知識(shí)點(diǎn)38相似、位似及其應(yīng)用2018-1

三、解答題1.（2018浙江金華麗水，24，12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．點(diǎn)D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點(diǎn)分別為F、G．（1）如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．①若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng)．②若DG=GF，求BC的長(zhǎng)．（2）已知BC=9，是否存在點(diǎn)D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由．ABABDCFGE第24題圖【思路分析】本題綜合考查了三角形、四邊形的判定與性質(zhì)．（1）①由勾股定理可得AG，由相似三角形的性質(zhì)得＝＝，進(jìn)而得FG的方程方程值；②根據(jù)題意先證得∠1＝∠2（設(shè)為x），∠1＝∠2＝∠B＝∠3＝x．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程，解得x＝30°．在Rt△ABC中，由BC＝可得解．（2）存在．分情況討論：①點(diǎn)D在線段BC上；②點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，CE的交點(diǎn)在AEF上方；③點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，EC的交點(diǎn)在BD下方；④點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上．【解題過(guò)程】解：（1）①在正方形ACDE中有DG＝GE＝6．在Rt△AEG中，AG＝＝＝6．∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF．∴＝，∴＝＝．∴FG＝AG＝2．②如圖1,在正方形ACDE中,AE＝ED，∠AEF＝∠DEF=45°，又EF＝EF，∴△AEF≌△DEF．∴∠1＝∠2（設(shè)為x）．∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x．∵GF＝GD∴∠3＝∠2＝x．在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B=180°，∴x＋（x＋90°）＋x＝180°,解得x＝30°，∴∠B=30°．∴在Rt△ABC中，BC＝＝12．（2）在Rt△ABC中，AB＝＝＝15．如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),此時(shí)只有GF＝GD．∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA．設(shè)BD＝3x，則DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，則AF＝15－9x，∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∴＝，即x2－6x＋5＝0．解得x1＝1，x2＝5（舍去），∴腰長(zhǎng)GD＝4x＝4．如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，CE的交點(diǎn)在AEF上方時(shí)，此時(shí)只有GF＝DG．設(shè)AE＝3x，則EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∴＝，即x2＝4．解得x1＝2，x2＝－2（舍去），∴腰長(zhǎng)GD＝4x＋12＝20．如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，EC的交點(diǎn)在BD下方時(shí)，此時(shí)只有DF＝DG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG．設(shè)AE＝3x，則EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝（4x＋12）×＝，∴GF＝2GH＝．∴AF＝GF－AG＝－5x＝．∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，即7x2＝288．解得x1＝，x2＝－（舍去），∴腰長(zhǎng)GD＝4x＋12＝．如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)只有DF＝DG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AG．設(shè)AE＝3x，則EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝（4x－12）×＝，∴FG＝2FH＝．∴AF＝AG－FG＝5x－＝．∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，即7x2＝288．解得x1＝，x2＝－（舍去），∴腰長(zhǎng)GD＝4x－12＝．綜上所述，等腰△DFG的腰長(zhǎng)為4，20，，．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；一元二次方程；分類(lèi)討論的思想；從特殊到一般的思想2.（2018安徽省，23，14分）如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.（1）求證:CM=EM；（2）若∠BAC=50°,求∠EMF的大小；（3）如圖2,若△DAE≌△CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),求證:AN∥EM.【思路分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半得出結(jié)論；（2）利用三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和推導(dǎo)出相關(guān)角的關(guān)系，從而求出相關(guān)角；（3）通過(guò)已知條件，結(jié)合（1）（2）利用垂直同一條直線的兩直線平行得到證明；或先通過(guò)三角形全等得到邊的關(guān)系，最后通過(guò)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”證明△FME∽△FNA即可?！窘忸}過(guò)程】（1）證明：∵M(jìn)為BD中點(diǎn)Rt△DCB中，MC=BD.Rt△DEB中，EM=BD.∴MC=ME.（2）∵∠BAC=50°，∴∠ADE=40°.∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM。同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°.（3）方法一：同（2）中理可得∠CBA=45°∴∠CAB=∠ADE=45°∵△DAE≌△CEM∴DE=CM=ME=BD=DM，∠ECM=45°∴△DEM等邊∴∠EDM=60°∴∠MBE=30°∵∠MCB+∠ACE=45°∠CBM+∠MBE=45°∴∠ACE=∠MBE=30°∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°連接AM，∵AE=EM=MB∴∠MEB=∠EBM=30°∠AME=∠MEB=15°∵∠CME=90°∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM∴AC=AM∵N為CM中點(diǎn)∴AN⊥CM∵CM⊥EM∴AN∥CM方法二：∵△DAE≌△CEM，CM=EM,∠AED=90°，∴AE=DE=EM=CM,∠CME=90°,則由（1）知：,∴DE=DM=EM，∴△DEM是等邊三角形，∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°，∴，∵AE=CM,N是CM中點(diǎn)，∴，∴FM:FE=NM:AE，即FM:FE=FN:FA,又∵∠MFE=∠NFA,∴△FME∽△FNA,∴∠FME=∠FNA,∴AN∥CM【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定方法，等邊三角形的判定，相似三角形的判定3.