一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法

【課標要求】1．了解一元二次不等式的概念．2．理解一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．3．對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖．【核心掃描】1．一元二次不等式的解法和三個“二次”關(guān)系的理解．(重點)2．含參數(shù)的一元二次不等式的解法．(難點)3．體會數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想在不等式中的應(yīng)用．第1課時

一元二次不等式的解法3.2

一元二次不等式及其解法一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__的不等式，稱為一元二次不等式．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系自學(xué)導(dǎo)引1．2．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象2沒有實數(shù)根{x|x<x1或?x>x2}：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具備哪些條件時，解集為R或?？提示：當a>0，Δ<0時，解集為R.當a<0，Δ≤0時，解集為?.解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當m<n時，若(x－m)(x－n)>0，則可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，則可得m<x<n.有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．名師點睛1．含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮：(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a>0，a<0，a＝0.(2)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．

題型一一元二次不等式的解法求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.[思路探索]先將二次項系數(shù)化為正，再求對應(yīng)方程的根．并根據(jù)情況結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出解集．解

(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的兩根是x＝－1或6.∴原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的兩個根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集為{x|1<x<6}．當所給不等式是非一般形式的不等式時，應(yīng)先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖象．解下列不等式(1)2x2－x＋6>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解

(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點．∴原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集為?.(3)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．【變式1】解關(guān)于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋2>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路探索](1)對相應(yīng)方程的判別式進行討論，按照一元二次不等式的解法求解；(2)先對不等式中二次項的參數(shù)討論，再按照不等式的求法求解．解

(1)Δ＝a2－16，下面分情況討論：①當Δ<0，即－4<a<4時，方程2x2＋ax＋2＝0無實根，所以原不等式的解集為R.②當Δ≥0，即a≥4或a≤－4時，方程2x2＋ax＋2＝0的兩個根為

題型二

解含參數(shù)的一元二次不等式【例2】含參數(shù)不等式的解題步驟為：(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)判斷相應(yīng)的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集．(若方程有兩個相異實根，為了寫出解集還要比較兩個根的大小)．另外，當二次項含有參數(shù)時，應(yīng)先討論二次項系數(shù)是否為0，這決定不等式是否為二次不等式．解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解

(i)當a＝0時，原不等式可化為－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集為{x|x<2}．【變式2】已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為(1,2)，試求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．審題指導(dǎo)

可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，故由根與系數(shù)的關(guān)系可求出a，b的值，從而得解．

題型三

三個“二次”間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用【例3】【題后反思】求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，可由二次函數(shù)的零點與相應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置確定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的區(qū)間端點，就是其對應(yīng)的函數(shù)的零點，也就是其對應(yīng)的方程的根．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1<x<2}，求a，b的值．解法一由題設(shè)條件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的兩實根．【變式3】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．誤區(qū)警示

忽略二次項系數(shù)為零而出錯【示例】當a－2＝0時，原不等式不是一元二次不等式，不能應(yīng)用根的判別式，應(yīng)當單獨檢驗不等式是否成立．[正解]當a－2＝0，即a＝