北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊各章知識點(diǎn)匯總

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第一章三角形的證明

一、全等三角形判定定理：

L三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）

2、有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全意SAS）

3、有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）

4、有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全簟AAS）

5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）

二、等腰三角形的性質(zhì)

定理：等腰三角形有兩邊相等；（定義）

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成"等邊對等角"）。

推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角

平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）

推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。

等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；

三、等腰三角形的判定

1.有關(guān)的定理及其推論

定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成"等角對等邊"。）

推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2:有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

2.反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件

相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法

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四、直角三角形

1、直角三角形的性質(zhì)

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；

3、互逆命題、互逆定理

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命

題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題那么它也是一個定理這兩個定理稱為互逆定理,

其中一個定理稱為另一個定理的逆定理

五、線段的垂直平分線角平分線

1、線段的垂直平分線。

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。（外心）

判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

2、角平分線。

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。

三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（內(nèi)心）

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。

3、逆命題、互逆命題的概念，及反證法

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第二章一元一次不等式與一元一次不籌式組

1.不等關(guān)系

2.不等式的基本性質(zhì)

3.不等式的解集

4.一元一次不等式

5.一元一次不等式與一次函數(shù)

6.一元一次不等式組

一.不等關(guān)系

※上一般地用符號（或）,">"（或》）連接的式子叫做不等式

02.要區(qū)別方程與不等式：方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.

X3.準(zhǔn)確"翻譯"不等式正確理解"非負(fù)數(shù)"、"不小于"等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負(fù)數(shù)<===>大于等于0（l）<===>0和正數(shù)<===>不小于0

非正數(shù)<===>小于等于0（40）<===>0和負(fù)數(shù)<===>不大于0

二.不等式的基本性質(zhì)

※:L掌握不等式的基本性質(zhì)并會靈活運(yùn)用：

（1）不等式的兩邊加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變，即：

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)不等號的方向不變，即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,匕.

cc

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變即：

nh

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,一<一

CC

派2.比較大小:（a、b分別表示兩個實(shí)數(shù)或整式）

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一般地:如果a>b,那么a-b是正數(shù);反過來，如果a-b是正數(shù)，那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來，如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<b,那么a-b是負(fù)數(shù)反過來，如果a-b是正數(shù)，那么a<b;

gp：a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<0

（由此可見，要比較兩個實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了.

三.不等式的演

※:L.能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解;一個不等式的所有解，組成這個不等式的

解集;求不等式的解集的過程叫做解不等式.

派2.不等式的解可以有無數(shù)多個一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù)與方程的解不同.

.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

①邊界:有等號的是實(shí)心圓圈，無等號的是空心圓圈；

②方向:大向右，小向左

四次不等式

.只含有一個未知數(shù)且含未知數(shù)的式子是整式未知數(shù)的次數(shù)是1.像這樣的不等式叫做

一元一次不等式.

派2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似特別要注意，當(dāng)不等式兩邊都乘以一個

負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向.

派3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；

⑤系數(shù)化為1（不等號的改變問題）

派4.一元一次不等式基本情形為ax>b（或ax<b）

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①當(dāng)a>0時，解為x>2；②當(dāng)a=0時，且b<0,則x取一切實(shí)數(shù)；

a

當(dāng)a=0時，且八0,則無解;③當(dāng)a<0時，解為x<2；

a

05.不等式應(yīng)用的探索（利用不等式解決實(shí)際問題）

列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似即：

①審：認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼如"大于"、"小于"、

"不大于"、"不小于”等含義

②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集;⑤答：寫出答案,并檢驗(yàn)答案是否符合題意.

五.TB一次不等式與一次函數(shù)

六.一56-次不等注

XI.定義：由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不

等式組.

派2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集如果這些不等式

的解集無公共部分，就說這個不等式組無解.

幾個不等式解集的公共部分，通常是利用數(shù)軸來確定.

派3.解一元一次不等式組的步驟：

Q）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集.

