受迫振動與共振

關(guān)于受迫振動與共振第1頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三11.3.1受迫振動的動力學(xué)方程現(xiàn)象：受迫振動是外力使振動系統(tǒng)保持持續(xù)振動的一類振動。原因：振動過程中始終有外力作用并對系統(tǒng)做功，是外界與系統(tǒng)有能量交換動力學(xué)分析：第2頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三上式是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程,由微分方程理論：通解=齊次方程的解+非齊次的一個特解強迫力：阻尼力：受迫振動的運動學(xué)規(guī)律第3頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三其解為：經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：該等幅振動的頻率就是強迫力的頻率穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強迫力的相位差分別為：第4頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三較小若很小，很大討論1穩(wěn)定后受迫振動為等幅振動，其頻率與強迫力的頻率相同。2

受迫振動的振幅與初始條件無關(guān)，只與有關(guān)，可以通過調(diào)整驅(qū)動力的頻率來控制振子的振幅。第5頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三求振幅對頻率的極值共振的角頻率11.3.2共振得出振幅有極大值：可見，系統(tǒng)的共振角頻率既與系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，也與阻尼常量有關(guān)。

當驅(qū)動力的角頻率接近系統(tǒng)的固有角頻率時，受迫振動振幅急劇增大的現(xiàn)象，稱為共振。振幅達到最大值時的角頻率稱為共振角頻率。第6頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三得共振時的初相位當時，在弱阻尼情況下，共振發(fā)生在固有頻率處，稱為尖銳共振。共振的振幅將

代入得共振振幅峰值為將代入第7頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三受迫振動相位落后于強迫力相位，即振動速度與強迫力同相位，即外力始終對系統(tǒng)作正功，對速度的增大有最大的效率是振動振幅急劇增大的原因。隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷增大，最后與強迫力的功率相抵，從而使振幅保持恒定。從能量觀點看在共振時，能量轉(zhuǎn)變?yōu)楣舱褓|(zhì)點的能量，也叫共振吸收。1振動振幅急劇增大的原因討論第8頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三共振頻率大阻尼小阻尼阻尼共振頻率2

共振現(xiàn)象第9頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎第10頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三Tacoma大橋中文名叫塔科馬大橋，位于美國華盛頓州。通過兩年時間的施工，于1940年7月1日建成通車。該橋主跨長853.4m，全長1810.56m，橋?qū)?1.9m，而梁高僅1.3m。位居世界第三。1940年11月7日，因風(fēng)振致毀。第11頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三中文名：塔科馬海峽大橋英文名：TacomaNarrowsBridge塔科馬海峽大橋位于美國華盛頓州的塔科馬海峽。第一座塔科馬海峽大橋，綽號舞動的格蒂，于1940年7月1日通車，四個月后戲劇性地被微風(fēng)摧毀，這一幕正好被一支攝影隊拍攝了下來，該橋因此聲名大噪。

