博弈理論知識(shí)講義

1第八章博弈論前面章節(jié)對(duì)經(jīng)濟(jì)人最優(yōu)決策的討論，是在簡(jiǎn)單環(huán)境下進(jìn)行的，沒(méi)有考慮經(jīng)濟(jì)人之間決策相互影響的問(wèn)題。本章討論這個(gè)問(wèn)題，建立復(fù)雜環(huán)境下的決策理論。開(kāi)展這種研究的的理論叫做博弈論，也稱(chēng)為對(duì)策論(GameTheory)。最近十幾年來(lái)，博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，在揭示經(jīng)濟(jì)行為相互制約性質(zhì)方面取得了重大進(jìn)展。大局部經(jīng)濟(jì)行為都可視作博弈的特殊情況，比方把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)看成是一種博弈，把競(jìng)爭(zhēng)均衡看成是該博弈的古諾-納什均衡。博弈論的思想精髓與方法，已成為經(jīng)濟(jì)分析根底的必要組成局部。第一節(jié)博弈事例博弈是一種日?，F(xiàn)象，例如棋手下棋，雙方都要根據(jù)對(duì)方的行動(dòng)來(lái)決定自己的行動(dòng)，雙方的目的都是要戰(zhàn)勝對(duì)方，互不相容，互相影響，互相制約。一般來(lái)講，博弈現(xiàn)象的特征表現(xiàn)為兩個(gè)或兩個(gè)以上具有利害沖突的當(dāng)事人處于一種不相容的狀態(tài)中，一方的行動(dòng)取決于對(duì)方的行動(dòng)，每個(gè)當(dāng)事人的收益都取決于所有當(dāng)事人的行動(dòng)。當(dāng)所有當(dāng)事人都拿定主意作出決策時(shí)，博弈的局勢(shì)就暫時(shí)確定下來(lái)。博弈論就是研究這種不相容現(xiàn)象的一種理論，并把當(dāng)事人叫做局中人(player)。博弈論推廣了標(biāo)準(zhǔn)的一人決策理論。在每個(gè)局中人的收益都依賴(lài)于其他局中人的選擇的情況下，追求收益最大化的局中人應(yīng)該如何采取行動(dòng)？顯然，為了確定出可行的策略，每個(gè)局中人都必須考慮其他局中人面臨的問(wèn)題。下面來(lái)舉例說(shuō)明。例1．便士匹配(MatchingPennies)(二人零和博弈)設(shè)博弈中有兩個(gè)局中人甲和乙，每個(gè)局中人都有一塊硬幣，并且各自獨(dú)立安排硬幣是否正面朝上。局中人的收益情況是這樣的：如果兩個(gè)局中人同時(shí)出示硬幣正面或反面，那么甲贏得１元，乙輸?shù)簦痹?；如果一個(gè)局中人出示硬幣正面，另一個(gè)局中人出示硬幣反面，那么甲輸?shù)簦痹?，乙贏得１元。表1：便士匹配博弈局勢(shì)表座誰(shuí)喬乙甲貪正面餅反面換正面洪(正耐，正父)匠(正疾，反鹿)猶反面仔(反遮，正仔)格(反輩，反公)對(duì)于這個(gè)博弈，每個(gè)局中人可選擇的策略都有兩種：正面朝上和反面朝上，即甲和乙的策略集合都是{正面，反面}。當(dāng)甲和乙都作出選擇時(shí)，博弈的局勢(shì)就確定了。顯然，該博弈的局勢(shì)集合是{(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}，即各種可能的局勢(shì)的全體，也稱(chēng)為局勢(shì)表，即表1。表2：甲和乙的收益表錫個(gè)梅乙種甲巖正面棗反面擠正面成小飄,漁,陣反面值,破癢臉,每個(gè)局中人的收益都取決于所有局中人的決策，也就是說(shuō)，局中人的收益是博弈局勢(shì)的函數(shù)。本例中，甲的收益函數(shù)為：，，，；乙的收益函數(shù)為：，，，。局中人的收益函數(shù)也可用表格或矩陣加以表示，并稱(chēng)其為收益表或收益矩陣。表2中，甲的收益列在左邊，乙的收益列在右邊。臟該博億弈的獨(dú)特點(diǎn)淚在于腔每個(gè)目局中姑人的桑收益拔都是堵另一拼個(gè)局琴中人旺的付胸出，塔即甲頃和乙刺的收傭益之鳴和為斃零，脫收支倡發(fā)生卡在局鈴內(nèi)，恥不涉巧及任紹何局刑外人但。這抹種博麗弈就歌是所惜謂的新二人期零和夸博弈莊。習(xí)述慣上幅，人引們喜礙歡把僻二人壇博弈飯的第鋼一個(gè)易局中書(shū)人甲炒叫做仙“篇列恨〞轉(zhuǎn)，第占二個(gè)愁局中螺人乙泄叫做早“掘行淘〞爹，而死且總證是把涼列的炸收益影寫(xiě)在竭前面考(定即左互邊攤)駁，行錫的收缺益寫(xiě)型在后品面籠(五即右墳邊訴)勢(shì)。乖例2普．躁囚徒室難題桶(P肚ri兩so夏ne奸r'嗓s蔥De耀li潛m燕ma常)護(hù)(民二人優(yōu)變和夸博弈瓜)霸表3賀：省囚鞠徒博覺(jué)弈局曲勢(shì)表蛋乙梳甲面合作咸背叛喂合作煉(愈合作跡,合梳作張)扛(合還作,致背叛抵)邀背叛蓋(背徑叛,屈合作收)迎(背多叛,迎背叛千)猶有兩滅個(gè)狂粱徒甲于和乙闖因共峽同參捆與了汗一起跟犯罪狐活動(dòng)竿而被剩囚禁晌收審蚊。他厭們可葵以選鐵擇合謊作，稱(chēng)拒絕療供出吉任何殼犯罪姻事實(shí)職；也歲可以除選擇炭背叛離，供描出對(duì)泳方的閑犯罪采行徑乓。這撓就是腳所謂罵的囚匪徒博擦弈，明也叫宵做囚量徒難畜題。刑博弈歲的局媽中人樹(shù)甲和漿乙都贏有兩撲種可犯選擇肌的策盯略：具合作菜與背框叛。改囚徒吃博弈彩的意對(duì)義在徐于它莫可以?huà)旖忉屝墓杨^容壟斷燃廠商噴的行懶為，俘關(guān)鍵瘡是賦冊(cè)予合懸作與凱背叛隙具體晶的經(jīng)剖濟(jì)含混義。凝比方橫在雙雖頭壟惠斷的帆情況稈下，霸合作扒可以復(fù)解釋濁為腿“鼠保持轟索要割一個(gè)地高價(jià)軟〞逼，背依叛可哭解釋分為獎(jiǎng)“閣降價(jià)數(shù)以爭(zhēng)頓奪對(duì)怨手的綱市場(chǎng)號(hào)〞很。右降表給房出了緒囚徒囑博弈薪的局派勢(shì)表貞。軟局中仗人可桑以事慰先討次論這臥局博糕弈，扛但實(shí)田際決菠策必甩須獨(dú)攪立地少做出沙。如絲果甲貝采取堵合作利策略或，不鎖供出原乙的壟犯罪赴事實(shí)倘，那豬么乙柔就能怠得到絹30帽00密元的談收益叛。同殖樣，給如果勺乙采港取合陡作策樂(lè)略，謹(jǐn)那么疏甲就拐能得犬到3旁00居0元煉的收鎖益。爐可見(jiàn)揪，如客果甲撒乙雙圣方都脖采取件合作銅策略須，雙忠方各嗽得3蒼00正0元央收益湯。烘但是躁，審虜訊者譜用1婚00欣0元折獎(jiǎng)賞梳來(lái)鼓堆勵(lì)局展中人贊采取艱背叛己策略首。這斜樣，梨只要彎局中宗人選燒擇背食叛，蝕他就春會(huì)得診到1糖00璃0元占鼓勵(lì)疏，而找不管碑另一尖個(gè)局呢中人心會(huì)采漿取什蠟么策凳略。償需要占注意電的是駐，囚脆徒博母弈中俘的貨默幣支杜付來(lái)侍自第籃三方朝——約局外隙人，乳這正蘆是囚蠢徒博簡(jiǎn)弈同伴便士園匹配擔(dān)博弈畫(huà)的不浙同之研處。射奧曼冊(cè)(A巷um喘an膠n)廚19尾87頌?zāi)陮?duì)遵囚徒攏博弈背給出爆了一爺個(gè)特柿別簡(jiǎn)黃單的甲描述級(jí)：每嫁個(gè)局定中人般都可僑以對(duì)價(jià)仲裁姨人簡(jiǎn)潔單地濕宣告輕“掀給我棚10鏟00州元桶〞湯或右“吼給對(duì)解方3擔(dān)00陰0元眼〞矮。滋表4塑：峽甲兄和乙折的收爬益表升徒甘仇乙惠坡甲恢合作分背叛度合作苦30桂00廟,多典30扁00習(xí)渣0喚,帖紐4飽00椒0編背叛技40擱00說(shuō),任簡(jiǎn)銀0備10隸00肅,檔柳1偶00跟0耀簡(jiǎn)單灑分析騰一下頸就會(huì)習(xí)發(fā)現(xiàn)倍，如壇果一緒個(gè)局屬中人漁采取籍合作屑策略閥，而訊另一來(lái)個(gè)局攻中人旅采取比背叛頸策略坐，那刻么采灑取合樣作策趣略的凱局中鼓人的伯收益說(shuō)為零典，而炒采取病背叛敲策略燒的局南中人閘的收濁益為到40繁00梁元(猛30妄00刺元收架益再駝加上友10希00外元的面背叛此鼓勵(lì)顛)。魯如果遲雙方宣都采朋取背喬叛策劑略，末那么雙盯方的滲收益越各為些10飾00閃元。鄭表4齊列出太了甲演乙雙倍方的損收益所情況守。從戰(zhàn)收益范表可局以看浮出，怒甲乙貌雙方浙的收湯益之奶和不倍為零秤，而賽且收要益和賠是變牌化的鎮(zhèn)。因逗此，卡囚徒嘴博弈境是一恰種棟變和葉博弈比。各直覺(jué)轉(zhuǎn)上看杜，甲禽和乙御都應(yīng)批采取筐合作狹策略志(互扔不供意出對(duì)換方的伍犯罪樸事實(shí)歡)，沾各得傻30百00盜元收棋益。父但從禿收益慧表可斑以得滲出這賣(mài)樣的借結(jié)論玩：如寬果一鏡個(gè)局毫中人永認(rèn)為跪另一逝個(gè)局貢中人辰將合共作，欺從而潤(rùn)他將姥得到矛30坦00套元收芬益，災(zāi)那么影他假設(shè)道采取摧背叛換策略假設(shè)，就討將總簡(jiǎn)共能削獲得督40臥00魚(yú)元的校收益昂；如黨果他趴認(rèn)為趨另一膊個(gè)局羨中人箏為了社得到宇10澆00贏元鼓什勵(lì)而葡將背族叛，蹲那么叉他也弄就只涉好為肢了自料己也潔取得老10妻00奧元鼓貧勵(lì)而助采取拜背叛紫策略歷(否君那么，沿他將耗一無(wú)禿所獲子)。樓總之喜，在娛收益續(xù)最大博化動(dòng)懸機(jī)的殲驅(qū)使隆下，寶局中際人的遞最優(yōu)訴選擇儲(chǔ)是背懲叛?；瓦@樣慕一來(lái)揭，甲療乙雙福方都粉采取哨背叛抖策略刮，各剛得1炸00戚0元洽收益憶；而斗不是唉都采灣取合效作策松略，監(jiān)各得柔30觸00瘦元。贊這是敲一個(gè)宋典型窮的博有弈悖奔論，笛問(wèn)題劈的關(guān)蔽鍵在蜜于每扎個(gè)局隔中人由都有粱背叛里的鼓纖勵(lì)，逐而不稱(chēng)管其錄他局宰中人鉛將做旋什么輔。形例3鑰．啟古諾低博弈誼(雙臣頭壟朱斷：呢產(chǎn)量警較量堪)玉法國(guó)估經(jīng)濟(jì)炒學(xué)家贈(zèng)古諾究(C清ou鋸rn族ot賄)于獄18缺38靈年以績(jī)天然蚊礦泉濕井為拋例，炸首次鋪建立逮了簡(jiǎn)飄單的饅雙頭呈壟斷皺博弈鳥(niǎo)模型季，其叫特點(diǎn)匙是，熊壟斷次廠商貢雙方所都天牲真地蒼以為甩對(duì)方疑不會(huì)爆改變間原有豐產(chǎn)量糠水平扭，雙千方都元追求聚各自感利潤(rùn)嗓最大絮化。膏古諾深假定財(cái)：乎①懶有兩過(guò)個(gè)天憲然礦括泉在祝一起攀，分針別為培廠商壤甲和忘乙占摩有；腥②緒兩個(gè)疤礦泉迫都為鉤自流同井，萍生產(chǎn)輪本錢(qián)嘆為零奉，邊狠際成端本也君為零夜；虹③兩甲和鼠乙面棚對(duì)相制同的牧需求談曲線(xiàn)溫，采賽用相章同的蛋價(jià)格辨；憑④硬雙方應(yīng)都以號(hào)為對(duì)柴方的洞產(chǎn)量舞水平帝不會(huì)炊改變皇。在歲這些寄假設(shè)諸前提址下，遲甲和宜乙各生自獨(dú)中立決偶定自催己的施產(chǎn)量焦水平林，以卵求利析潤(rùn)最忘大化煉。液設(shè)率是甲藍(lán)乙雙畏方共刪同面溫臨的圓反需色求函洋數(shù)。巷當(dāng)甲羅的礦拾泉水床產(chǎn)量明為墻，乙掏的產(chǎn)掠量為村時(shí)，晶礦泉娘水的翅市場(chǎng)勾價(jià)格禮為肅，甲喜的利疾潤(rùn)隨,夠乙的機(jī)利潤(rùn)維為擔(dān)。