遼寧省沈陽(yáng)市第三十二高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

遼寧省沈陽(yáng)市第三十二高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了個(gè)同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在（單位：元），其中支出在（單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如右圖所示，則的值為…………（）A．100 B．120C．130 D．390參考答案：A略2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若z=cosθ+isinθ且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限，則θ位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】通過(guò)點(diǎn)（cosθ，sinθ）位于復(fù)平面的第二象限，即得結(jié)論．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），且點(diǎn)（cosθ，sinθ）位于復(fù)平面的第二象限，∴，∴θ為第二象限角，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查三角函數(shù)值的符號(hào)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．3.已知集合A={x|﹣1≤x≤1），集合B={x|x2﹣2x≤0），則集合A∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．（一∞，1]∪[2，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中不等式變形得：x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，∵A=[﹣1，1]，∴A∩B=[0，1]，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．4.已知=

A．

B．

C．

D．參考答案：D由得，所以所以，選D.5.某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】方法一：由題意，“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的出場(chǎng)順序?yàn)椋悍譃閮深?，求取種數(shù)，再滿足其前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)順序也為兩類，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可，方法二：直接根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：方法一：“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的出場(chǎng)順序?yàn)椋悍譃閮深悾谝活悾篈最后一個(gè)出場(chǎng)，從除了B之外的3人選1人安排第一個(gè)，其它的任意排，故有A31A33=18種，第二類：A不是最后一個(gè)出場(chǎng)，從除了A，B之外的3人選2人安排在，第一個(gè)或最后一個(gè)，其余3人任意排，故有A32A33=36種，故學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)的種數(shù)18+36=54種，“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的”的出場(chǎng)順序?yàn)椋悍譃閮深惖谝活悾簩W(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)，A最后一個(gè)出場(chǎng)，故有A33=6種，第二類：學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)，A不是最后一個(gè)出場(chǎng)，從除了A，B之外的2人選1人安排在最后一個(gè)，其余3人任意排，故有A21A33=12種，故在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的種數(shù)6+12=18種，故學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為=，方法二：先排B，有A31（非第一與最后），再排A有A31（非第一）種方法，其余三個(gè)自由排，共有A31A31A33=54這是總結(jié)果；學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)，先排B，有A31（非第一與最后），再排A有A31，C第一個(gè)出場(chǎng)，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18種，故學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理和古典概率的問(wèn)題，關(guān)鍵是分類求出相應(yīng)條件的順序，屬于中檔題．6.已知雙曲線右焦點(diǎn)為為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知函數(shù)，且，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知命題，命題，則()A.命題是假命題

B.命題是真命題C.命題是真命題

D.命題是假命題參考答案：C9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B畫(huà)出滿足條件的四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)B，高為4，根據(jù)垂直關(guān)系可得，，為直角三角形和和的公共斜邊，所以取中點(diǎn)，為四棱錐外接圓的圓心，，，那么四棱錐外接球的表面積為，故選B.10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且對(duì)一切，均有．其中是“倍約束函數(shù)”的有（

）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{xn}滿足，且x1+x2+x3+…+x100=1，則lg（x101+x102+…+x200）=． 參考答案：100【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 【分析】法一：由已知得，，從而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）． 法二：由已知得，從而利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）． 【解答】解法一：∵數(shù)列{xn}滿足=lg（10xn）， ∴， ∵x1+x2+x3+…+x100=1， ∴=1，∴， ， ∴x101+x102+…+x200==10100， 則lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100． 故答案為：100． 解法二：∵數(shù)列{xn}滿足=lg（10xn）， ∴， ∵x1+x2+x3+…+x100=1， ∴等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100， ∴l(xiāng)g（x101+x102+…+x200）=lg10100=100． 故答案為：100． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 12.已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b與a垂直，則m=______________.參考答案：7由題得因?yàn)樗越獾?3.定義在(0,+∞)上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍是

參考答案：

14.已知i為虛數(shù)單位，則=．參考答案：﹣1+2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：∵===﹣1+2i，故答案為﹣1+2i．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.已知?jiǎng)t的值為

參考答案：－216.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以統(tǒng)計(jì),得到如右圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名,據(jù)此估計(jì),該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為

. 參考答案：17.爸爸去哪兒節(jié)目組安排星娃露營(yíng)，村長(zhǎng)要求、楊陽(yáng)洋、貝兒依次在三處扎篷，米，米，米，現(xiàn)村長(zhǎng)給多多一個(gè)難題，要求她安扎在兩點(diǎn)連線上的處，，如圖所示，問(wèn)多多與相距

米？參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（滿分10分）《選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線的方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)曲線C和曲線的交點(diǎn)為、，求．參考答案：解：（Ⅰ）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．……5分

（Ⅱ）曲線可化為，表示圓心在，半徑的圓，

則圓心到直線的距離為，所以．……10分19.已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax3，g（x）=mex﹣x﹣1，曲線y=g（x）在x=0處取得極值．（1）求m的值；（2）若a≤0，試討論y=f（x）的單調(diào)性；（3）當(dāng)a=，x＞0時(shí)，求證：g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計(jì)算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）由題意求導(dǎo)g′（x）=mex﹣1，從而得到g′（0）=me0﹣1=0，從而解得．（2）先求函數(shù)f（x）=x2﹣ax3的定義域，求導(dǎo)f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=ex﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；從而求導(dǎo)證明．解答： 解：（1）∵g（x）=mex﹣x﹣1，∴g′（x）=mex﹣1，又∵曲線y=g（x）在x=0處取得極值，∴g′（0）=me0﹣1=0，解得，m=1；（2）函數(shù)f（x）=x2﹣ax3的定義域?yàn)镽，f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，故y=f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，0）；當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞0或x＜，由f′（x）＜0得＜x＜0；故y=f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，），（0，+∞），減區(qū)間為（，0）；（3）證明：當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=ex﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；h′（x）=ex﹣x﹣1，＞0，易知h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，h（x）＞h（0）=0，即g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間（Ⅱ）a＞0時(shí)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性確定出最小值，借助（Ⅰ）的結(jié)論，由于參數(shù)的范圍對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有影響，故對(duì)其分類討論，【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞）∵f（x）=lnx﹣ax∴f′（x）=﹣a當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)為0解得x=，當(dāng)x＞時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)在（，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)x＜時(shí)，導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)在（0，）上是增函數(shù)（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論知當(dāng)[1，2]?[，+∞）時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，故最小值為f（2）=ln2﹣2a當(dāng)[1，2]?（0，]時(shí)，即0＜a＜時(shí)，函數(shù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，故最小值為f（1）=﹣a當(dāng)∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，]上是增函數(shù)，在[，2]上是減函數(shù)，故最小值為min{f（1），f（2）}【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第一種類型．本題的第二小問(wèn)是根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不定，故需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，以確定函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最值．21.設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；（Ⅲ）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）由題知，，，令得，當(dāng)時(shí)，，故（0,1）是的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，故是的單調(diào)增區(qū)間，因此，是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為．（Ⅱ），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即．（Ⅲ）滿足條件的不存在．證明如下：證法一

假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，即對(duì)任意，有（*）

但對(duì)上述，取時(shí)，有

，這與（*）左邊不等式矛盾，因此，不存在，使對(duì)任意成立。證法二

假設(shè)存在，使對(duì)任意的成立。由（Ⅰ）知，的最小值為。又，而時(shí)，的值域?yàn)?，?/p>

時(shí)，的值域?yàn)?，從而可取一個(gè)，使，即，故，與假設(shè)矛盾。∴不存在，使對(duì)任意成立。22.（本小題滿分14分）

如圖，已知在