兩個一元一次不等式組的解集的四種情況（a、b為實(shí)數(shù)，且a<b）

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一元一次不等式解集圖示敘述語言表達(dá)

x>a

?x>b------------J------------------->兩大取較大

x>bab

x<aJJ

*x>a---------------------------------------------->兩小取小

x<ba-b

x>a

a<x<b----------------1-------------->大小交叉中間找

x<bab

在大小分離沒有

x<aJ

?無解--------------------------------——>解

x>ba-b

（是空集）

第H9圖形的好與除

一、平移定義和規(guī)律

1平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平

移。

關(guān)鍵：a.平移不改變圖形的形狀和大也不會改變圖形的方向，但改變圖形的位置）.b.

圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。

2平移的規(guī)律（性質(zhì)）：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對

應(yīng)角相等。

注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。

3簡單的平移作圖：

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點(diǎn)按一定

方向和一定的距離平行移動。

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二、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律

1旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形饒一個定點(diǎn)沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)

動稱為旋轉(zhuǎn)。這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

關(guān)鍵：a.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（但會改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。

b.圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。

2旋轉(zhuǎn)的規(guī)律（性質(zhì)）：

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)

與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

（旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。）注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖

形全等。

3簡單的旋轉(zhuǎn)作圖：

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。

整個旋轉(zhuǎn)作圖就是把整個圖案的每一個特征點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)

角度旋轉(zhuǎn)移動。

三、中心對稱

1.中心對稱的有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、對稱點(diǎn)

把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于

這點(diǎn)對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心，兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做對

稱點(diǎn)。

2.中心對稱的基本性質(zhì)：

（1）.成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。

（2）.成中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

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3.中心對稱圖形的有關(guān)概念：中心對稱圖形、對稱中心

把一個平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么

這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點(diǎn)就是它的對稱中心。

4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

如果將成中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個整體就是中心對稱圖形；反過來，如

果把一個中心對稱圖形沿著過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形那么這兩個圖形成中心

對稱。3.圖形的平移、軸對稱（折疊）、中心對稱（旋轉(zhuǎn)）的對比

5、圖案的分析與設(shè)計(jì)①首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作

何種運(yùn)動變換而形成。②圖案設(shè)計(jì)的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。

第四章因式分解

1.因式分解

2.提公因式法

3.公式法

-因式分解

※工把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式這種變形叫做把這個多項(xiàng)式分解因式

X2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

Q）整式乘法是把幾個整式相乘化為一個多項(xiàng)式；

（2）因式分解是把一個多項(xiàng)式化為幾個因式相乘

提公共因式法

※上如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式那么就可以把這個公因式提出來從而將多項(xiàng)式化

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成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.

如：ah+ac-a(h+c)

X2.概念內(nèi)涵：

⑴因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是"積"；

(2)公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律即：ma+mb-me=m(a+h-c)

易錯點(diǎn)點(diǎn)評：

(1)注意項(xiàng)的符號與幕指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提"干凈"；

(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式才是出后，括號中這一項(xiàng)為+L不漏掉.

三公式法

※上如果把乘法公式反過來就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做

運(yùn)用公式法.

X2.主要公式:(1)平方差公式：“2-。2=(a+/?)(&-。)

(2)完全平方公式：?2+2ab+b2=(a+b)i

a2-2ab+b2—(a-b)2

03.易錯點(diǎn)點(diǎn)評:因式分解要分解到底.如X4-y4=(X2+y2)(》2->2)就沒有分解到底.

※從運(yùn)用公式法：

Q)平方差公式：

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號)都是一個單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;③二項(xiàng)是異號.

(2)完全平方公式：

①應(yīng)是三項(xiàng)式;②其中兩項(xiàng)同號，且各為一整式的平方；

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③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)幕的底數(shù)乘積的2倍.

X5.因式分解的思路與解題步驟：

Q)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有以11先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積否則不是因式分解；

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止

(補(bǔ)充)

分組分解法：

※上分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

米2.概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組要嘗試通過分組后是否有公因式可提并且可繼續(xù)分解,

分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式

X3.注意：分組時要注意符號的變化.

十字相乘法：

XI.對于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c,將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積a=aa,

12

c=cc,且滿足。=ac+ac彳主往寫成a2c2的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.

I21221

如：ax2+/?%+C=(QX+cXQX+c)

1122

派2.二次三項(xiàng)式X2+px+q的分解：

p=a+bq=ahix/a九2+px+q=(x+a)(x+b)

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派3.規(guī)律內(nèi)涵：

⑴理解把X2+px+q分解因式時，如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因

數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同.