在秤這個(gè)香博弈攤中，由甲乙田雙方為的策號(hào)略都吩表現(xiàn)嘗為選乒擇產(chǎn)罩量水兆平，沙局中矛人的廊收益句即為枕廠商哪的利禮潤(rùn)。飯當(dāng)甲就的產(chǎn)拳量為竭時(shí)，療乙以羨為甲艇不會(huì)摘改變壘這一閣產(chǎn)量妖，而維選擇計(jì)一個(gè)眼適宜竟的產(chǎn)螞量水齊平憑以使梯自己享的利敞潤(rùn)黎到達(dá)辦最大趙。同氧樣，零當(dāng)乙錘的產(chǎn)膜量水林平為抬時(shí)，份甲以刊為乙怎不會(huì)燈改變鴉這一計(jì)產(chǎn)量仔，而劇選擇材一個(gè)落適宜貴的產(chǎn)隙量水僅平駁以使聚自己塔的利惜潤(rùn)勻到達(dá)抄最大繭。聯(lián)為了竹說(shuō)明晚這個(gè)旬博弈斜的結(jié)綿果，極假設(shè)會(huì)甲乙妖雙方物面臨絞的反證需求購(gòu)函數(shù)蜘。用鞏表示震這局劫博弈雷中甲員選擇月的最?lèi)u優(yōu)產(chǎn)欲量，雜表示乖乙選底擇的女最優(yōu)通產(chǎn)量嘩水平完，那么矛甲乙齊各自梢的收僻益分查別為晉和謎。由雕于實(shí)貿(mào)現(xiàn)了胞利潤(rùn)止最大政化，錄因此階解之奪得：從當(dāng)乙蛋的產(chǎn)尤量水尊平為重時(shí)，糖甲決松定的扶產(chǎn)量辣水平油為跑(這叛是甲川對(duì)乙孔的反標(biāo)應(yīng)函激數(shù))觸；當(dāng)留甲的踩產(chǎn)量螞水平僅為歡時(shí)，魯乙決另定的可產(chǎn)量既水平就為搖(這稼是乙呀對(duì)甲照的反繩應(yīng)函鈴數(shù))咸。其濟(jì)中，剩表示夠礦泉式水市施場(chǎng)容掩量(毀即價(jià)史格為膨零時(shí)富的礦勢(shì)泉水燦需求喂量)右。進(jìn)址一步永求解替可得霸：去,鋤即博柴弈的晉結(jié)果撈是雙隨方最鞋終各也占據(jù)窄礦泉扭市場(chǎng)證的三誓分之吵一。執(zhí)反響稍函數(shù)剩說(shuō)明厭，古談諾博他弈中涌每個(gè)逢局中木人的汽決策離(選棍定的飽產(chǎn)量裙水平王)不蠶但依拜賴(lài)于旦其他亂局中伏人的圾決策愁，而誕且與免市場(chǎng)課的容品量有循關(guān)。期例4己．否貝特扯蘭博別弈圍(雙典頭壟因斷：庭價(jià)格擴(kuò)較量努)方古諾晉博弈賽模型奔描述繁了雙殿頭壟蟲(chóng)斷廠季商之寄間展聲開(kāi)的閉產(chǎn)量鑄較量手。實(shí)覺(jué)際上挺廠商爬之間述的產(chǎn)絨量較學(xué)量并兵不如毒價(jià)格全較量肆那么忍普遍后，寡塊頭之速間應(yīng)案該有握劇烈高的價(jià)甚格競(jìng)唇爭(zhēng)。栗不管獲市場(chǎng)朱價(jià)格軋如何單，只揪要某梅一廠宰商降每低價(jià)截格，肆而其舍他競(jìng)布爭(zhēng)對(duì)揚(yáng)手保厭持原傾價(jià)格聰不變充，那醒么降陽(yáng)價(jià)廠凈商就慨能占底有全壽部市漲場(chǎng)。碼這就圣是說(shuō)推，我捕們假炊定消忘費(fèi)者罷只從峰最低禿價(jià)格鮮廠商傘那里伏購(gòu)置狗產(chǎn)品驕。為紋此，屠法國(guó)策經(jīng)濟(jì)冊(cè)學(xué)家渴貝特偵蘭(胞Be遞rt辛ra嫁nd乓)于撲18心83堅(jiān)年提斗出了隔以?xún)r(jià)瘡格為慘選擇紋策略鴉的貝篇特蘭田博弈茶模型胃，反具對(duì)古液諾關(guān)劫于產(chǎn)愈量的盒博弈沾模型仁。閥還以刻礦泉?dú)埶疄榻抢?，城在貝聰特蘭歌博弈截模型攝中各涌廠商曲都預(yù)糧期對(duì)功手不檢會(huì)改寶變價(jià)屢格，權(quán)從而獅將自休己的薄價(jià)格干確定程在利錢(qián)潤(rùn)最巾大化倦的水召平之肚上。釣這就艇是說(shuō)豆，貝排特蘭度博弈炎的構(gòu)鋸建同把古諾泊博弈棵相似穿，所積不同狼的是元貝特織蘭博奪弈中困局中露人的映策略教是選煉擇價(jià)越格，鎮(zhèn)而古縫諾博匹弈局弟中人沾的策槍略是梁選擇鋒產(chǎn)量吹水平箏。沉貝特拆蘭博廟弈中科兩個(gè)疼局中攀人甲沾和乙首也是墓面臨述相同映的市碎場(chǎng)需咽求函首數(shù)，子不過(guò)朱現(xiàn)在幣價(jià)格倆是自毒變量尸，產(chǎn)啄量為棟因變伙量(昏古諾懂模型祝正好沒(méi)相反弄)。覺(jué)設(shè)市輪場(chǎng)需陵求函拍數(shù)為挪,碧為了受分析藝上簡(jiǎn)供單起胞見(jiàn)，筋進(jìn)一炸步設(shè)鐮(這滴里，性,閃，即冒與古勻諾模組型中抱的市涼場(chǎng)需蹦求相填同)鹽。局估中人鬧的收成益仍弱是他轟所獲趨得的才利潤(rùn)胡。敗如果陜甲和哀乙不鼻相互您勾結(jié)礎(chǔ)串通暮，當(dāng)寇乙采硬取了犯價(jià)格代水平賄時(shí)，籃甲認(rèn)獸為乙餓不會(huì)封改變尸這一耕價(jià)格仙水平季，從蛙而為終了占玩領(lǐng)市莊場(chǎng)而歷要采拐取低濱于乙始的價(jià)識(shí)格水粱平育的價(jià)魚(yú)格棚，于致是甲怎的利框潤(rùn)為輛，乙恒的利緊潤(rùn)為俘零；幻同樣蟻，當(dāng)殺甲采竄取了攀價(jià)格映水平嫁時(shí)，啟乙認(rèn)蛛為甲亡不會(huì)缸改變林這一疏價(jià)格惡水平始，從搖而為乞了占搶領(lǐng)市牽場(chǎng)而擔(dān)要采白取低衡于甲杠的價(jià)踢格水滴平央的價(jià)叮格愁，于水是乙紹的利繭潤(rùn)為律,煌甲的熄利潤(rùn)飄為零芳。紛如果饒甲和客乙相邊互勾張結(jié)串尾通起劉來(lái)，倘采取惜相同增的價(jià)位格策閥略，中即泳，那萄么甲球和乙康就能前索要牌一個(gè)擠壟斷索價(jià)格狗，并佳且每第人可樣收取辣一半枯的壟喇?dāng)嗬?rùn)。脂由此戀可見(jiàn)損，甲毅和乙去的利催潤(rùn)函家數(shù)分饑別為曉：假，姐聯(lián)如果絲甲和崇乙勾袍結(jié)串疲通，偉合作歐起來(lái)蹈，那申么雙攤方就旬能按是照最逢大利喬潤(rùn)價(jià)傾格批獲得筆壟斷界價(jià)格針，并爐且各掏得最決大利志潤(rùn)的石一半方。這起里，刪利潤(rùn)件最大周化價(jià)非格是住按照腹確定白的。查但是吼，占智領(lǐng)市蹲場(chǎng)的臣誘惑黎對(duì)每秘個(gè)局帆中人禮都存餐在，赤只要琴他稍倘微降助價(jià)，眼他就鬼能獲犯得全憲部市仁場(chǎng)。保假設(shè)筐甲先赴進(jìn)入團(tuán)該礦顧泉市奉場(chǎng)，聰那么鎖甲就忙按照邀利潤(rùn)特最大訂化價(jià)位格$型P_卻1=舍Q_顧o/盜(2主b)孝$獲夜取最喬大利叨潤(rùn)。獨(dú)繼您而乙爺進(jìn)入齡這個(gè)討市場(chǎng)嫩，且炕乙認(rèn)旬為甲雀不會(huì)垂改變自他的其價(jià)格攏$P愧_1強(qiáng)$，扁于是印乙為軟了奪國(guó)取市喜場(chǎng)而兩采取倒低于械甲的腫價(jià)格漿水平悉的一汗個(gè)價(jià)議格娛(蛙。由璃于乙纖奪走痛了市臣場(chǎng)，這甲同蹦樣又劃會(huì)采泡取低譯于乙華的價(jià)蝶格水扯平嚴(yán)的價(jià)慚格煙，以右?jiàn)Z回槽市場(chǎng)蠶。這堂樣不泥斷往溪復(fù)下機(jī)去，眠直至避最后攻甲乙悲雙方銅都把納價(jià)格應(yīng)水平爐定為寧零時(shí)呢才可腫到達(dá)裹均衡糾，此篩時(shí)雙卷方的含收益淺為零墾，市影場(chǎng)各耀占一虹半(影即甲密的銷(xiāo)茫售量泳和乙沾的銷(xiāo)檢售量蔽相等過(guò)，且完)。豎這就予是甲館乙雙不方不刃合作勞的結(jié)放果，掠雙方宣都變甩得更法差。障以上擁分析震說(shuō)明售：把瑞貝特糊蘭博執(zhí)弈與傲古諾隔博弈演作比宗較，霸對(duì)同悶一市昏場(chǎng)來(lái)豆說(shuō)，諸由于澆選擇扶了不坡同的購(gòu)策略連集合筍(一橡個(gè)以砍產(chǎn)量掩作為沫策略鴉，另蟲(chóng)一個(gè)巨以定刻價(jià)作僚為策嚷略)拼，得赤出了風(fēng)不同院的博兄弈結(jié)球果，暫貝特還蘭博述弈的完均衡剖價(jià)格垂、均配衡產(chǎn)蘇量和攜均衡折利潤(rùn)炭都呈抽完全帖競(jìng)爭(zhēng)哲狀態(tài)翼(超蕩額利峰潤(rùn)為踩零)跨，而毛古諾育博弈涼的結(jié)壽果不威是這讓樣；缸再把努貝特萬(wàn)蘭博克弈同軌囚徒鉗難題售博弈戴作比新較，棚二者擔(dān)具有儲(chǔ)相似屢的結(jié)捐構(gòu)，痛即局追中人叮合作今會(huì)取陷得最錢(qián)好的成結(jié)果微，但楊利益寸的誘預(yù)惑促味使他燙們采卵取不世合作損的行撿動(dòng)，勇致使乓雙方灰博弈壩的結(jié)盡局都仔變得紡更差溪。如貝特規(guī)蘭博惑弈也秘可用哥囚徒數(shù)博以吹來(lái)解規(guī)釋?zhuān)浩胶献饔臼侵笎們蓚€(gè)波廠商結(jié)的勾標(biāo)結(jié)，噸背叛萬(wàn)是指測(cè)兩個(gè)損廠商腸獨(dú)立戶(hù)行動(dòng)帆，沒(méi)款有勾循結(jié)。閣合作完，可巷以索濕要一效個(gè)高塑的壟僑斷價(jià)捕格；絞背叛茅，那么典導(dǎo)致瑞市場(chǎng)累價(jià)格脂為零獅，雙黎方利姥潤(rùn)為儉零。天可見(jiàn)走，雙險(xiǎn)方合穗作起真來(lái)，挖對(duì)兩膏個(gè)廠家商都抹有利該，似同乎應(yīng)莫該合嘉作。融但博勻弈的五最終寶結(jié)果地是雙墾方都薦采取悼背叛枕策略沉，導(dǎo)篇致誰(shuí)兼也得翻不到口利潤(rùn)服。召本節(jié)浴所舉筋的這黑些事搏例說(shuō)仰明，座寡頭她壟斷積廠商鍋之間拴展開(kāi)艙的競(jìng)驗(yàn)爭(zhēng)與那較量寺完全絞可以昌用博劫弈加桃以描鑰述和壤研究針。實(shí)思際上染，經(jīng)珠濟(jì)學(xué)律中大竟局部難經(jīng)濟(jì)想現(xiàn)象漆都可周以作荷為博遲弈的優(yōu)特殊慎情形蜻進(jìn)行跑研究夜，比厘如歷徒史上邀解決脹競(jìng)爭(zhēng)閑均衡挺的存睬在性甚這一湊經(jīng)濟(jì)面學(xué)基宋本問(wèn)耀題時(shí)鳥(niǎo)，就豐把經(jīng)該濟(jì)系介統(tǒng)看壺成為衛(wèi)一局恐博弈秘。幫為了蛾研究恐博弈枝，必釋須抓穿住博津弈現(xiàn)夕象的秒根本蘋(píng)要素犧，這困些要槍素是低：局更中人牧、策竊略、減收益損。也宜就是物說(shuō)，龍博弈隊(duì)可以候用局鉤中人搖集合父、策日略集室合和現(xiàn)收益?zhèn)ズ瘮?shù)魄加以販描述編。局賤中人句從策崗略集扔合中負(fù)選擇網(wǎng)一種舟策略胃后所共獲得突的效常用或掉利益倡，就樂(lè)是局縱中人陶的收有益(嫁pa華yo架ff援s)顆，也蹄叫做普得失炒。我耀們假梅定每睜一個(gè)鉤局中倘人都盟知道奉他自饅己和踩別人昂的策襖略集仆合與難收益效函數(shù)盜，這顛就是畢說(shuō)，壤每個(gè)少局中巷人的騰策略攝集合粗與收望益函車(chē)數(shù)為竭所有車(chē)局中呈人所識(shí)共知鋤。當(dāng)謝然，剖每個(gè)證局中漸人都筑知道像其他邪局中值人掌老握著熱這些朱信息哲和知是識(shí)。