1950年利用舊橋墩改建新橋，主跨不變,鋼塔架高140.82米，橋面寬增至18米，加勁桁梁高增至10米。重建的大橋于1950年通車，被稱為：強壯的格蒂；

2007年，新的平行橋通車。第12頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三曾經(jīng)的塔科馬海峽大橋昵稱：舞動的格蒂（GallopingGertie）橋梁形式：懸索橋主跨：2800英尺（853米）全長：5000英尺（1524米）通航凈空：195英尺（59.4米）通車日期：1940年7月1日坍塌日期：1940年11月7日只通車4個多月就沒了......第13頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三修建人們希望在這里建橋的愿望可以追溯到1889年為北太平洋鐵路建造棧橋的提議，但20世紀20年代人們才達成一致意見。1923年，塔科馬商業(yè)總會開始競選活動并發(fā)行債券。一些著名橋梁的工程師，包括金門大橋的總工程師約瑟夫·斯特勞斯（JosephStrauss）和麥金納大橋的建造者大衛(wèi)·斯坦曼（DavidSteinman）被召集商量橋梁的建造方案。斯坦曼提出的幾項商會基金方案1929年得到通過，但在1931年議會決定取消協(xié)議，理由是斯坦曼在籌集資金方面“不夠積極”。此外還有一個問題是籌集的資金還要用來買斷一家私營渡輪公司在塔科馬海峽的渡河業(yè)務(wù)獨家經(jīng)營權(quán)。第14頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三塔科馬海峽大橋的建造計劃最終還是在1937年得以繼續(xù)，華盛頓州立法機關(guān)制定了華盛頓州的橋梁稅并撥款5000美元研究塔科馬市和皮爾斯縣對塔科馬海峽建橋的需求。從一開始，資金問題就是最大的問題，撥款并不足以支付建橋成本。但是大橋的建設(shè)卻得到了美國軍方的大力支持，大橋的建成將大大方便海軍在布雷默頓的造船廠和陸軍在塔科馬的軍事基地的交通。華盛頓州的工程師克拉克·艾爾德里奇（ClarkEldridge）提出一個初步計劃，橋梁必須通過嚴格的實驗并使用常規(guī)設(shè)計，資金則由聯(lián)邦政府公共工程管理處（PWA）撥款一千一百萬美元。但是來自紐約的工程師萊昂·莫伊塞夫（LeonMoisseiff）上書聯(lián)邦政府公共工程管理處，認為他可以花更少的錢建橋。第15頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三原先的建設(shè)規(guī)劃要求將25英尺深（7.6米）的鋼梁打入下方的路面使之硬化。莫伊塞夫——著名的金門大橋的受尊敬的設(shè)計師和顧問工程師，建議采用8英尺（2.4米）深的淺支持梁。他的方案使鋼梁變窄，并且使大橋更優(yōu)雅，更具觀賞性，同時也降低到建造成本。最終莫伊塞夫的設(shè)計方案勝出。1938年6月23日，聯(lián)邦政府公共工程管理處批準了600多萬美元的撥款用來建造塔科馬海峽大橋。另外160萬美元將通過收稅籌集，最終的建造成本為800萬美元。使用淺支撐梁的決定最終在不久的將來被證明是造成橋梁坍塌的重要原因。8英尺（2.42米）的支撐梁并不足以使路基擁有足夠的剛度，從而使大橋經(jīng)不住風(fēng)的侵襲。從一開始，大橋的振動就使之聲名狼藉。輕度至中度的風(fēng)就可以導(dǎo)致大橋來回搖擺，中心的擺動可達每4到5秒幾英尺。因此大橋被當?shù)鼐用衿鹁b號叫“舞動的格蒂”。司機在橋上行駛可以明顯感覺到橋的擺動。第16頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三坍塌大橋被風(fēng)吹垮發(fā)生于美國太平洋時間1940年11月7日上午11時，原因是機械共振。里奧納德·科茨沃斯（LeonardCoatsworth）在橋梁坍塌事故發(fā)生時成功地逃離，以下是他的報告：“當我剛駕車駛過塔橋時，大橋開始來回劇烈晃動。當我意識到時，大橋已經(jīng)嚴重傾斜，我失去了對車的控制。此時我馬上剎車并棄車逃離。我耳邊充斥著混凝土撕裂的聲音。而汽車在路面上來回滑動。大部分的時候我靠手和膝蓋爬行，我爬到500碼（450米）外的大橋塔樓我呼吸急促，膝蓋都磨破流血了，雙手上滿是瘀傷。最后我使出最后的力氣跳到了安全地帶，在收費口回頭望去，我看到大橋徹底被摧毀的一幕，我的車也隨著大橋一起墜入了海峽?！毙疫\的是在大橋坍塌事故中沒有人失去生命。世界著名空氣動力學(xué)家，古根海姆航空實驗室主任西奧多·馮·卡曼（TheodorevonKármán）是事故調(diào)查組成員，他在報告中指出：華盛頓州沒有為大橋籌集到足夠的錢，因為代理商以欺詐手段貪污了部分款項。代理商哈雷特·法蘭奇（HallettFrench）以盜竊罪被指控。

