例6從數(shù)字中（可重復(fù)地）任取n次，試求所取的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率。解n個(gè)數(shù)的乘積要能被10整除，則這n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，也至少有一個(gè)為5，因取數(shù)是放回抽樣，顯然樣本空間中有基本事件9n

個(gè)。第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五設(shè)A={所取的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除}，B={所取的n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)}，C={所取的n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為5}，則故為所取的n個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，故所含基本事件數(shù)為5n；為所取的n個(gè)數(shù)無五，故所含基本事件數(shù)為8n；為所取的n個(gè)數(shù)全為奇數(shù)且不含5，故所含基本事件數(shù)為4n，所以有計(jì)算公式得：第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五二、概率的可列可加性與連續(xù)性定義1：若且，則是中的一個(gè)單調(diào)不減的集序列。若且，則是中的一個(gè)單調(diào)不增的集序列。定義2：對(duì)于上的集合函數(shù)，若它對(duì)中任何一個(gè)單調(diào)不減的集序列均有：成立，則我們稱它是下連續(xù)的。（1）若（1）式對(duì)中任何一個(gè)單調(diào)不增的集序列均成立，則我們稱它是上連續(xù)的。第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五定理若為上滿足的非負(fù)集合函數(shù)，則它具有可列可加性的充要條件為：（ii）它是下連續(xù)的。（i）它是有限可加的；分析：即要證明提示：因?yàn)楣是移渲谢ゲ幌嗳?，為單調(diào)不減的集序列，即第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五證明：（1）已證明，下面證明（2）。（2）得證。其中互不相容，為單調(diào)不減的集序列，即第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五其中互不相容，為單調(diào)不減的集序列，即這樣，我們便證得式。第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五推論1

概率是下連續(xù)的。推論2

概率是上連續(xù)的。證明因而設(shè)則這樣，由推論1可知：即第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五三、概率空間的實(shí)際例子在科爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體為概率空間，其中為樣本空間，為事件域，為概率，它們都認(rèn)為是給定的，并以此為出發(fā)點(diǎn)討論種種問題。至于實(shí)際問題中，如何選定，怎樣構(gòu)造，怎樣給定，要視具體情況而定。例7

Bernoulli概率空間取，其中為的非空真子集。任取兩個(gè)正數(shù)p與q(p+q=1)，令易證此P是一個(gè)概率測(cè)度，從而是一個(gè)概率空間。它是描述Bernoulli試驗(yàn)的概率空間。第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例8

有限概率空間樣本空間為有限集的一切子集（共2n個(gè)）組成的集類。事件域取為取n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)使最后，對(duì)的每一個(gè)子集，令易證此P是一個(gè)概率測(cè)度，從而是一個(gè)概率空間。特別取，就是古典概型空間。（4）第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期五例9

離散概率空間樣本空間為可列集取非負(fù)實(shí)數(shù)列使再按（4）式定義概率，則是一概率空間，稱為離散概率空間。例10

一維幾何概率空間對(duì)每個(gè)事件，取，則它為一概率。于是得到幾何概型的概率空間