溉局中氏人的匙收益扔不但漆依賴(lài)爐于他攝自己恭的策款略選債擇，擴(kuò)而且吃依賴(lài)毯于其桐他局裙中人討的策斷略選帶擇。輕我們劍再假駕定每盡個(gè)局轎中人混在給漸定的壺主觀畢信念魯下會(huì)偷選擇續(xù)收益濤最大都化的長(zhǎng)行動(dòng)窄，并抱且當(dāng)真新的達(dá)信息能根據(jù)咽貝葉累斯規(guī)喉那么到兩來(lái)時(shí)氣，這醫(yī)些信氣息會(huì)卸得到狐修正尤(即僻根據(jù)槍貝葉矮斯全芹概率臉公式秘從先存驗(yàn)概價(jià)率計(jì)腦算后寒驗(yàn)概淹率)視。慘第二李節(jié)講策略蜻博弈此為了耕能夠卻正確勿地應(yīng)忍用博直弈論獵研究稅經(jīng)濟(jì)掙問(wèn)題脹，需昌要對(duì)線(xiàn)博弈改加以氏準(zhǔn)確句地描到述和銜定義弓。要功定義法一個(gè)筒博弈供，需頌要確繁定三成件事著情：梳一是旦局中勺人集節(jié)合(贈(zèng)se乘t蔬of耳p凡la嘗ye婦rs發(fā))，斤一是凡局中裳人的彩策略伴集合來(lái)(s支et祖o鑰f門(mén)st裕ra宰te次gi餓es館)，為一是屈局中肉人的岡收益孤函數(shù)自(p叔ay廁of浙f恒fu累nc拿ti采on贊)。裂這三幻件事滴情中么，確濱定策燒略集跑合是樹(shù)至關(guān)否重要差的。案局中憐人以張策略仁決定什勝負(fù)猛，目誦標(biāo)是敬使他蚊的收攀益最籮大化模。這布種以泳策略擾定勝衛(wèi)負(fù)的菊博弈鵝，稱(chēng)命為德策略廈博弈灘(g挎am嫂e逆of為s捐tr壇at墨eg豆y)彩。正糕象比或較古卻諾博墊弈和病貝特決蘭博仍弈時(shí)先說(shuō)明瓦的問(wèn)侵題一倆樣，炮用博臘弈論魯研究攏經(jīng)濟(jì)矛問(wèn)題狠時(shí)，扭對(duì)于蒸同一愁經(jīng)濟(jì)美現(xiàn)象撓，由恥于選悼擇了議不同勾的策咬略集田合，尋得到琴的博丹弈結(jié)系果截壓然不堡同。腿用晴表示求博弈茶的局考中人截集合酒，貧表示聚局中段人叔的策鉛略集懇合，催表示像的收紡益函辨數(shù)，狀那么乓就表寶示了每一個(gè)膀博弈四。根剛據(jù)局鞋中人團(tuán)的多坊少，遣博弈錢(qián)可分飼為于二人逃博弈廉和芳多人斤博弈常。根四據(jù)博葛弈的愿策略呈集合亞是否汽有限電，博做弈還爪又可烏分為跨有限朋博弈練和匯無(wú)限嘴博弈夸。例診如，古便士筐匹配旗和囚貸徒難者題都克是有化限博先弈，蔥而古展諾博爆弈和批貝特京蘭博家弈都誤是無(wú)飯限博押弈。定還可霉根據(jù)怖所有南局中罰人的節(jié)收益感總和株是否眨固定交，把興博弈僑分為燙常和床博弈周和址變和滔博弈姨。常期和博擔(dān)弈分天為俊零和館博弈茄(即梯收益積總和昌為零播的博張弈)亭和桿非零末和博綿弈禾。二爸人零幟和有到限博階弈是徐所有速博弈告中最疫簡(jiǎn)單魯、最箱重要僑的一騙類(lèi)，備通常區(qū)稱(chēng)為熊矩陣彎博弈摧。本腹節(jié)以敵二人手博弈泊為重跌點(diǎn)，攏介紹綿有關(guān)消策略記博弈悄的概扛念與匯理論詞。荷一．匠策略雅表與色收益株矩陣痛設(shè)二寨人博國(guó)弈的騎局中賴(lài)人是查甲和逃乙。蜜甲有偏種可杯選策筋略，放策略塵表為制；乙連有陶種可手選策窮略，榜策略貸表為藝。當(dāng)納甲采劫取策抖略螞，乙很采取喬策略弟時(shí)，勇稱(chēng)為偉博弈筒的揉局勢(shì)踐，集部合央就是崇局勢(shì)尤集合肉(膠局勢(shì)觸表閃、豬局勢(shì)后矩陣院)，倆即逗每個(gè)撈局中侍人選堡擇自感己的節(jié)策略奶時(shí)，攻都要跟考慮往對(duì)手捕的行省動(dòng)。視這樣饑每個(gè)辮局中藏人的托收益累不但稅與自扎己的庭選擇繩有關(guān)休，而側(cè)且與化對(duì)手泡的選采擇有臂關(guān)，歉收益出函數(shù)沸是定局義在俘局勢(shì)俘集合我上的膨函數(shù)司，這戰(zhàn)里假三定了兼局中前人的咱收益溜是可醫(yī)以用酬實(shí)數(shù)乞來(lái)都舉來(lái)計(jì)君量的獄。用館表示到局中料人甲張的收紐益函相數(shù)，裙用神表示嘩局中汪人乙感的收做益函效數(shù)。票由于葡局勢(shì)笑集合經(jīng)是有思限集墨合，放收益俘函數(shù)敏和是都可昆用矩邊陣加構(gòu)以表默示，峰這些睜矩陣搞就稱(chēng)坡為迎收益饑矩陣臟。記漿,腰，那么廳甲和鹿乙的凝收益欄矩陣涂分別蝦為：，湊當(dāng)匹(常叮數(shù))丟時(shí)，贏該博掃弈就壟是常宋和博渡弈。侵否那么躺，就邪是變且和博矩弈。顏局中協(xié)人的蔑策略親與收最益也勵(lì)可用豆收益干表加等以表踏達(dá)：竊表1驢：蛾博您弈的楊收益比表位乙的慶策略減甲的刮策略肯……咱，鋪，烏……罪，慧，晉，秘……乎，柴……妻，夢(mèng)，截……鹽，完一般券情況膛下，缸二人鋼博弈清可表哥示成哭。但部對(duì)于滅二人下常和紅博弈含，那么森可簡(jiǎn)暗單地紹表示耽成足，其省中哲為收求益的特常數(shù)帳和。旋而矩層陣博歸弈那么待可更泛簡(jiǎn)單燈地表鴉示成安，或稠者直顯接用程甲的壞收益絡(luò)矩陣負(fù)來(lái)表翅示矩才陣博聲弈。瘦二．歪最小集最大扎原理咱局中獻(xiàn)人的犁目標(biāo)劫是選蟻擇使湊自己辮收益倘最大美化的側(cè)策略鉆，我膽們來(lái)削分析筆局中每人如申何決面策。心假定紐甲乙川雙方屠彼此扶了解押對(duì)方魂的收援益表鵝。如唇果甲騎通過(guò)襲間諜真得悉魯乙采圣取某錯(cuò)種策岔略憲時(shí)，始甲必控然會(huì)著采取凡相應(yīng)逮的某窯種策潮略舊，以妥求自輕己的段收益減最大海，即叛選擇晴使下懂式成帝立：轉(zhuǎn)但是泉，當(dāng)餐甲不淡知道加乙會(huì)羊采取均什么柿策略旬時(shí)，趨如果歷甲是轎一個(gè)銷(xiāo)避險(xiǎn)載者，逆那么陪他必刻將作云最壞彎的打逗算，吩以求側(cè)取得繼較好俱的效收果。烈首先增，甲抹要從才收益邁表中怎找出蟻?zhàn)约呵f的每礎(chǔ)一種纖策略鞭下至亡少可假設(shè)獲得足的收紛益進(jìn)(慚即所嬌能獲勒得的必最小櫻收益姜)沉，即呆先求沾解燙，然孤后從覆這些棵最小墾收益除策略香中選瞧擇出占收益呼最大科的策姑略，遠(yuǎn)即脫“查從最列小收神益中蘋(píng)選擇藍(lán)最大裁收益申〞心。從薦收益膽矩陣?yán)齺?lái)看跌這個(gè)管決策朵過(guò)程賊，即迎甲首震先選挺出自漸己的壞收益碗矩陣增的各笑行的船最小蜻值，幻然后琴?gòu)倪@叢些最朋小值桶中再傍選出晉最大說(shuō)值：渴這就褲是求際解策茶略博逝弈的羨最小蓬最大晝?cè)韷?，其刊合理云性表雜現(xiàn)為甜：如毛果甲槳采取箏按照腰最小肥最大眠原理靠確定覆的策敢略，恨那么竄不管暖乙采蘆取什晃么策肚略，錦甲都仗可至工少得澡到這究個(gè)最支小最冰大收拳益。帶由此雖可見(jiàn)替，最犯小最客大原顏理是盤(pán)能夠薦確保桂局中棕人收槳益的厚一種枕原理疑。今護(hù)后，量我們倡把局儉中人產(chǎn)甲按及照最卸小最密大原敲理所畫(huà)確定僚的策炕略，亮叫做竭甲的急穩(wěn)妥錢(qián)策略蹤。純對(duì)于色局中班人乙趨來(lái)說(shuō)隨，他轎的決稼策行宿為和慌決策嗽過(guò)程桶同甲津是一錄樣的涂，只揪不過(guò)泥乙要英依賴(lài)跟于收滴益矩蝶陣寺。乙驢決策軌的最及小最漿大原配理是的：乙保先選桐出收器益矩摩陣璃的各剪列的摧最小沫值，楚然后去從這倉(cāng)些最有小值賞中選癥出最弄大值丟：叨局中窗人乙梅按照焰最小課最大楚原理陰確定蘋(píng)的策系略，逝稱(chēng)為曠乙的朱穩(wěn)妥冶策略作。別讀者鼓可能吩會(huì)問(wèn)并：甲墊先找朱出他盤(pán)的收帶益矩委陣各籃列的船最大懶值，抵然后霧再?gòu)慕@些卷最大禿值中上選出滑最小唐值，軍不也聲是一泄種很奪好的狗決策塌方法緞嗎？擦其實(shí)雪，這側(cè)種決恨策辦序法叫診做最受大最套小法淋，照割此辦你法做終出的貪決策他，在嗓甲不懇知道畝乙會(huì)城采取伍什么科策略蝦的情世況下總不能升保證瓶甲的基最大擔(dān)最小細(xì)收益謙能夠監(jiān)到達(dá)代。原掙因在蜂于最濃大最箏小法取需要化確定我出乙自的每至種策集略下轉(zhuǎn)甲的茅最大疑可能補(bǔ)的收澇益。差假設(shè)墨甲按躬照最世大最下小法劫選出慌了策減略腫,蜓那么巨當(dāng)乙定采用暑策略指時(shí)，掛甲可她得到寨最大舊最小喜收益怠。但央是，疊假設(shè)乙鳳采用鬼的不粗是策棄略袍,壤而是芽策略酬，那雹么甲絨如不標(biāo)重新垮選擇而他的屠收益逢矩陣棚第能列的蓄最大下值的篇話(huà)，指他的碰最大焰最小棋收益洲就不尊一定列能夠反到達(dá)找，這纖正是拜最大驚最小儀法同悟最小笛最大亂原理鼓的區(qū)捧別。騙實(shí)際晚中，繁在甲煉不知佩道乙稅會(huì)采莊取什刃么策啊略的龜情況綢下選賺定了穴自己視的策貢略以堆后，來(lái)乙的產(chǎn)策略損才出夏臺(tái)，濫為甲限也獲倘悉了尖乙的顛這一眉行動(dòng)簽時(shí)，形甲很沿有可檢能來(lái)傭不及聽(tīng)調(diào)整下自己絕原定怠的策武略，辦從而船給甲蝦帶來(lái)型一定小的損妹失。退因此茶，最據(jù)大最擠小法睛在保阻證局塔中人離收益胸方面央不如痛最小讀最大它原理油那么井保險(xiǎn)月。仔當(dāng)甲燥和乙骨的穩(wěn)旦妥策棟略都軌已選處定時(shí)的，二咳者結(jié)譯合起樓來(lái)能寶否成迷為博老弈的渣結(jié)果語(yǔ)呢？啞答案抽是未視必。壘請(qǐng)看杜下面腐二人禽零和挨博弈宴的事穿例。截例1丟.括壯高度布不確車(chē)定的昏博弈窗考慮湖二人儀博弈惡，甲叨的策嶄略集鈴合敵，乙介的策舊略集撤合繩，甲牲和乙嘩的收掛益矩?fù)岅囁]和棕通過(guò)露博弈涌的收草益表妨給出明(壤見(jiàn)表膀2暢)熱。魚(yú)表2巨：光甲奮和乙逆的收窗益表政乙元甲均4，墻1，朱2，舟3，揚(yáng)對(duì)于妥甲來(lái)煌說(shuō)，特；對(duì)孩于乙妥來(lái)說(shuō)胸，懇。這軌說(shuō)明撓甲的舞穩(wěn)妥慶策略寨是碗，乙罰的穩(wěn)爺妥策祖略是弊。朵但是鑼?zhuān)?dāng)粒甲采斤取股時(shí)，罵乙采翼取饑的收兄益爭(zhēng)小于妥采取制的收勇益呀，因爸而乙剪要改肺用策失略搖。在和乙改先用偏后，糾甲采劃取策隸略亂的收濾益辯小于廚采取致的收紹益霧，因襪而甲村也要里改用電策略府。而搬當(dāng)甲窮改用奪后，搞乙采洪用稿的收介益鞭小于熱采用陪的收中益挎，于扶是乙友又要炭改回紙到表；在甜乙改宗回到僵后，列甲也源要改堵回到值收益絮最大狼的策從略投。這伸就讓凳我們杠看到這：當(dāng)禽甲采橡取學(xué)時(shí)，捉乙要會(huì)采用培；然碰后甲列改用甲，乙凍隨之者改用精；甲亮再改痛用誕，乙站又改浴用權(quán)，如缺此不砍斷往美復(fù)下謹(jǐn)去，斬博弈腸的結(jié)酬局是阿高度突不確凈定的外。級(jí)一般應(yīng)來(lái)講貼，要質(zhì)想一來(lái)個(gè)二僚人博肆弈舌具有話(huà)確定頁(yè)的結(jié)樹(shù)局，居必須終存在風(fēng)這樣赴的局遞勢(shì)咽：鏈滿(mǎn)足旨這個(gè)閉條件另的的損局勢(shì)羊，叫媽做博須弈盤(pán)的屬均衡困或定最優(yōu)擾解成或民最優(yōu)嗽局勢(shì)擔(dān)，其醋中的手和怕分別偶叫做弱局中屋人甲豆和乙盲的征最優(yōu)碰策略視或辮均衡控策略獄。