(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)那么把它分解成兩個異號因數(shù)其中絕對值較大的因數(shù)與一次

項(xiàng)系數(shù)p的符號相同對于分解的兩個因數(shù)還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)

P-

※從易錯點(diǎn)點(diǎn)評：

Q)十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯；

(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確

第五章分式與分式方程

1.分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子2叫做分式。

B

1)分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母,即未知數(shù)；分子可含字母可

不含字母。

2)分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數(shù)式的值不能為零。

3)分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零

2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。

用式子表示B、C為整式(C/0)

BBC

注：(1)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分時變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改

變形式。

(2)應(yīng)用基本性質(zhì)時，要注意CNO,以及隱含的B/0。

(3)注意"都"，分子分母要同時乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部

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分項(xiàng)，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個整式的錯誤。

3.分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式

1）分式的約分定義：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，不改變

分式的值。

2）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式

3）分式的通分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?不改變

分式的值，把幾個異分母的分式化成分母相同的分式。

4）最簡公分母：取‘各個分母”的"所有因式”的最高次幕的積做公分母，它叫做最

簡公分母。

4.分式的符號法則

分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個分式的值不變。用式子表示為

注：分子與分母變號時，是指整個分子或分母同時變號，而不是指改變分子或分母中的

部分項(xiàng)的符號。

5.分式的運(yùn)算：

1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。

2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

acacacadad

_._=__,__+_=_?_=__

bdbdbdbcbe

3）分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。

4）分式乘方、乘除混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，遇到括號，先算括號內(nèi)的，不含

括號的，按從左到右的順序運(yùn)算

5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。

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異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減

aba±bacadbead±bc

-±_=-----，—士一=—±—=---------

cccbdbdbdbd

7.整數(shù)指數(shù)幕.

1）任何一個不等于零的數(shù)的零次幕等于1,即?0=Ka豐0）；

2）任何一個不等于零的數(shù)的-n次幕（n為正整數(shù)），等于這個數(shù)的n次幕的倒數(shù)，即

a-n=J_（”0）（2）-“=凸”

anab

注：分?jǐn)?shù)的負(fù)指數(shù)幕等于這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)幕。即

3）科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個數(shù)表示為axlOn（14|aI<10,n為整數(shù)）的形式，稱為科學(xué)計(jì)數(shù)

法。

注：（1）絕對值大于1的數(shù)可以表示為axlOn的形式，n為正整數(shù)；

（2）絕對值小于1的數(shù)可以表示為axlO-n的形式，n為正整數(shù).

（3）表示絕對值大于10的n位整數(shù)時，其中10的指數(shù)是〃-1

（4）表示絕對值小于1的正小數(shù)時，其中10的指數(shù)是第一個非0數(shù)字前面0的個數(shù)

（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個0）

4）正整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)鬲.（m,n是整數(shù)）

（1）同底數(shù)的黑的乘法：。加?〃〃=;（2）幕的乘方：（。?。?。析”；（3）積的

乘方：（出?）”=a^bn；

（4）同底數(shù)的幕的除法：〃加-7-an=am-n（a/0）;（5）商的乘方：（*〃=;（b

砌

8.分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程——分式方程。

1）增根：分式方程的增根必須滿足兩個條件：

（1）增根是最簡公分母為0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

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2)分式方程的解法：

(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；

(4)驗(yàn)根.

注：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為0,這樣就

產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。

分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,

則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。

3)烈分式方程解實(shí)際問題

(1)步驟：審題一設(shè)未知數(shù)一列方程一解方程一檢驗(yàn)一寫出答案，檢驗(yàn)時要注意從方程

本身和實(shí)際問題兩個方面進(jìn)行檢驗(yàn)。

(2)應(yīng)用題基本類型；

a彳亍程問題：基本公式：路程=速度x時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.

b.數(shù)字問題在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.

c.工程問題基本公式：工作量=工時x工效.

d?順?biāo)嫠畣栴}v順?biāo)?v靜水+v水,v逆水=v靜水-v水.

e.相遇問題f.追及問題

相遇路程=速度和X相遇時間追及距離=速度差x追及時間

相遇時間=相遇路程+速度和追及時間=追及距離+速度差

速度和=相遇路程+相遇時間速度差=追及距離+追及時間

g流水問題h濃度問題

順流速度=靜水速度+水流速