初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊教案24-1-2 垂直于弦的直徑

1/1224.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2垂直于弦的直徑一、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1.通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對稱性.2.掌握垂徑定理及其推論.理解其證明，并會用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題.【過程與方法】通過探索垂徑定理及其推論的過程，進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】1.結(jié)合本課特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛國主義教育和美育滲透.2.激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望.二、課型新授課三、課時(shí)1課時(shí)四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 垂徑定理及其推論，會運(yùn)用垂徑定理等結(jié)論解決一些有關(guān)證明，計(jì)算和作圖問題.【教學(xué)難點(diǎn)】 垂徑定理及其推論.五、課前準(zhǔn)備 課件、圖片、直尺等.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（出示課件2）（二）探索新知探究一圓的軸對稱性教師問：把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？（出示課件4）學(xué)生通過自己動(dòng)手操作，歸納出結(jié)論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．出示課件5：教師問：圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？學(xué)生答：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.思考：如何來證明圓是軸對稱圖形呢？出示課件6:已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．教師問：此圖是軸對稱圖形嗎？學(xué)生答：是軸對稱圖形．教師問：滿足什么條件才能證明圓是軸對稱圖形呢？師生共同解答如下：（出示課件7）證明：連結(jié)OA、OB.則OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.∴對于圓上任意一點(diǎn)，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，即⊙O關(guān)于直線CD對稱.師生進(jìn)一步認(rèn)知：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.探究二垂徑定理及其推論出示課件8：如圖，AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?學(xué)生獨(dú)立思考后口答：線段:AE=BE弧:學(xué)生簡述理由：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，重合．教師總結(jié)歸納：（出示課件9）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.推導(dǎo)格式：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE,教師強(qiáng)調(diào)：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？（出示課件10）學(xué)生獨(dú)立思考后口答：1圖是；2圖不是，因?yàn)闆]有垂直；3圖是；4圖不是，因?yàn)镃D沒有過圓心.教師強(qiáng)調(diào)：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：（出示課件11）出示課件12：如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？學(xué)生思考后教師總結(jié)：深化認(rèn)知：（出示課件13）如圖，①CD是直徑；②CD⊥AB，垂足為E；③AE=BE；④；⑤.舉例證明其中一種組合方法.學(xué)生思考后獨(dú)立解決，并加以交流，教師加以指導(dǎo)，并舉例.（出示課件14）如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？⑵相等嗎？相等嗎？為什么？證明：⑴連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂徑定理可得，教師歸納總結(jié)：（出示課件15）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如不能，請舉出反例.教師強(qiáng)調(diào)：圓的兩條直徑是互相平分的.出示課件16：例1如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=cm.學(xué)生思考后師生共同解答：連接OA，∵OE⊥AB，∴∴cm.鞏固練習(xí)：（出示課件17）如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.學(xué)生自主思考后，獨(dú)立解答如下：解：連接OA，∵CE⊥AB于D，，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半徑OC的長為5cm.出示課件18：例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：學(xué)生思考后師生共同解答.證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則（垂直于弦的直徑平分弦所對的?。┙處煆?qiáng)調(diào)：平行弦夾的弧相等.師生共同歸納總結(jié)：（出示課件19）解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距（垂線段），或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.鞏固練習(xí)：（出示課件20）如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證:四邊形ADOE是正方形．學(xué)生獨(dú)立解答，一生板演.證明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四邊形ADOE為矩形，AE=AC,AD=AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四邊形ADOE為正方形.出示課件21：例3根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出導(dǎo)入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后畫出圖形進(jìn)行解答.解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主橋拱半徑約為27.3m.鞏固練習(xí):（出示課件23）如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_______.學(xué)生獨(dú)立思考后解答：如圖，分兩種情況，弓形的高為5cm或12cm.教師歸納：1.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法（出示課件24）在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.2.弓形中重要數(shù)量關(guān)系弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：d+h=r；⑵.（三）課堂練習(xí)（出示課件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為.3.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=.4.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為.5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.參考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:連接OC.設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.，根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.（四）課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會？（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（24.1.3）的相關(guān)內(nèi)容.七、課后作業(yè)配套練習(xí)冊內(nèi)容八、板書設(shè)計(jì)：九、教學(xué)反思：1.這節(jié)課的教學(xué)從利用垂徑定理來解決趙州橋橋拱半徑問題開始，