這何個(gè)條晌件也靈就叫通做博籍弈的爽均衡浮條件覽。著對(duì)于菜二人蕩常和欺博弈眉來(lái)說(shuō)笛，嘗是博盜弈的裳最優(yōu)雅解當(dāng)竄且僅齒當(dāng)僵數(shù)學(xué)幫中，樣滿(mǎn)足享這個(gè)巷條件框的點(diǎn)牙叫做足函數(shù)捆的物鞍點(diǎn)碎。因依此，方是博驢弈的鑄最優(yōu)掀解當(dāng)折且僅咳當(dāng)躺是收袍益函凡數(shù)米的鞍嘆點(diǎn)濃。下鼠面的惹定理柜給出亮了鞍行點(diǎn)的礙判別塔條件瞇。佛鞍點(diǎn)谷定理沙．沫是收懼益函戶(hù)數(shù)衛(wèi)的鞍杯點(diǎn)的望充要飛條件遷是賀：紐證明?。褐帘匾嘈耘?侮設(shè)穗是裁的鞍我點(diǎn)，朝即浪。坊從遞可知槽，適對(duì)一幸切窯成立貼，這酸就蘊(yùn)窮含著凈，即慌。祥注意鑼?zhuān)?。這撕就證獨(dú)明了胡。遭充分釋性耍．設(shè)償滿(mǎn)足糧。從研可知鵝；從聯(lián)可知殃。所榜以，匯，即黨是函仙數(shù)烘的鞍絕點(diǎn)。滲◆淺既然款二人誰(shuí)常和洋博弈放的最燈優(yōu)解材恰好致就是樓收益熊函數(shù)唱的鞍荒點(diǎn)，貨鞍點(diǎn)評(píng)定理殲告訴殼我們?cè)?，?dāng)挨收益殼函數(shù)婦的鞍值點(diǎn)存吳在時(shí)蠻，利淹用最攔小最紹大原稱(chēng)理確抹定的晴博弈歸局勢(shì)耀就是趕二人犯常和幣博弈或的最衣優(yōu)解裕?；诺请p，當(dāng)軋收益殖矩陣岡不存始在鞍叼點(diǎn)時(shí)收，常址和博方弈就蓄沒(méi)有羞最優(yōu)袍解，介博弈察的結(jié)倡局就貌是高呆度不時(shí)確定庭的。況鑒于拋此，壁我們切將有此鞍點(diǎn)哈的常缸和博棄弈稱(chēng)社為載嚴(yán)格班確定亦的博振弈慨。反三．臟反響董函數(shù)膀博弈爺?shù)木址酥腥藫p總是猴要考搶?xiě)]對(duì)惠手的話(huà)行動(dòng)存，然夏后確盲定自寺己的割對(duì)策味。當(dāng)處乙采蜻取了漸某種猾策略焦，而位且被氣甲所偷覺(jué)察鎮(zhèn)時(shí)，指甲必混然有績(jī)所反童應(yīng)，示要確俗定出脖相應(yīng)野的對(duì)賊策界以使勵(lì)自己不的收妄益罪在乙骨選擇侍的情置況下振到達(dá)瓜最大羊，即莖要使摟。甲連對(duì)乙戴的行菠動(dòng)的胖這種材反響收，確傻定了俗一個(gè)命從乙裳的策踩略集些合揮到甲以的策陣略集外合昆的映貿(mào)射攏，即鍬對(duì)任危何呼，甲脾的反月應(yīng)策鉆略竹是按嫩照銀來(lái)確拔定的閱。這稻個(gè)映桑射紙就叫醬做甲鋪對(duì)乙踩的籮反響誕函數(shù)么。踩同樣剪的道神理，勸可以努確定為出乙厚對(duì)甲偵的反撥應(yīng)函重?cái)?shù)塊，即賴(lài)對(duì)任指何減，省是按閉照痰來(lái)確譽(yù)定的堆。南利用介反響刷函數(shù)餐，我冷們也終可以役解釋勿博弈算的結(jié)徹局。獎(jiǎng)就象線(xiàn)古諾標(biāo)博弈撒一樣熊，假蒼如甲術(shù)先采坡取某濾種策匠略頌，乙?guī)熗ㄟ^(guò)錘某種羊途徑藏得悉留了甲喘的這刮一行歉動(dòng)，瞞并認(rèn)企為甲費(fèi)不會(huì)答改變侵他的北策略涌，于謝是作敗出反佩應(yīng)，鄉(xiāng)決定澆采取袖策略耀，以逢使自候己的局收益招最大豆化。貼當(dāng)乙恢采取底策略換時(shí)，辰甲掌筐握了本這一灑信息雀，并希認(rèn)為杰乙不浪會(huì)改茫變他踐的策笨略，蠟于是煌作出灰反響?zhàn)^，改植變?cè)鋪?lái)的參策略越，決鴉定采灘用列，以播求收戚益最陶大化橋。這巷時(shí)，勢(shì)乙再沉次對(duì)告甲的全行為酒作出路反響扒，采控取新祝策略燦。甲估也再四次對(duì)犧乙的港行動(dòng)庫(kù)作出乒反響螞，采販取新誼策略赤。這術(shù)樣的般反響笑不斷看下去海，直安到最卵后達(dá)部到賺且固時(shí)博昆弈實(shí)裂現(xiàn)了殖均衡跟，此創(chuàng)時(shí)的竭局勢(shì)特就是畝博弈甲的最烈優(yōu)解孕(弄均衡明、最凈優(yōu)局劇勢(shì))由。酒綜上租所述親，博勢(shì)弈的假設(shè)結(jié)局鋒是實(shí)捧現(xiàn)均杜衡，驢并且零均衡及由甲丙乙雙餅方的旦反響邊函數(shù)繩確定獄，即然由方航程組頌決定需。事找實(shí)上成，以是該控方程溉組的頸解當(dāng)丸且僅腎當(dāng)乖，而半這正舅是博犬弈慎實(shí)現(xiàn)中均衡念的含分義。協(xié)注意梨，以筆上關(guān)證于反月應(yīng)函扛數(shù)的劑討論手，沒(méi)擺有要懼求策珍略集現(xiàn)合的營(yíng)有限紹性，糾即集哨合擋和河可以控是任嚼何集匪合。涌下面末考慮存二人拔無(wú)限衛(wèi)博弈煙的一艦種特褲殊情鳳況：逼策略孩集合欄和榆都是危實(shí)數(shù)占區(qū)間且。比荒如，患本章壟第一痕節(jié)例持3中鋪古諾沾博弈盒的局薄中人投策略個(gè)集合落就是慨區(qū)間柱(半發(fā)直線(xiàn)桶)，雨例4兩中貝眼特蘭趙博弈焦的局義中人匯策略法集合氧也是瓦半直譽(yù)線(xiàn)。暈假設(shè)炒局中剩人甲建和乙擠的收稀益函墻數(shù)批和誠(chéng)可微繪，那么姜甲對(duì)恰乙的帖反響逃函數(shù)飄由方英程吉(計(jì)一階楊條件跨)影決定服，乙暴對(duì)甲肝的反灶應(yīng)函倘數(shù)像由方糟程襪(芝一階嫌條件但)衡決定會(huì)，從摘而博難弈的陳最優(yōu)事解就擊是如之下方笨程組怪的解?。核?玻．屯二人術(shù)博弈謀的反際應(yīng)函樓數(shù)及問(wèn)最優(yōu)忌解沾設(shè)二披人博吐弈中鍵，甲例和乙濁的策購(gòu)略集著合絡(luò)和變?yōu)殛?duì)，收照益函顧數(shù)冬和迅分別繼如下愧：愚求偏倦導(dǎo)數(shù)宰得方鹿程組父。由乞此可副知局淚中人咱甲和眉乙的灰反響吊函數(shù)賣(mài)分別唇為涂，博歡弈的忠最優(yōu)遷解為耀。躬四．唇策略惜選擇串的經(jīng)醉濟(jì)模原擬爆第一貼節(jié)中脾曾經(jīng)父指出夾，描豈述一喊個(gè)博饒弈時(shí)姨策略篩集合厲的選嗚擇至膜關(guān)重形要。觸比擬沙古諾視博弈純和貝臨特蘭招博弈痰，雖來(lái)然二揮者的氣目的投都是撥要模往擬同請(qǐng)一經(jīng)觸濟(jì)現(xiàn)座象門(mén)——孟雙頭雅壟斷虧，但粘二者棚的結(jié)毒構(gòu)卻諸很不悄同。企古諾腐博弈非中廠駛商的綿策略吧是選壽擇產(chǎn)夫量，旅廠商導(dǎo)的收煤益是蓮策略提變量河的連梁續(xù)函榮數(shù)；鹿而貝龜特蘭伶博弈患中廠喇商的抽策略餡是選榆擇價(jià)霞格，恐廠商勢(shì)的收查益是櫻策略肆變量禾的非關(guān)連續(xù)籍函數(shù)業(yè)。這跨導(dǎo)致平了相頃當(dāng)不器同的偶均衡尿，究膀竟哪地一種戚是正享確的敢呢？獻(xiàn)如果荒抽象餡地看群待這械個(gè)問(wèn)海題，笑那么嚷“幕哪一震種模予型正落確物〞憲這樣佩的提鬧問(wèn)并聯(lián)無(wú)什通么意者義。停要回盛答這秒個(gè)問(wèn)飯題，溉就必配須看澆模型督試圖喜模擬噴什么壇。不麗要問(wèn)尸哪一聰種模賢型是籍正確稅的，待而去牛問(wèn)策袖略選拿擇中蓬什么怒樣的脆考慮宜是切所入主厚題的烈，這弱樣的跑提問(wèn)雁可能草會(huì)更講加有心益一呢些。侮比方幕，如皂果我更們觀翠察O呼PE這C公畏司的娃公告鑰，就和會(huì)發(fā)政現(xiàn)O縣PE稼C企走圖為名每一字個(gè)員芬工決礙定產(chǎn)往量配田額，奸并且虜允許恨按照左世界澆石油觸市場(chǎng)剛價(jià)格呀定價(jià)到，這聾樣按錢(qián)照產(chǎn)柄量水諷平而青不是拒按價(jià)瞧格水營(yíng)平來(lái)近模擬澆博弈萬(wàn)策略翠，就禍可能燃更加踏合理荒。撇在策濟(jì)略選罩擇的神經(jīng)濟(jì)動(dòng)模擬聾中還祝有另比一方策面的泡考慮膨，乃昌就是誦一旦顧對(duì)手給的行傾為被響觀察占到，搶那么灣對(duì)手斑的策嫌略應(yīng)療該是獄被承墨諾的剛或者付是難符以改孫變的恨。然伯而到奸目前酒為止辨，所哈描述勒的博算弈是敲“磁一次經(jīng)性頂〞粉(o窗ne孝-s種ho目t)移博弈史，其舌特點(diǎn)是是一拒旦知烤道對(duì)勻手的講行動(dòng)打，策飼略變報(bào)量可鋤以很虹快地升進(jìn)行而調(diào)整雷。例繡如，流假設(shè)頌我為嘗我的珍產(chǎn)品伴選擇繡一個(gè)笛價(jià)格代，然梅后發(fā)鴿現(xiàn)我鄰的對(duì)支手制糞定了遲一個(gè)很略低擔(dān)一些毒的價(jià)講格，志在這格種情歇況下迅我可像以很剝快地禾調(diào)整助我的任價(jià)格法。因已此，愛(ài)盡管閱“匙一次斬性趴〞尖博弈船所描稅述的亮現(xiàn)象群應(yīng)該忍是發(fā)蓋生在壟實(shí)際油生活洋中的偏現(xiàn)實(shí)療，但紗在姨“腦一次釋性它〞推博弈惰中模赤擬這舌種能景夠很些快調(diào)間整的霉策略企反響鞠并不枯具有珍多大汁的意伶義。燥似乎妙應(yīng)該邪使用攜多階奪段博此弈，竊這樣盟才能予捕獲喉到策尤略選鐮擇行步為的霉所有幣可能澤的內(nèi)曲容。效另一年方面編，如安果我歡們把漂古諾導(dǎo)博弈非中的距產(chǎn)量澆水平峰解釋妥成為尼廠商撐的生濟(jì)產(chǎn)能膠力，縣那么浴一定天產(chǎn)量沾的產(chǎn)埋品生匆產(chǎn)就凍可能咬是不以可撤歲消或蜂不可臨改變?cè)甑馁Y豆本投擦資。曉這種執(zhí)情況賣(mài)下，毯廠商勒一旦制發(fā)現(xiàn)識(shí)對(duì)手繼的產(chǎn)耀量水淹平，貍而要怖改變比廠商周自己眾的產(chǎn)血量水領(lǐng)平，魂那么可抗能是補(bǔ)難以組辦到像或非樸常昂驅(qū)貴的甚。生褲產(chǎn)能攻力或骨產(chǎn)量鑼水平竭似乎漏是廠燃商策寺略的耕天然蹲選擇掛，即飲使一陵次性脹博弈肆中也恰是這另樣。形同大癢局部鄭經(jīng)濟(jì)錢(qián)模擬棟一樣圾，在皺策略雹選擇撐的經(jīng)賽濟(jì)模條擬中料，如總果既荒要讓蹲博弈鼓簡(jiǎn)單杜明了楚以便丟分析鹿，又文要能云夠說(shuō)餐明實(shí)板際策孔略的表迭接謊要素辟，那記么如之何表隙示博斧弈的塊策略隊(duì)選擇拼，就沈是一萬(wàn)項(xiàng)藝膛術(shù)。務(wù)第三朱節(jié)河重復(fù)并博弈瞎到目俗前為貢止，哭所談蛛論的掏博弈恭是一次次性劍的。窯其實(shí)盆，任靈何博膀弈都營(yíng)可以坊一次京一次擔(dān)地重籍復(fù)進(jìn)枯行，緊且每之一次籍重復(fù)棉都不含是簡(jiǎn)巖單地斜重復(fù)蠅前一愉次的灑著法曲，而陜會(huì)考酸慮得尤比前設(shè)一次父更全善面些消，技批法也垮會(huì)更吩高些鄙。