1940年11月28日，美國海軍水文辦公室報告說，大橋殘骸位于北緯47°16'，西經(jīng)122°33'，水深180英尺（55米）處。第17頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三視頻大橋最終被摧毀的畫面被當?shù)卣障囵^的老板巴尼·埃利奧特（BarneyElliott）拍攝了下來。1998年，塔科馬海峽大橋的坍塌視頻被美國國會圖書館選定保存在美國國家電影登記處，這段震撼人心的視頻被譽為“在文化、歷史和審美學(xué)方面有著重要意義”。這段珍貴的電影膠片目前仍然對學(xué)習(xí)工程學(xué)、建筑學(xué)和物理學(xué)的學(xué)生起著警示的作用。第18頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三坍塌原因大橋由堅硬的碳鋼和混凝土建成的。原先的設(shè)計是在路基下使用格狀桁架梁。這將是第一座以板狀鋼梁作為支撐的大橋。按照原先的設(shè)計，風(fēng)只會直接通過桁架，但新的設(shè)計將風(fēng)轉(zhuǎn)移到了橋面上下兩端。大橋在1940年6月底建成后不久（通車于1940年7月1日），人們就發(fā)現(xiàn)大橋在微風(fēng)的吹拂下會出現(xiàn)晃動甚至扭曲變形的情況。這種共振是橫向的，沿著橋面的扭曲，橋面的一端上升，另一端下降。司機在橋上駕車時可以見到另一端的汽車隨著橋面的扭動一會兒消失一會兒又出現(xiàn)的奇觀。因為這種現(xiàn)象的存在，當?shù)厝擞哪貙⒋髽蚍Q為“舞動的格蒂”。然而，人們?nèi)匀徽J為橋梁的結(jié)構(gòu)強度足以支撐大橋。第19頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三大橋的倒塌發(fā)生在一個此前從未見過的扭曲形式發(fā)生后，當時的風(fēng)速大約為每小時40英里。這就是力學(xué)上的扭轉(zhuǎn)變形，中心不動，兩邊因有扭矩而扭曲，并不斷振動。這種振動是由于空氣彈性顫振引起的。顫振的出現(xiàn)使風(fēng)對橋的影響越來越大，最終橋梁結(jié)構(gòu)像麻花一樣徹底扭曲了。在塔科馬海峽大橋坍塌事件中，風(fēng)能最終戰(zhàn)勝了鋼的撓曲變形，使鋼梁發(fā)生斷裂。拉起大橋的鋼纜斷裂后使橋面受到的支持力減小并加重了橋面的重量。隨著越來越多的鋼纜斷裂，最終橋面承受不住重量而徹底倒塌了。塔科馬海峽大橋的坍塌使得空氣動力學(xué)和共振實驗成為了建筑工程學(xué)的必修課。這里的共振和受迫共振（由周期運動引發(fā)的，如步伐整齊的一隊士兵渡橋）不同。在該案例中沒有周期性擾動。當時風(fēng)速穩(wěn)定在每小時42英里（67公里/小時），頻率0.2赫茲。這樣的風(fēng)速本應(yīng)對大橋夠不成威脅。因此此次事件只能被理解為空氣動力學(xué)和結(jié)構(gòu)分析不嚴密所致，以后所有的橋梁，無論是整體還是局部，都必須通過嚴格的數(shù)學(xué)分析和風(fēng)洞測試。1943年，紐約市一座類似的大橋——白石大橋，加裝了一個14英尺的華倫式桁架和傾斜支柱以減少橋面的振動。2001年，華倫式桁架被拆除，取而代之的是液壓阻尼器。

第20頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三殘骸的保護沉沒的大橋殘骸編號92001068，被登記在國家歷史地點記錄冊中。水下的殘骸現(xiàn)在已經(jīng)作為一座人工礁石被保護起來。第21頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三今天的塔科馬海峽大橋公路：華盛頓州16號干線地點：塔科馬海峽（TacomaNarrows）連接：塔科馬（Tacoma）至吉格港（GigHarbor）昵稱：強健的格蒂（SturdyGertie）橋梁形式：雙懸索橋主跨：2800英尺（853米）全長：5979英尺（1822米）通航凈空：187.5英尺（57.15米）通車日期：1950年10月14日（西行）；2007年7月15日（東行）收費：3美元（東行）塔科馬海峽大橋位于美國華盛頓州的塔科馬海峽。第一座塔科馬海峽大橋，綽號舞動的格蒂，于1940年7月1日通車，四個月后戲劇性地被微風(fēng)摧毀，這一幕正好被一支攝影隊拍攝了下來，該橋因此聲名大噪。重建的大橋于1950年通車，2007年，新的平行橋通車。第22頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三西行橋現(xiàn)在的西行橋以開放的桁架和加固的支柱設(shè)計并重建，并且開設(shè)通風(fēng)孔讓風(fēng)通過。它于1950年10月14日通車，全長5979英尺（1822米）——比原先的橋長40英尺（12米）。它和與之平行的東行橋共同組成了目前美國第五長的懸索橋。因為造成前橋坍塌的共振問題已經(jīng)被新設(shè)計所解決，所以當?shù)鼐用窠o予了大橋新的綽號——“強健的格蒂”。當西行橋剛造好時，它是世界第三大懸索橋。像其它現(xiàn)代懸索橋一樣，西行橋由尖銳的鋼板而不是原先平邊鋼板建成。大橋的設(shè)計日車流量為6萬輛次。建成后，它東西兩向同時通車，直到東行橋于2007年7月15日正式通車第23頁，講稿共25頁，2023