高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊 《空間幾何體的表面積》自主學(xué)習(xí)任務(wù)單

高中數(shù)學(xué)知識點空間向量與立體幾何空間幾何體《空間幾何體的表面積》自主學(xué)習(xí)任務(wù)單一、學(xué)習(xí)目標：理解直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺的概念;讓學(xué)生經(jīng)歷空間幾何體的側(cè)面展開過程，感知側(cè)面展開圖的形狀，了解空間幾何體的側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程;培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與辨證的思想.學(xué)習(xí)重點難點理解直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺的概念;了解空間幾何體的側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程。二、學(xué)習(xí)過程：（一）復(fù)習(xí)引入問題1：什么是空間幾何體的表面積？問題2：初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？問題3:在求長方體和正方體的表面積，用到了一個什么樣的數(shù)學(xué)思想呢？問題4:棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？（二）數(shù)學(xué)建構(gòu)四個有關(guān)概念：（1）直棱柱：；（2）正棱柱：；（3）正棱錐：；（4）正棱臺：.問題5：直棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？問題6：把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？它的側(cè)面積怎么求？問題7：把正三棱臺側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？它的側(cè)面積怎么求？問題8：正棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積有什么關(guān)系？問題9：把圓柱的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形？展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？你能推出圓柱的側(cè)面積公式嗎？問題10：把圓錐的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形？展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？你能推出圓錐的側(cè)面積公式嗎？問題11：把圓臺的側(cè)面沿著一條母線展開，得到什么圖形？展開的圖形與原圖有什么關(guān)系？你能推出圓臺的側(cè)面積公式嗎？問題12：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間有何聯(lián)系？（三）數(shù)學(xué)應(yīng)用例1：設(shè)計一個正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底面的邊長是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米的鐵板？（保留兩位有效數(shù)字）問題13：根據(jù)題意，本題實際上是計算正四棱錐的什么量？求這個量需要哪些基本條件（基本量）？問題14：所求量與已知量有什么關(guān)系？如何構(gòu)造一個特殊的三角形來求斜高？總結(jié)：解決正四棱錐的側(cè)面積需要求出相應(yīng)的基本量（基本條件）.例2一個直角梯形上底、下底和高之比是，將此直角梯形以垂直于底的腰旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓臺，求這個圓臺上底面積、下底面積和側(cè)面積的比.問題15：計算圓臺的側(cè)面積，需要哪些基本量？問題16：該題又如何構(gòu)造一個特殊的三角形來求母線長呢？總結(jié):根據(jù)公式計算圓臺的側(cè)面積需要知道相應(yīng)的量．例3：有一根長為5cm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈,并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少厘米?(精確到0.1cm)問題17：.解決立體幾何問題的指導(dǎo)思想是什么？問題18:你能否將這個空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題呢？問題19:應(yīng)該怎樣纏繞，才能使鐵絲的長度最短？總結(jié):解決立體幾何問題要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．（四）反思感悟（小結(jié)）本節(jié)課你學(xué)到了什么？主要從以下幾個方面總結(jié)：（1）你能熟練的畫出多面體的平面展開圖嗎？（2）什么是直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺？你會求它們的側(cè)面積嗎？（3）你會求圓柱、圓臺、圓錐的側(cè)面積嗎？（4）你能否將這個空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題呢？三、效果檢測1．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是（）.A.4π B.3πC.2π D.π2.如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積是（）.A.532π B.523πC.632π D.623π3.底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為eq\r(2)，體對角線長為eq\r(6)，則這個棱柱的側(cè)面積是________．4.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4cm，它的側(cè)棱與高所成的角為45°，求正三棱錐的表面積．5.一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱．（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）當x為何值時，圓柱側(cè)面積最大？并求出最大值．附：空間幾何體的表面積（課本教材）《空間幾何體的表面積》參考答案例1.例2.例3．三、效果檢測：1.C分析：底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π2.A分析：以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺，其上底半徑是4cm，下底半徑是16cm，母線DC＝eq\r(52＋（16－4）2)＝13（cm），所以該幾何體的表面積為π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）3.8分析：設(shè)直棱柱底面邊長為a，高為h，則h＝eq\r(6－2)＝2，a＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以S棱柱側(cè)＝4×1×2＝8.4.如圖所示，設(shè)O為正三角形ABC的中心，連結(jié)PO，連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)PD，則PO是正三棱錐P-ABC的高.由正三角形ABC的性質(zhì)知，D是BC的中點，又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱錐的斜高.由已知∠APO＝45°，AO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4＝eq\f(4\r(3),3)（cm），所以PA＝eq\r(2)AO＝eq\r(2)×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(4\r(6),3)（cm），所以PB＝eq\f(4\r(6),3)（cm）.所以PD＝eq\r(PB2－BD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(6),3)))\s\up12(2)－22)＝eq\f(2\r(15),3)（cm）.所以正三棱錐P-ABC的側(cè)面積為：S側(cè)＝3S△PBC＝3×eq\f(1,2)×4×eq\f(2\r(15),3)＝4eq\r(15)（cm2），底面積：S底＝eq\f(1,2)×42×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)（cm2）.故S表面積＝S側(cè)＋S底＝4eq\r(15)＋4eq\r(3)＝4（eq\r(15)＋eq\r(3)）（cm2）.5.（1）母線l＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)cm，S側(cè)面積＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)π（cm2）；（2）設(shè)圓柱的