就理好似地棋手瘡下棋減一樣超，一贊局結(jié)怪束了昆再開(kāi)列一局通，前初一局梅在某夸些著綿法上于吃了其虧，雷這一傅局中步就會(huì)旗吸取茶教訓(xùn)幕而加腦以注角意，來(lái)正所扒謂辟“必吃一恐暫，洪長(zhǎng)一攀智證〞剛。反癢反復(fù)惹復(fù)地蠢開(kāi)局皮，給死棋手齊不斷僻積累藍(lán)經(jīng)驗(yàn)完，讓狐棋手惹的技爽藝越優(yōu)來(lái)越句高。辱通過(guò)醫(yī)博弈如的重棟復(fù)進(jìn)竭行，巡局中金人的喊經(jīng)驗(yàn)祥越來(lái)號(hào)越豐羞富，認(rèn)這種武經(jīng)驗(yàn)頓源于琴博弈辟歷史忌。實(shí)宗際上脂，重客復(fù)博顫弈中恨的每售一點(diǎn)南處，辮局中鐘人決哨定自從己的葬選擇帝時(shí)會(huì)良考慮初到達(dá)載該點(diǎn)皺之前噸的全斬部博聰弈歷擠史，染比方源象棋裹棋手表在上孕一局夾中因持出車(chē)飾慢而印吃了烏虧，泰那么妻這一暴局中慌就會(huì)作吸取浩前一乖局的溉教訓(xùn)校而趕嗎快把慎車(chē)開(kāi)覽出來(lái)它。這紐樣一皮來(lái)，森重復(fù)抗博弈只中局革中人泥的策料略空抬間隨財(cái)著博兵弈被財(cái)重復(fù)愈的次陽(yáng)數(shù)的幟增加依而變努得越啊來(lái)越腿大，踩也就躍是說(shuō)固，博腹弈歷阻史越蝕長(zhǎng)，爬局中叉人的斤策略解空間絹越大觀，可睜以選雁擇的殖著法樸越多捧。由選于挑“仍我的燦對(duì)手六會(huì)基婚于我蜘的選勵(lì)擇歷但史而虎修正效他的屑行為澤，我獵必須位在做齒出自鉆己的體選擇韻時(shí)考政慮到晴這種島影響扇〞共，所廊以，厚重復(fù)泄博弈崗的結(jié)牲果不亭絕不圓是一炮次性雹博弈欺的簡(jiǎn)寫(xiě)單重振復(fù)。瘡例1振.駐客囚徒艘博弈史的重庸復(fù)衣我們創(chuàng)以囚權(quán)徒博恩弈為仗例，訴來(lái)分箏析重尺復(fù)博且弈問(wèn)黎題。泳囚徒聰博弈蝶中，繳企圖蛇獲得我“見(jiàn)(合均作，笑合作半)膠〞浩解是攏兩個(gè)原局中關(guān)人的另長(zhǎng)期傲利益惑所在抱。對(duì)唯于每鋪個(gè)局貫中人紐來(lái)說(shuō)繭，可毛行的頑做法茂是試扒著給憐另一牽個(gè)局猛中人豪發(fā)出葵“浙信號(hào)令〞兔以表梁明他完的恰“叔善意遙〞裕，并久且在尊博弈犯一開(kāi)孝始移族動(dòng)就樹(shù)進(jìn)行誼合作盾。當(dāng)維然，神背叛糟是另蓬一個(gè)敵局中律人的喪短期懸利益島所在困。如峰果他管不合雙作而航采取瘦背叛夠策略睛，那訂么對(duì)文方就鼓可能配失去耽耐心范而從環(huán)此以趕后永房遠(yuǎn)只演實(shí)行消背叛乒。這紐樣一答來(lái)，歉背叛攀者就畏會(huì)因仔只看讀到眼宵前利消益而啦喪失同合作曠的長(zhǎng)松期利霧益。睛基于諸這種要推理但可以鞋得到咳的事我實(shí)是澆，一險(xiǎn)個(gè)局府中人諸目前辨的做鼓法將壇在未濤來(lái)將怨得到揀回應(yīng)浙——橋其他幣局中當(dāng)人的動(dòng)未來(lái)肝選擇朋可能者依賴(lài)撿于這誠(chéng)個(gè)局繳中人炕當(dāng)前鐵的選某擇。攤現(xiàn)在妄來(lái)分片析一格下擦“眨(合同作，厘合作獲)壤〞瘡局勢(shì)燕能否希成為腦重復(fù)謙囚徒藝博弈凱的一秋個(gè)均斗衡。鵲我們東分兩車(chē)種情盡況進(jìn)編行討頌論，局一種芝情況莖是有鬼限次壽重復(fù)窄博弈映，另寄一種五情況次是無(wú)午限次逝重復(fù)度博弈拳。繞先討艱論有膝限次中重復(fù)遠(yuǎn)博弈劉，為揚(yáng)此假眠定每毀個(gè)局襲中人燃都知鬼道博革弈將獲重復(fù)暢一個(gè)鏡固定研的次刪數(shù)〔凝比方尾重復(fù)列５次衡〕。穗考慮俊最后穴一輪會(huì)博弈府實(shí)施撈之前競(jìng)局中酒人給襪予的贏推理旱，此央時(shí)每劈個(gè)人騎都認(rèn)眉為他淹們?cè)谶b進(jìn)行勇一次壁性博雷弈。雞由于蘿這是塌最后缺一次誓移動(dòng)鉆，將梳來(lái)不稼會(huì)再亮有，孔因此況均衡繩的標(biāo)蔬準(zhǔn)邏剃輯推許理便亭得以葡應(yīng)用冬，其盜結(jié)果必是局背中人那雙方狐都選渡擇民“岸背叛宇〞六策略漆。再凝考慮英最后兵一次書(shū)移動(dòng)生之前勝的移次動(dòng)，鄉(xiāng)這里辭似乎余每個(gè)厭局中難人都民重視疏合作認(rèn)，以猾向?qū)⒎桨l(fā)擠出他優(yōu)是答“卸好人盤(pán)〞護(hù)的信筋號(hào)，從以便影能在傲下一督次以盟及最香后一齊次移粘動(dòng)中例合作厲。但嶺是，對(duì)我們半已經(jīng)邊看到底，最著后一口次移上動(dòng)中泉雙方拍都將陡采取先背叛弦，因久此在低倒數(shù)唱第二唉次的宣移動(dòng)貌中合孤作就勺沒(méi)有礦什么挪優(yōu)勢(shì)鳴可言冰。采哪取合收作是污為了支得到肺長(zhǎng)期速利益推，為糞了在染將來(lái)塘最后擔(dān)一次洽移動(dòng)踏中得螺到回失應(yīng)。堅(jiān)然而侮，將正來(lái)最剝后一壯次移護(hù)動(dòng)中挎并不義能得心到合滔作，嗓雙方越都背刷叛了歡，結(jié)鉆果倒抗數(shù)第經(jīng)二次癥移動(dòng)術(shù)中雙貪方也葬只有郵采取須背叛匪。同覆理不脖斷向依后歸概納(云ba擔(dān)ck犧wa咬rd驅(qū)s虜脆in倚du耕ct鋸io魔n)男，結(jié)雷果最器后一駐次移洪動(dòng)之霉前的莫所有泥移動(dòng)壽中，育合作錫并不癥能帶嚇來(lái)什垮么長(zhǎng)社期利挎益，霧沒(méi)有矛什么胳優(yōu)點(diǎn)娃，局名中人豎惟有純相信贏其他看局中駛?cè)藢⒑谧钷Z后一渴次移瀉動(dòng)中千背叛立，用厲現(xiàn)在椅的善獨(dú)意企捧圖去抓影響矛未來(lái)健下一階次的襖移動(dòng)滾是無(wú)疏利可旨圖的亡。因智此，幣在重表復(fù)某流一固江定次氣數(shù)的般囚徒襪難題瞎重復(fù)棒博弈隱中，誦每一諷局博晝弈的朱均衡肉局勢(shì)場(chǎng)都是驢“方(背捆叛，新背叛拼)湯〞敢，而槽不是爹“縫(合清作，社合作胖)踢〞嚴(yán)。碼再來(lái)碑考慮快博弈很可無(wú)赤限次辣重復(fù)錯(cuò)的情趕況。麗當(dāng)博留弈的繁重復(fù)凝次數(shù)來(lái)為無(wú)年限時(shí)革，情儉況就蠢大不墓相同冷了。錢(qián)此時(shí)鐮，局食中人暴在每著一個(gè)犯階段推都知預(yù)道博員弈至獨(dú)少還慎要重威復(fù)一塔次以泰上，矛因而結(jié)合作爭(zhēng)大有凡前景羞，長(zhǎng)狼期利渾益在湯望。燦在這胃種無(wú)辟限次詢(xún)重復(fù)諸的囚租徒博讀弈中圣，每誕個(gè)人依的策授略都市是一腰個(gè)函柱數(shù)序?yàn)┝?，化它表局明每帆個(gè)局緞中人嘗在每扔個(gè)階攜段是甜選擇惱合作泊還是畜選擇肆背叛集，都珠是作釀為此佩階段客之前金博弈順歷史茶的函泳數(shù)。躁重復(fù)什博弈男中，洞局中因人的攏收益釣是各借階段于收益名的貼遠(yuǎn)現(xiàn)值潛之總迫和粗——膀貼現(xiàn)豐和壯(遭向時(shí)教刻0竟貼現(xiàn)舅〕。慎具體樹(shù)地說(shuō)誓，設(shè)嚇局中等人在終時(shí)刻惠的收警益教(系即第鳥(niǎo)局重姑復(fù)中這的收植益桿)傘為藝，他昏在重宿復(fù)博原弈中晃的收擋益就碌是貼賀現(xiàn)和躁，其臟中魔為貼瞇現(xiàn)率刮。只嚴(yán)要貼燙現(xiàn)率柴不很罪高，蘿囚徒敬博弈龜每一襯局重柔復(fù)的津均衡本局勢(shì)囑便都抓是挺“仍(合堪作，膛合作千)率〞漿，每昏個(gè)人沫在各撿個(gè)階棄段都債會(huì)看挨到合排作的館利益苦。為常了說(shuō)肯明這盾個(gè)事漸實(shí)，技我們朽采用擔(dān)第一酬節(jié)例飼2提沈供的親數(shù)據(jù)感。與假設(shè)吵兩個(gè)燙局中陳人一釘直合猴作，遍移動(dòng)辦到了肅時(shí)刻鑼。如渾果本雞次移索動(dòng)中劑一個(gè)磨人決四定背慎叛，倒那么棍另一似個(gè)人乏會(huì)因熟本次慘移動(dòng)曠中采船取合咳作而呼未得這收益殘，從顆而從萌下次港以后交永遠(yuǎn)季采取凳背叛駱策略構(gòu)，給波對(duì)方拴以懲吳罰。問(wèn)第一罩個(gè)背福叛者急從本收次開(kāi)泳始，章以后悟只能拔繼續(xù)奉背叛覆〔因阿為合餐作的沉收益濁為零增〕，稍結(jié)果瓣他雖笨然在票本次扔移動(dòng)藝中立慢即得招到了店40康00做元的勢(shì)收益訂，但訴也以鬧以后糧無(wú)限嗽次的蛋10胡00莫元收蔽益這駱個(gè)低步收益持流來(lái)妄消滅姓自己妙，他泄從背串叛中叫得到盞的收慈益貼械現(xiàn)和蠢為藍(lán)元。望另一勁方面釣，如于果他脊持續(xù)樹(shù)合作街下去東，永掛不背緞叛，酷那么叨對(duì)方躬也不偶會(huì)背堅(jiān)叛，脅于是宣他從污合作花中得撞到的諒收益痕貼現(xiàn)無(wú)和為末元。甘比擬窄和育可知團(tuán)，只省要貼旬現(xiàn)率頑，就時(shí)有師。這愿就說(shuō)扛明，達(dá)只要紙貼現(xiàn)即率不資很高鋤，當(dāng)楚一方杜背叛嘴時(shí)，歪另一呀方也貸采取糊背叛鎖給其店以懲架罰，粘就能砍使背歉叛者此償其敬苦果藍(lán)。由拴此看絹來(lái)，尿只有床雙方余互相捷合作雞下去澤。如縱有一血方背桐叛，夏另一送方就席要執(zhí)撕行懲辛罰策濤略來(lái)伙使背丘叛者某飽償套苦果殃，因獸而沒(méi)乖有一寨方能袍夠從童背叛董中會(huì)格有收跟獲。沾所以欲，在狡貼現(xiàn)拳率不裁很高私的情荷況下牢，囚慰徒博槽弈重描復(fù)的頑均衡貌是局繁中人礙雙方縫在各哄階段志都采林取合攔作策棗略。停以上溉論述友實(shí)際封上是貝很有蛇力的生，有著一個(gè)固稱(chēng)為恒弗爾崖克(叨Fo宰lk尊)的損著名怎定理筐支持棍了這俘一論許述。稱(chēng)該定懼理斷濫言：貿(mào)在重善復(fù)的怎囚徒煎博弈死中，民任何診收益撫如果沸高于倘局中衛(wèi)人雙尖方一趙致背星叛所錄能得并到的閱收益志，那致么都戴將被伶作為除重復(fù)發(fā)博弈頁(yè)均衡螺而得裹到支夕持。藝上面府我們托還提鈴到了險(xiǎn)懲罰榆策略療，實(shí)很際上蓄這個(gè)拋策略尚可明縱確敘柜述成碼：遺“伴在當(dāng)她前移景動(dòng)中焦合作須，除侵非其憤他局決中人射在最蛛后移全動(dòng)中秩背叛交〞女。采著取這崖個(gè)策吹略的挪理由拼是，資如果久一個(gè)陪局中懲人背答叛，稿那么撞他將衡在收何益上販得到坐永久專(zhuān)性懲綠罰。緊另外城，上載面論黑述中強(qiáng)還涉勵(lì)及到彼了貼柳現(xiàn)率襪，并沾要求喇貼現(xiàn)始率不垂很高魯。實(shí)花際上哈，當(dāng)動(dòng)貼現(xiàn)橋率很倍高時(shí)林，當(dāng)鳥(niǎo)前收譜益就步是特濕別重與要的旁，因戶(hù)為將籌來(lái)的稿貨幣追貶值哥太大話(huà)了，蘆現(xiàn)在派的收封益要河抵得俘上將智來(lái)收初益的睛好幾森倍，神因而桂當(dāng)事吹人只膽好顧猴及當(dāng)柏前收也益，湖力求滴當(dāng)前繩收益醋越多接越好帳，而譯把未午來(lái)長(zhǎng)隔遠(yuǎn)利節(jié)益放秧在次此要位記置上華。旅下面?zhèn)冊(cè)倏辞缫粋€(gè)滔雙頭臉壟斷汗的重嶄復(fù)博糟弈事濟(jì)例。激例2楊．詠維持仁卡特弟爾滑考慮遠(yuǎn)一個(gè)花簡(jiǎn)單搏的重酸復(fù)雙置頭壟皮斷，群如果道兩個(gè)溉廠商內(nèi)都執(zhí)勸行古初諾博叼弈均葬衡策漁略，塑那么得候到利令潤(rùn)毒；如給果以?shī)W共同躬利潤(rùn)警最大秘化決筑定產(chǎn)復(fù)量水尤平，湊即執(zhí)枝行卡捏特爾禾行動(dòng)變，那么養(yǎng)得到喝利潤(rùn)味。我善們知慎道，約一次譯性博盈弈中韻共同忙利潤(rùn)灘最大渠化的煉產(chǎn)量殖不是急博弈夕均衡棟，每充個(gè)廠泡商都潛有激父勵(lì)去善傾銷(xiāo)席額外艷數(shù)量計(jì)的產(chǎn)彈品，掃如果莊他認(rèn)懇為其蜓他廠叉商將粘保持落產(chǎn)量辱不變兄的話(huà)黨。但雁是在羽重復(fù)歸博弈友中，玉只要哈貼現(xiàn)魚(yú)率不標(biāo)太高湯，合欠作起侍來(lái)以漂使共屑同利襲潤(rùn)最洞大化旺之策紋略，碌將是戴重復(fù)缺博弈刻的最早優(yōu)解屯。啄可以掩證明肢，如輕果這決種簡(jiǎn)酬單的植雙頭徒壟斷蔽博弈綁是一漏次性弊的，告那么仆每個(gè)劉廠商越以古米諾產(chǎn)碧量生燒產(chǎn)將森是博玉弈的踢最優(yōu)喝解。贏但是茄，如業(yè)果這貪個(gè)博碑弈是避不斷年重復(fù)號(hào)的，炒那么撲每個(gè)滿(mǎn)廠商礦都采立取按痛照卡坦特爾東產(chǎn)量刑生產(chǎn)腦的策劣略，疏即都林選擇難合作蹲，將捏是雙磚頭壟賀斷重弟復(fù)博吃弈的押最優(yōu)撲解。量對(duì)不豐合作風(fēng)的適椒當(dāng)懲址罰，惠是采秀取生擦產(chǎn)古怕諾產(chǎn)越量水續(xù)平這痰一策笑略。暮可見(jiàn)饞，在盾不斷庸重復(fù)文的雙英頭壟嚴(yán)斷博籠弈中挨，由只于一口次性桃博弈買(mǎi)均衡動(dòng)這種莖懲罰乖策略冷的存懼在，聚局中默人都刃將以激長(zhǎng)遠(yuǎn)鴿利益疏為重溉，來(lái)罩維持澇卡特阻爾。醫(yī)第四朗節(jié)象混合托策略詳并非偏所有熄博弈陡都有右嚴(yán)格狡確定染的結(jié)雪局。頂進(jìn)一能步，遇實(shí)際方中博鋤弈局伶中人笛常常玻希望標(biāo)自己共的行憲動(dòng)隱赤秘不糠被暴梳露，顧不被巧對(duì)手抱覺(jué)察豬。對(duì)股于這音兩個(gè)墻問(wèn)題邁，目沫前意采義上乘的策殺略博耐弈是華解決單不了鍵的。聞在博駐弈非蝴嚴(yán)格棵確定是或者厘局中謝人希鳴望保狀守秘洗密的鑼情況執(zhí)下，歲局中箏人的扯最好順做法壇是采簡(jiǎn)取混矮合策枕略，紹即以斃一定縮的概種率采峽取某晴種策軌略。資這樣憐做，央甚至暑連局監(jiān)中人繞自己圓也不譜知道敢每一梨次行她動(dòng)中框究竟虹采取淺什么隱策略拉，競(jìng)范爭(zhēng)對(duì)尸手就夜更不瘦得而客知了云。而木且對(duì)崗于非伸嚴(yán)格績(jī)確定篇的博鉤弈來(lái)耐說(shuō)，字采用屑混合擦策略斗就可察求得員最優(yōu)動(dòng)解?？蕻?dāng)一礙種混煎合策庭略以只概率咐1選否擇某閥種策厚略時(shí)曲，這旅種策改略就蠟是前允三節(jié)頁(yè)所談后論的覽“登純目〞腰策略洗，可控見(jiàn)混宵合策科略擴(kuò)歸展了勒策略張概念顫。久一．泥混合道策略簡(jiǎn)的概仍念假設(shè)我們撐以?xún)娠嬋瞬┍赊臑闄?quán)例，摟來(lái)對(duì)漲混合跳策略霞的概違念以焦及采猜取混校合策柔略時(shí)呢局中纖人的擠行動(dòng)膛目標(biāo)妹進(jìn)行府解釋腥。至斷于更晴一般欺的多零人博葬弈，內(nèi)將在說(shuō)下一曲節(jié)中呼討論拒。論設(shè)掩為有曠限二撥人策掩略博攻弈，迎其中燕為局?jǐn)U中人難甲的俯策略掌集合障，祖為乙鍋的策馬略集也合，何和孕分別國(guó)為甲聲和乙墊的收籠益函嶄數(shù)。屬局中矮人為占了?；汲肿詰z己決到策的臉秘密器性，虹不再罷象以性前那錘樣選此擇純相策略焰，而喝決定姿采用直隨機(jī)迎方法廚來(lái)選抄擇策接略。敲也就怖是說(shuō)貌，局食中人戴對(duì)純答策略智的選助擇由劫某種民隨機(jī)迅裝置惠來(lái)決痕定，縣對(duì)每訓(xùn)個(gè)純疫策略象來(lái)說(shuō)粉，采銀用它泊只有惡可能撓性的郊大小缸，也秧就是撇用多門(mén)大的充概率盛來(lái)選愿擇各婚個(gè)純繼策略廚。這恭樣，亞對(duì)方燈就不勞可能塵事先爆知道撓究竟采選擇隊(duì)哪個(gè)從純策程略，侍甚至謀連局牧中人屢自己激也不坑可能財(cái)事先日知道殘，而土純策徹略是孔在最監(jiān)后時(shí)伍刻借燒助隨辯機(jī)裝利置選農(nóng)擇出際來(lái)的狂。通嗽過(guò)借素助隨覺(jué)機(jī)裝閃置，付局中代人原斷來(lái)對(duì)燃純策堵略的交選擇泥變成隔為現(xiàn)俘在對(duì)爆各個(gè)烤純策住略的腥概率岔大小侄的選才擇。棋如果桂還嫌印借助始隨機(jī)拖裝置日給出潔的選皺擇各始個(gè)純刊策略疾的概途率大陸小具址有一窩定的倉(cāng)客觀柜性，孝怕被斥對(duì)方漿估計(jì)四出來(lái)渴，局款中人倍還可救進(jìn)一驢步采羞取主凍觀概潑率分努布，霸以使店對(duì)純侍策略穩(wěn)的選諷擇帶韻有真脈正的擦不確繪定性寫(xiě)(參算見(jiàn)第陰六章供關(guān)于棟主觀械概率烘的介哪紹)干。屈這種穴以某串種概浩率選腹擇的鉤策略門(mén)就是辱混合食策略私，更霞準(zhǔn)確統(tǒng)地說(shuō)講，選古擇混看合策扛略就朝是選愁擇一由個(gè)概渴率分寨布，槳然后饞按照峽這個(gè)脈分布誘給出捷的概交率來(lái)混選擇番各個(gè)菠純策觸略。斯假設(shè)住甲選村擇策次略賭的概炸率為槳落，雕，那么豐向量殲代表帝著甲腹選擇供各種珠純策通略的厭概率鵲分布刪，實(shí)挽際上珠就表勝示了石甲的漲一種燦混合文策略閉。這叛就是含說(shuō)，覆混合犧策略淘是用葡概率遣分布旗來(lái)表敢示的混，混臭合策雕略的火變化咸完全煩反映雨為概義率分宏布出的變濃化。菜今后石，我橫們把肌概率昆分布撈就稱(chēng)是為局插中人唯甲的叉混合衡策略喘。幣原來(lái)橫的純變策略器可看爺成是小這樣岸的一蛛種混廚合策蝴略：奪以概拼率1越選擇親策略望，以伶概率宗0選珠擇其塞他策此略悲。如霧此一勉來(lái)，濱甲的給策略荷集合輔由原旬來(lái)的卡純策渾略集口合其擴(kuò)張?zhí)澇蔀橛净旌狭⒉呗赃^(guò)集合撫。同售樣，豆局中搞人乙浸的選設(shè)擇集似合也竹由原責(zé)來(lái)的幫純策殿略集技合左擴(kuò)張仿成為勒混合堆策略情集合悼。當(dāng)梯甲采當(dāng)取混葉合策唉略梅，乙泄采取楚混合飛策略警時(shí)，醉就稱(chēng)召為博草弈鋸的弱混合毫局勢(shì)稍。勝在采樣取混泳合策夢(mèng)略的稍情況飲下，悼局中月人的訪目標(biāo)姨是要旁使預(yù)荷期收狐益最鞋大化阻。當(dāng)誼甲采橡取混餅合策券略識(shí)，乙瓶采取怖混合暗策略攔時(shí)，獅甲和源乙的四預(yù)期網(wǎng)收益預(yù)分別誕為滲和沙：程這里炒，翁和劫都寫(xiě)訪成行部向量歪形式絨，拾“誼〞儉為轉(zhuǎn)斗置運(yùn)疏算。盲甲的矩收益紐函數(shù)銜由原捏來(lái)的撓擴(kuò)充久成為慨，乙負(fù)的收伴益函躲數(shù)由炭原來(lái)飽的敘擴(kuò)充蠻成為綁。脆在策袋略集索合和鴿收益追函數(shù)井都得芽到擴(kuò)集充以閑后，叛原來(lái)那的純惕策略巖博弈蓄就擴(kuò)作充成體為混奸合策楚略博販弈露，而刊且榴可看墻成是離一般德的二路人博何弈，庸不過(guò)省這個(gè)懶博弈觀的收載益函孩數(shù)具欺有雙仆線(xiàn)性棒性，輕即對(duì)托于任數(shù)何臨，叨，及福任何沈?qū)崝?shù)蔑，都傲成立禾：佩的混喝合局性勢(shì)就產(chǎn)是親的局戒勢(shì)。蠟博弈止叫做頭純策嘆略博窩弈供的萬(wàn)混合壯擴(kuò)充圾。關(guān)瘦于混光合擴(kuò)解充謎，下壇述兩城個(gè)事騰實(shí)是山明顯調(diào)的：錄(1哄)覆博弈享是常泛和博論弈當(dāng)文且僅連當(dāng)混側(cè)合擴(kuò)辰充胞是常浩和博聾弈預(yù)。陣(2往)喂如果點(diǎn)是常榜和博邁弈，鏡那么混撇合擴(kuò)疫充飛保持拿了原姐來(lái)博第弈垂的收俊益和穗。雷混合剩擴(kuò)充壁的最鬧優(yōu)解胃(悄均衡踩)棚，叫劃做原割博弈顫的陷最優(yōu)掛混合福解拐(乖混合預(yù)均衡雁)乒。也易即各是鞠的最砌優(yōu)混先合解懸，是竭指乘且腦。當(dāng)令是擠的最兄優(yōu)混筑合解鞏時(shí)，辭和結(jié)分別辟叫做貪甲和閃乙的狡最優(yōu)綠混合獎(jiǎng)策略壽?？蓙y以證揮明：切(3肚)戴純策僅略博陵弈碎的最勤優(yōu)解汪必然父是混炮合擴(kuò)饞充晚的最新優(yōu)解添。陷(4納)忍當(dāng)曠是常焦和博革弈時(shí)掙，浴是校的最己優(yōu)混孟合解銜當(dāng)且錢(qián)僅當(dāng)伍。泡從福(4秤)盜可知?dú)ぃ瑫x是常像和博指弈訴的最址優(yōu)混聲合解糊當(dāng)切贈(zèng)僅當(dāng)謀是預(yù)鳳期收跌益函寄數(shù)霧的鞍攜點(diǎn)。橡應(yīng)用于第二捎節(jié)的乏鞍點(diǎn)日定理抵，我吊們得箭到常巷和博厘弈的組最優(yōu)臺(tái)混合浩解的傘又一阻判別查條件醋：賀(5型)昏設(shè)碑是二甚人常歇和博錢(qián)弈，眉那么萄是況的最頸優(yōu)混偉合解梅的充晌分必先要條茂件是鄙乖。觀二．抬混合常策略溪的意暗義斗有時(shí)流，給禍予混踏合策團(tuán)略一添個(gè)有油意義躁的解魔釋是膝困難揉的。書(shū)第一拌節(jié)例楊1所齊述的患便士塵匹配冠博弈爺，由廁于收筆益矩遲陣沒(méi)陜有鞍授點(diǎn)，砌因而臭沒(méi)有沿純策原略意柄義下成的最掏優(yōu)解淚。但劃由于字硬幣恨出現(xiàn)夫正面崇或反評(píng)面，謎總有僚一個(gè)貍概率蛇分布萬(wàn)情況煮，因沫此采得取混酬合策廈略來(lái)牌把便銅士匹耐配博機(jī)弈加寧以擴(kuò)尚充，往然后轎尋找桑混合輕策略吼意義濱下的誼最優(yōu)長(zhǎng)解，野這顯大然是竟我們交大家棉都能許夠感開(kāi)覺(jué)得壤到的隸應(yīng)該鉗采取陵的做飯法。救然而蹲對(duì)于意象雙汁頭壟剛斷這笨樣的養(yǎng)一些且其他狼經(jīng)濟(jì)華利益師博弈隸來(lái)說(shuō)根，采鍬取混金合策絡(luò)略似飛乎是而不現(xiàn)濱實(shí)的姓。關(guān)除了柿混合邪策略您在一留定范占圍內(nèi)榆缺乏妖現(xiàn)實(shí)裙意義士外，網(wǎng)還有壇一些彈邏輯溝上的瓜原因瞇導(dǎo)致態(tài)對(duì)混售合策體略難吳以解往釋。把我們禿用一招個(gè)例括子來(lái)救說(shuō)明扯這一守點(diǎn)。史例1攜．霉性別故博弈筋(B饑at眨tl過(guò)e降of噸t揪he膜S食ex昨es襪)證性別俱博弈火收益賠表勵(lì)卡夫堪茹達(dá)灣話(huà)劇離足球然話(huà)劇礎(chǔ)2，濾1件0，嘴0漂足球臣0，圓0臟1，騾2儀這里魯介紹景的博談弈背暗后隱始藏的粉故事才是一仗場(chǎng)必“漆性別定之戰(zhàn)燦〞謊。茹嗽達(dá)(過(guò)Rh怒on如da水，女額)和更卡夫籠(C雕al閃vi押n，個(gè)男)計(jì)本周規(guī)末一抗起歡砍度良紗宵，默但他遙們二累人的癢娛樂(lè)跪愛(ài)好血不同素。茹黎達(dá)喜笑歡看筍話(huà)劇氏，而芽卡夫止喜歡鏡看足堅(jiān)球比賣(mài)賽。射如果罰他們榆同時(shí)扁選擇譯看話(huà)蜻劇，馳那么茹鴉達(dá)可魯?shù)?輔個(gè)單箭位的兩效用渡，卡介夫可你得1勾個(gè)單表位的貞效用摔；如燙果同愛(ài)時(shí)選迫擇看油足球翻比賽主，那么順?biāo)麄兡玫綘?zhēng)的效雀用正舉好與捧此相末反；怒如果屢他們饑選擇恭不同刪的娛朝樂(lè)，帶那么得微不到誘任何松效用尼。右灶表給休出了被茹達(dá)柏和卡哲夫的悲收益慘情況越。我銀們來(lái)什看一喇看茹忙達(dá)和船卡夫未之間達(dá)這場(chǎng)攔“情性別稅之戰(zhàn)窯〞黑博弈旗的結(jié)霜局究扛竟如慎何。悅首先召，讓緩我們霸尋找守該博恥弈的方所有刊純策復(fù)略意橡義下忙的最窯優(yōu)解鈔。通冒過(guò)對(duì)扶各種付策略涂進(jìn)行貴逐一艦相互先比擬陳，不燭難看頁(yè)出拿“剝(話(huà)扮劇，側(cè)話(huà)劇好)手〞顯和弦“磨(足瞞球，中足球凡)續(xù)〞蓮都是料純策篩略最獨(dú)優(yōu)解斗，即盟茹達(dá)裳和卡直夫選蠶擇相兆同的競(jìng)娛樂(lè)申，才贏是最撐好的責(zé)做法蛋?？慈缓箸?，我板們來(lái)毀尋找溪混合載策略狂意義陰下的漏最優(yōu)修解。承茹達(dá)啦的收確益矩纏陣窗和卡莖夫的奶收益督矩陣綿為：，肅茹達(dá)衣的預(yù)稅期收劣益為狠，卡間夫的室預(yù)期燥收益王為葬。因懇此，歷最優(yōu)晶混合同策略蹄問(wèn)題雕可歸盼結(jié)為雅如下好的約說(shuō)束極洋值問(wèn)費(fèi)題：汽應(yīng)用皮Ku員hn版-T鵲uc赤ke肝r條魚(yú)件(援參見(jiàn)插第七對(duì)章第頭八節(jié)滾)，梢上述僑極值抱問(wèn)題雀的解馬為忙,玻，災(zāi),露。這拆就是違說(shuō)，碧茹達(dá)拾以概央率霜選擇顧看話(huà)婆劇，頁(yè)以概潔率綠選擇前看足搞球比雨賽；返卡夫擠以概鳳率在選擇賞看話(huà)窩劇、邪以概澤率傻選擇慮看足貿(mào)球比扎賽，乖是性惰別博亮弈的惑最優(yōu)柿混合已局勢(shì)篩。這尖個(gè)最枯優(yōu)解將有這街樣幾墻個(gè)特軟點(diǎn)：刊第一杜，茹摧達(dá)和闖卡夫大采取虛最優(yōu)憐混合偶策略淹的預(yù)華期收拋益都銷(xiāo)等于兼2/茫3；禮第二尖，如葡果茹悉達(dá)采猜取最果優(yōu)混駐合策勿略饞，那悔么不拔論卡洽夫采耍取什察么純換策略叨，卡始夫的袖預(yù)期勤收益落也都噸是2聰/3棄；第軍三，秧如果幸卡夫碰采取柏最優(yōu)衫混合朗策略壯，那頭么不蹲論茹罵達(dá)采謎取什悠么純突策略慧，她賤的預(yù)超期收權(quán)益也綱都是產(chǎn)2/設(shè)3。偵這樣值一來(lái)區(qū)，還棄有什慶么理華由要裝求茹廟達(dá)和墻卡夫站雙方瘦都采槐取最獻(xiàn)優(yōu)混拍合策談略呢走？看執(zhí)來(lái)，絞要想忠人們口采取攝混合菜策略網(wǎng)，必種須有志一些窯更加吵令人利興奮書(shū)的理超由。蓮本例煩說(shuō)明任，從汁邏輯垂上講磨，采涉用混豐合策翁略沒(méi)紀(jì)有多歪少道帖理。教盡管界如此撫，在步某些啞情況碗下這像種邏弄輯上丘的毛桌病不乞會(huì)帶予來(lái)嚴(yán)允重問(wèn)夸題。愁例如但，假籃定有挎一大斜群人烘在隨御機(jī)碰陷面并桂玩便漫士匹獲配游陽(yáng)戲，慨甲是懲其中巧一員園。設(shè)銜最初貴每個(gè)樓人都繡按概茫率分恩布(濟(jì)1/肯2,輸1/偶2)旬執(zhí)行墊唯一焦的最華優(yōu)混索合策斷略，尾到最壽后有跑些人袋便厭近倦于齒執(zhí)行排此混拌合策片略，死而決申定總液是玩夏正面奔游戲索或總勸是玩消反面障游戲嬸。如頓果斷喉定總呢出正棗面的推人數(shù)衡等于時(shí)決定悲總出泄反面嘴的人獻(xiàn)數(shù)，程那么朗各個(gè)教局中雜人的宮選擇降問(wèn)題鑼不會(huì)償有明剛顯變?cè)刍簠柮總€(gè)袍人仍長(zhǎng)然理最性地沃以為急他的烈對(duì)手賓以5場(chǎng)0％同的可勁能性胸出正饞面或狂反面摔。也裕就是留說(shuō)，堵雖然玻每個(gè)宜人都濕決定謊采取蹦純策甲略而豪總是物出正伸面或米反面小，但鏟當(dāng)甲進(jìn)隨機(jī)靠碰到洋一個(gè)校局中碗人時(shí)笛，該纖人是器出正凱面還學(xué)是反悅面，艙甲不傷得而顏知，譜只能淹作出互這樣縮的判昌斷：說(shuō)該人邪出正代面的繼可能據(jù)性為扔50慢％。爸這等縣同于揭該人澇采取魄混合崗策略沃。逮對(duì)混另合策傍略的撒另一役種解甚釋是孤：考店慮某廳人在怪一次確性博竊弈中持出正葉面還壺是反供面的勤選擇篩，這白個(gè)選紗擇被棋看作逆是依圈賴(lài)于倍一些壟為對(duì)賞手所啞不能球確定鳥(niǎo)的特頑殊因凍素。技比方必，該訊人心粱想害“退正面筑〞調(diào)時(shí)就房出正傾面，胃心想構(gòu)“全反面喬〞啞時(shí)就需出反懲面。徑這種廟“乏心想賞〞概因素追是很章難為悄對(duì)手漁所把牧握的隱，一竭個(gè)人碑可以爪自我睡覺(jué)察凱到自真己的騾心情女，但咐其他濫人(蹤對(duì)手超)群卻難鉗以覺(jué)踢察這稀個(gè)人庭的心江情。查因此辮，每穴個(gè)局脫中人臥都會(huì)盤(pán)認(rèn)為薯其他裹人對(duì)藍(lán)策略喬的選場(chǎng)擇是戰(zhàn)隨機(jī)帽的。值這樣抹，采悠取混系合策侄略就艱是一爆件有養(yǎng)意義艙的事早情。雪第五訴節(jié)雖矩陣獎(jiǎng)博弈浩的古享諾均愛(ài)衡傷前面泳介紹圣的博溪弈最列優(yōu)解大(均拘衡)粱概念企，假嗎定了典局中失人各約自獨(dú)閃立行恐動(dòng)，賀沒(méi)有舅合作店。這舉種非牛合作闊二人減博弈腳均衡鴨概念拍，最按早是原由古漏諾提涂出來(lái)克的，普稱(chēng)為踩古諾腐均衡下。無(wú)涼合作臂意味波著局圾中人臺(tái)之間盛存在赤著利鎮(zhèn)害沖針突，宗互相紙對(duì)抗廊，互跪?yàn)閷?duì)滅手。質(zhì)矩陣詞博弈封(聚即二舌人零援和博途弈喉)鬧是對(duì)前這種藝或?qū)ω?cái)抗?fàn)畋爲(wèi)B(tài)的覺(jué)簡(jiǎn)明禁刻畫(huà)居，本艷節(jié)就誼下面番就矩電陣博莊弈均暴衡的鼓存在拉性與納算法梢問(wèn)題毯及其南均衡洽的性芝質(zhì)進(jìn)亞行討歐論。央一．陽(yáng)均衡愧的存臭在性番收益腿矩陣吃的鞍炊點(diǎn)未黨必存鐮在，臘這使健得矩耀陣博伯弈的朗均衡宗未必謠存在早。但煮當(dāng)采烤用混樹(shù)合策兼略時(shí)陪，情欺況就俱不同軌了：境矩陣?yán)C博弈紛的最賣(mài)優(yōu)混奸合解壽總是捎存在規(guī)的。炭下面詢(xún)用v縱on速N笑eu慘ma允nn描(1黨93強(qiáng)7)跌的構(gòu)恰造性性方法擺來(lái)證醫(yī)明這停一事延實(shí)，交構(gòu)造再性方音法本基身蘊(yùn)嶄含著性古諾駕均衡哈的一掛種計(jì)旅算方戒法。嫁矩陣淹博弈巡均衡受的存蕉在性拐．扭任何逮矩陣新博弈淹都有削混合辨均衡怖?？咕唧w櫻來(lái)說(shuō)肌，設(shè)無(wú)磁為矩迎陣博蜜弈綁,泳,堡，辯為賺的混蕉合擴(kuò)供充，花那么必警存在式滿(mǎn)足新。石本定攪?yán)淼挠X(jué)證明三較長(zhǎng)烏，會(huì)才令讀辰者感塊到枯豈燥。齒但證截明過(guò)廊程給閉出了兼古諾艇均衡蛛的計(jì)虛算方假法，擔(dān)學(xué)習(xí)寧掌握上這一不計(jì)算自方法絮是重副要的失，讀詳者有描必要燙靜下鴿心來(lái)表琢磨王一下?tīng)€。駐首先捐注意膝，令議，量，那么欲是樂(lè)的均念衡當(dāng)桂且僅男當(dāng)黨。本福定理濤的證躲明將第基于忍這一厭事實(shí)笨。另在外，潔可以看看出購(gòu)和盡具有蝴下面弊三條尤性質(zhì)侵：忍對(duì)任救何見(jiàn)，都誠(chéng)有挺；廢對(duì)任卡何俊，都震有兔；矛對(duì)任蘋(píng)何貫，都食有綢。鞋進(jìn)一剝步，朽假定題收益虧矩陣震的各下行已灶經(jīng)過(guò)侵調(diào)整簽，使插得校。這裕個(gè)假領(lǐng)定并鏡不是士說(shuō)增輪加了慧額外株的條押件，搞而是外說(shuō)在劃安排弊策略擇集聯(lián)中諸通策略凝的編方號(hào)時(shí)因，可粗以讓灣編號(hào)食滿(mǎn)足哲這個(gè)膚要求綢。以模下的猴證明飛分三樂(lè)步走加。第分一步豪：定倦義基鐮和最稅優(yōu)基極；第惹二步籃：構(gòu)脅造最蝶優(yōu)基寄；第荒三步外：從根最優(yōu)枝基得紹出混反合擴(kuò)落充叉的均欠衡。嚷第一杯步鵝：丸定義值基和夏最優(yōu)丸基獄首先賞定義安收益渴矩陣嘩的增丙廣矩咬陣棟如下市：應(yīng)的首快行、矮首列扯叫做蝦第0魄行、赴第0扶列，叢即首誰(shuí)行行炕標(biāo)為戚0，閃首列肺列標(biāo)艦為0膨。用袖表示恰的第膏列顏，并象令謙。從吸增廣點(diǎn)矩陣敞的偵列中斯選出假列，贈(zèng)構(gòu)成堤一個(gè)拳階方攜陣未：弊。如湊果悅滿(mǎn)足廚下面蔽三個(gè)趴條件石：掩(b爬1)夫蠶是自的首乒列，險(xiǎn)即談；困(b熔2)畢扁是非未奇異歐的矩掠陣，么即行庫(kù)列式記；巴(b艷3)鵲校的逆耽矩陣糧中除隔首行冷外，替其余娛各行邀的第繭一個(gè)圖非零儲(chǔ)元素壟皆為日正數(shù)短。鐮那么稱(chēng)晨是一圍個(gè)踢基務(wù)(b憑as欺e)憐。競(jìng)?cè)绱搜愣x摸的基因必然絕存在敗。例協(xié)如，小矩陣棒就是蠻一個(gè)限基。盛事實(shí)扯上，滑符合鳥(niǎo)條件私(b騰1)江和懸(b江2)瑞是明腐顯的利。對(duì)滅于條熟件宣(b廈3)煎，注蟲(chóng)意梁的逆激矩陣狐如下誕：獨(dú)而積，故具符合隊(duì)條件受(b俱3)管。這顫就證以明了趣是基然。啊現(xiàn)在樸對(duì)于楚任何畫(huà)一個(gè)傲基疑來(lái)說(shuō)倉(cāng)，用逢表示磁的第乎行線(xiàn)。那么予從助(其耀中孟為蹈階單閉位陣畫(huà))知奪，這沈里當(dāng)量時(shí)依，而準(zhǔn)當(dāng)值時(shí)品。這稻說(shuō)明割，可樂(lè)見(jiàn)在芽個(gè)內(nèi)分積摟競(jìng)中，朱至少慢有側(cè)個(gè)為啟零。慎如果跑其余歲個(gè)內(nèi)聲積均模非正四，那墓么就期稱(chēng)籠是一癥個(gè)艘最優(yōu)許基羞(o步pt木im完al殃b護(hù)as集e)膨。換屆句話(huà)堪說(shuō)，邪基摩是最遷優(yōu)基德，是偶指葡，即霧的首曲行向爽量與進(jìn)的后興個(gè)列本向量芹的內(nèi)麥積全腦非正哭。些第二退步門(mén)：膨用迭亮代法脾構(gòu)造甘最優(yōu)跟基誕任意瑞指定惰一個(gè)敵基贊(比產(chǎn)如上劫面的伸基趣)，船從小出發(fā)遍來(lái)構(gòu)詳造最臥優(yōu)基珍。用題表示范的第塞行，殲表示羞的第跨列，醒并檢紅查禽是否紡為最拋優(yōu)基歌，即援檢查膽不等禍?zhǔn)竭~是否當(dāng)對(duì)一靜切公都成顧立。亞如果理是最擾優(yōu)基仔，那么梯目的質(zhì)已達(dá)零到。榴如果債不是鵝最優(yōu)禾基，愛(ài)那么牢，此哈時(shí)需邪做下外面的乒工作大：針(1萌)鴿找出罪一個(gè)忙使查。毫假設(shè)鐮的諸翠列中治符合蹈這個(gè)聯(lián)條件油的列偵不止崖一個(gè)貍，那礦么就也取列蓬標(biāo)最擋小者泉。抵(2糟)鼠從方往程羽解出側(cè)列向姥量腎。擦這樣盛得到助的列商向量祖必然困滿(mǎn)足短且宜中必死有正撲數(shù)爹。之事實(shí)文上，糕。假鏈如它中沒(méi)絲有正于數(shù)，秘那么沃給出艘，從券而增遙廣矩遲陣歸的首潔列倒是脅的辦個(gè)列工的正東線(xiàn)性血組合準(zhǔn)；然血而根乳據(jù)活的定鴨義，銜不能貨表示盟成似的件個(gè)列加的正湊線(xiàn)性確組合盤(pán)，出種現(xiàn)矛余盾。才矛盾縱的結(jié)叉論說(shuō)巧明廣中必摩有正彩數(shù)。毅(3季)代找出直符合許條件攜的列主，凡這里塔的蹤是指炊在向歪量之貫間的之字典隸序下瞇求最幼小元于，字碎典序臣是從禮向量患的第臭一個(gè)遼分量單開(kāi)始象比擬重的啊。僑如此伸找到蛾的列導(dǎo)必然崇是唯窗一的鐘，即畜滿(mǎn)足箭該條烘件的稱(chēng)是唯嗚一的也?？返奈ㄉ┮恍匀”ＷC給了只漏要藥且汽，那浸么然的第俘一個(gè)肥非零諷分量睛必為潛正數(shù)胡。添事實(shí)別上，夫假設(shè)世符合洲條件疲的追不唯敗一，種比方弊說(shuō)紫和聽(tīng)都滿(mǎn)沾足該哄條件坊且兵，那爛么根秧?yè)?jù)字乳典序舅的定鍵義可成知必距有甚，從濃而脖的行紫向量勾組巷線(xiàn)性步相關(guān)狹，這嚼是不件可能芒的。撇(4您)秋用吸替換港的第幅列恥，并削保持址的其朽他列翁不變聽(tīng)，得瞞到一鍬個(gè)距階方護(hù)陣和。釘這個(gè)跟矩陣矩必然雹也是慰基辯。嗚我們魂來(lái)證寸明涉是基老，即蝕證明榜滿(mǎn)足濱基的店三個(gè)藥條件妹(b皆1)安、網(wǎng)(b退2)另和深(b栗3)約。前首先棟，根亮據(jù)古的定循義，合。這再說(shuō)明滾的首諸列未隊(duì)被替作換，串即汁和字具有余相同蝴的首合列沈。所麗以，賴(lài)滿(mǎn)足懇條件惰(b垃1)爽。醫(yī)其次媽?zhuān)榷湃焕U且作，從緩行列錘式的歌性質(zhì)知便可校知王。所助以，訴也滿(mǎn)闊足條回件標(biāo)(b踏2)詞，即卻是可極逆矩晴陣。詞最后顯檢查殲條件上(b鋤3)詠，即對(duì)檢查追的逆技矩陣翼各行凡(貍首行跪除外縱)碌的第充一個(gè)決非零巨元素灣是否帝為正抗數(shù)。緩為此蒜，令站，其曲中些。數(shù)首先甩來(lái)驗(yàn)豎證獎(jiǎng)，這條里醫(yī)為孩階單乳位矩單陣。畢注意扁，跳告訴叼我們猜，裁對(duì)一鄰切愧成立吹。下仆面的戶(hù)驗(yàn)證敏過(guò)程割中，雙這一役事實(shí)翻將被翁屢次求應(yīng)用禮。再垮注意株，四和趙僅僅憂(yōu)在第亂列上弟有區(qū)另別：驕；而擔(dān)當(dāng)吵時(shí)，繳。頭考察陡的第限行、冠第紹列的王元素租：垂當(dāng)鋼時(shí)，谷；刻當(dāng)?shù)蕰r(shí)，覺(jué)；嫩當(dāng)旱時(shí)，逮；宋當(dāng)品時(shí)，嚷；怕當(dāng)傘時(shí)，賀紐。錢(qián)總之貝，當(dāng)寧時(shí)，熊；當(dāng)顏時(shí)，量。這貴就證具明了嚷，即嬌是戶(hù)的逆充矩陣撐：慈。紫現(xiàn)在樸來(lái)從甚的第為1行盞到第陳行撲，考扒察各隔行第旅一個(gè)輛非零零元素呆是否列為正圓數(shù)。毅首先避看囑的第寧行贊：由神于拋,何且倚的第砍一個(gè)安非零動(dòng)元素護(hù)為正行數(shù)，必因此節(jié)的第姐一個(gè)宰非零恩元素米也為債正數(shù)撓。再且看第常行園:姐。當(dāng)劉時(shí)懼,解的第群一個(gè)捆非零甩元素閱確實(shí)捐為正去數(shù)；牢當(dāng)柜時(shí)，馳(3浙)柄已經(jīng)籃說(shuō)明混了腰的第有一個(gè)肚非零墾元素復(fù)為正圍數(shù)。慮總之渾，除鉗了趙的首或行外棋，其齊余各內(nèi)行的飲第一啟個(gè)非縱零元頌素都才為正孫數(shù)。大到此胞，條桌件咸(b誰(shuí)3)做得到潑驗(yàn)證野。科(5漸)幼如果贈(zèng)不是囑最優(yōu)釋基，自那么筆對(duì)貫進(jìn)行表類(lèi)似勺的修憐正，嬸即對(duì)或重復(fù)秤以上告步驟未(1蛛)菊至坡(4繁)菠，得姑到一臣個(gè)基兆；如泳果躬還不箏是最遷優(yōu)基鳥(niǎo)，就伶對(duì)陜重復(fù)腳以上掌步驟典，得公到又凡一個(gè)啞基甩；這漸樣不劃斷做繭下去狼，必潔然到戀某一泛步，訊比方謹(jǐn)?shù)诮綍r(shí)肯，得濱到的羊基役就是葬最優(yōu)繁基填。星為什紗么不岸斷重素復(fù)修請(qǐng)正下揪去就虜能得網(wǎng)到最倆優(yōu)基找呢？劍為了初說(shuō)明以這個(gè)引問(wèn)題粱，我孔們來(lái)低看一遣下從填基言到基晴有什奸么改堆進(jìn)。么注意訪，被草吸收蛛進(jìn)來(lái)浙的列舉滿(mǎn)足朗條件慧：定且紡。被日排除習(xí)出去奏的列敢滿(mǎn)足泡條件補(bǔ)：鳳且稅。厘是因漫為半是矩盾陣式的第爽0行棄、第累列導(dǎo)的元帽素；嗽是因割為勻那。謙如果炕不是老最優(yōu)濫基，駕那么津?qū)龠M(jìn)行斜類(lèi)似偵于濤那樣爹的修廈正，友得到靈另一股個(gè)基會(huì)。館被璃排除衛(wèi)出去餐，稿就不洞會(huì)把桶它重吊新吸房收進(jìn)防來(lái)，濟(jì)因?yàn)樵┍恢挛?xún)收進(jìn)怎來(lái)的舞列困滿(mǎn)足罵，而丑不滿(mǎn)流足這邪個(gè)條邀件，刷事實(shí)望上件。木如果過(guò)還不失是最正確優(yōu)基變，那豬么再喉次重儲(chǔ)復(fù)以挪上過(guò)剪程，梁得到多又一左個(gè)基虎?？蓲咭宰C叼明，奪不會(huì)豈把以浴前從蔑基中傲排除按出去運(yùn)的列監(jiān)重新霞吸收戒進(jìn)來(lái)宣。這查樣不咱斷進(jìn)塞行下泳去，漂各次韻得到料的基傷是互念不相掘同的災(zāi)，而扎且每亭次更揭換基嚷中的岡某列弓時(shí)，從都不寒會(huì)把譯以前要各次茶中被婚排除坐出基薪的列呀重新急吸收假進(jìn)來(lái)污，可蝕見(jiàn)迭聯(lián)代至諸多進(jìn)視行噸次。捏最后牌一次咬構(gòu)造彈出來(lái)賞的基弓必然季是最筐優(yōu)基熱。按第三塌步付：酸從最攀優(yōu)基狀得出幟混合給擴(kuò)充雞的均倒衡軋。拖設(shè)壁為一織最優(yōu)再基，鋒不妨援假定配。用妻表示診的首粒行，錄表示葉的首狹列。透令筒稀，并潤(rùn)定義宰如下標(biāo)：對(duì)誰(shuí)任何安，當(dāng)偷時(shí)，都；而智當(dāng)伸時(shí)，哭。我乓們斷暖定：楚是混塌合擴(kuò)妄充哥的均鏈衡。悲其實(shí)尋這一概斷言梳基于蘆這樣凈兩個(gè)連事實(shí)馳：扶(I藝)鄭且啟；縮(I晚I)五且轎。實(shí)館際上腰，放和礎(chǔ)都是依的首機(jī)行、最首列貧元素判，因?qū)⒍R。這撓樣，似事實(shí)悉(I漆)殲和迎(I訓(xùn)I)述就說(shuō)稱(chēng)明了疊是解的均糾衡。滿(mǎn)可見(jiàn)信，我攻們只雹需證峽明事扯實(shí)疤(I碎)增和事脊實(shí)蒙(I歉I)尿。梅事實(shí)壇(I巖)電的證躍明垃：貍從逗可知紐。價(jià)是最花優(yōu)基侮又說(shuō)碧明寒，尤粒其是黃對(duì)于善，有豆。這齒就證狗明了孫。疤說(shuō)明哥不會(huì)汽全為休零。她結(jié)合靠，我餅們便誓知惰不會(huì)糖全為仿零。付當(dāng)純時(shí)，烘。這未說(shuō)明李。再瓣注意庸，梳中至薦少有縣個(gè)為臉零，份但現(xiàn)件在已圓知后眉面洽個(gè)不工會(huì)全漠為零假設(shè)，因購(gòu)而前臨面林個(gè)中捏至少丑有一逐個(gè)為青零，羨即必源有某疤個(gè)逆滿(mǎn)足攏：鋸且烏。所槍以，晃。資事實(shí)戚(I妄I)支的證雁明炊：瀉首先總，申是渴的第偽行的腔首元帥素，布而第喬0行愈才是冰的首瓣行。潮根據(jù)文基的判性質(zhì)體(b督3)顧可知父，壺對(duì)一役切蜻成立載，這規(guī)就保隱證了性。俯再注訓(xùn)意，輸說(shuō)明源了芽的首叢行向或量與頓的首朝列向器量掃的內(nèi)此積為濤1,睡而衡根據(jù)鑄增廣破矩陣謝首行疏的特成點(diǎn)，廉這個(gè)陸內(nèi)積敏等于陳。因熱此巧，從曠而伴。室的第素行也與凝的第英0土列貿(mào)的內(nèi)化積為束零，鍬這個(gè)員內(nèi)積傅等于伍因此糖?；蛟僮⑦~意，決不會(huì)且全是票增廣良矩陣權(quán)的后抄個(gè)列芽向量旁(因怪為假丸如這瘡樣的暈話(huà)，解就不撕可逆胖了)玻。這蛙說(shuō)明駝的后壘列中圾必有展一列恨不在贈(zèng)中出究現(xiàn)，晝比方鐵說(shuō)嗽不在像中出業(yè)現(xiàn)，掉即缺且紹。現(xiàn)絹在考割慮剛的第蠅行與篩的內(nèi)梁積，它這個(gè)唱內(nèi)積無(wú)當(dāng)然旨要等巡于零樂(lè)，同肯時(shí)按詞照定茄義又吸要等尊于：欲因而芽。結(jié)譜合申，我譯們得敲到厭。迫到此撤，矩屑陣博豈弈古漠諾均鬼衡的袍存在吉性得巴到證婆明。腹矩樹(shù)陣博塌弈均會(huì)衡的悠簡(jiǎn)化蠶．國(guó)設(shè)鬼為矩泉陣博陜弈棵,洪,典，數(shù)為殊的混私合擴(kuò)蝦充，晚，窄為一紹實(shí)數(shù)妥。桌那么下慕面兩卡個(gè)條趟件等巡價(jià)憐：奮(1相)示是坡的均此衡且梁；林(2抓)伴對(duì)一設(shè)切器和讀成立拍。胡證明抖：(敬1)鐘(2隙)是王顯然擠的。傘下面悉來(lái)證孕明(劈2)雞(1把)。耐為此矩，假足定疫(2冷)料成立友。枕注意壞，創(chuàng)且挎。因袍此對(duì)瓣任何幟及需，都防有汽，唱。對(duì)盼和舟也不戒例外疤：杰，從乳而桿。這猶說(shuō)明截是井的均部衡。林(1窮)疤得證野。堡二．尾最優(yōu)滿(mǎn)解的汽性質(zhì)闖矩陣嬌博弈防混合禿均衡贏的存鍬在性閑，保釋證了借等式恒成立獎(jiǎng)。今陵后，幅我們棉把數(shù)梢值頂叫做事矩陣?yán)ゲ┺慕┑暮悴┺膲|值蝦(v鍬al數(shù)ue怕o薄f亡th康e阿ga執(zhí)me托)葉，簡(jiǎn)長(zhǎng)稱(chēng)柱的鵲值藍(lán)。顯沈然，繪矩陣紛博弈嘴的值下是局獎(jiǎng)中人較甲在逢博弈賺到達(dá)警均衡農(nóng)時(shí)的