（2018湖南岳陽(yáng)，23，10分）已知在中，，為的平分線，將沿所在的直線對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連結(jié)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè).（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，試求與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）；（3）如圖3，將（2）中的線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（），得到線段，連結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求（用含的式子表示）.【思路分析】（1）首先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CE⊥BB′且BE=BB′，進(jìn)而得出∠B′=∠ADC，進(jìn)而得出△ABB′≌△ACD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BB′=CD，進(jìn)而證明出結(jié)論；（2）首先根據(jù)（1）可得出∠B′=∠ADC，進(jìn)而得出△ABB′∽△ACD，進(jìn)而得出，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出CD與BE的數(shù)量關(guān)系；（3）首先根據(jù)題意可得出∠ECF=90°，進(jìn)而得出△OBE∽△OCF，然后根據(jù)等高的三角形的面積比等于底的比可得出，最后利用銳角三角函數(shù)的定義得出答案.【解題過(guò)程】解：（1）根據(jù)題意可得CE⊥BB′且BE=BB′，∵CE⊥BB′，∴∠EBD+∠BDE=90°.∵∠BDE=∠ADC，∴∠ADC+∠EBD=90°.∵∠BAB′=90°，∴∠EBD+∠B′=90°，∴∠B′=∠ADC，在△ABB′和△ACD中∴△ABB′≌△ACD（ASA），∴BB′=CD，∴CD=2BE.（2）由（1）可知，∠B′=∠ADC，∵∠BAB′=∠CAD=90°，∴△ABB′∽△ACD，∴.∵AB=BC·cos∠ABC==BCcos2α，AC=BC·sin∠ABC=BCsin2α，∴，∴CD=.由（1）（2）可知，CE⊥BB′，∠B′BA=∠BCE，∵∠EBC+∠BCE=90°，即∠B′BA+∠ABC+∠BCE=90°，∴∠BCE=45°-α.∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=∠BCE+∠BCF=90°，∴CF∥BE，∴△OBE∽△OCF，∴.∵,sin∠BCE=,BC=CF，∴=sin（45°-α）.【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)4.（2018江蘇連云港，第27題，14分）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形BEF，連接CF.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，EF、BC相交于點(diǎn)D，小亮發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形全等，請(qǐng)你找出來(lái)，并證明.(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動(dòng)，若四邊形ABFC的面積為求AE的長(zhǎng).(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CF、BE相交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探求△ECD的面積S1與△DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(4)如圖2，當(dāng)△ECD的面積S1＝時(shí)，求AE的長(zhǎng).【思路分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易得AB=CB，BE=BF，再證明夾角相等，即可得證.(2)有△ABE≌△CBF，可得S四邊形BECF=S△ABC，可得S△ABE=，利用三角形的面積公式，可得AE的長(zhǎng).(3)根據(jù)題意，易得△ABE≌△CBF，可得S△FDB=S△ECD+S△ABC，進(jìn)而可得S1與S2的數(shù)量關(guān)系.(4)由(3)得結(jié)論可得S△BDF=，利用△ABE≌△CBF，推出CF∥AB，從而可知△BDF的高是，利用平行線分線段成比例，推得，列方程求解即可.【解題過(guò)程】(1)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有△ABE≌△CBF.由圖1知，△ABC與△EBF都是等邊三角形，所以AB=CB，BE=BF，又∠CBF=∠ABE=60°－∠CBE，所以△ABE≌△CBF. 2分(2)由(1)知點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有△ABE≌△CBF，∵S四邊形BECF=S△BCF+S△BCE，∴S四邊形BECF=S△ABC，∵△ABC的邊長(zhǎng)為2，則S△ABC=，所以四邊形BECF的面積為，又四邊形ABFC的面積是，所以S△ABE=，在三角形ABE中，因∠A=60°，所以邊AB上的高為AEsin60°，則△ABE=AB·AEsin60°=×2×AE=，則AE=. 5分(3)S2－S1=.由圖2知，△ABC與△EBF都是等邊三角形，所以AB=CB，BE=BF，又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，所以△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△CBF，∴S△FDB=S△ECD+S△ABC，則S△FDB－S△ECD=S△ABC=，則S2－S1=. 9分(4)由(3)知S2－S1=，即S△FDB－S△ECD=，由S△ECD=，得S△BDF=，因△ABE≌△CBF，所以AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，所以CF∥AB，則△BDF的高是，則DF=，設(shè)CE=x，則2+x=CD+DF=CD+，所以CD=x－，在△ABE中，由CD∥AB得，，即，化簡(jiǎn)得3x2－x－2=0，所以x=1或x=(舍)，即CE=1，所以AE=3. 14f備注:各題如有其它解法，只要正確，均可參照給分【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)和判定；銳角三角函數(shù)；平行線分線段成比例5.（2018年山東省棗莊市，24，10分）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接.（1）求證：四邊形是菱形；（2）探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若，求的長(zhǎng).【思路分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來(lái)，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴=，即DF2=FO?AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF?AF．（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，F(xiàn)G=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴=，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【知識(shí)點(diǎn)】矩形；菱形；相似三角形；勾股定理6.（2018江蘇省鹽城市，26，12分）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊△ABC，將直角三角板的60°角頂點(diǎn)D任意放在BC邊上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），使兩邊分別交線段AB、AC于點(diǎn)E、F．（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，則CF＝___________；（2）求證：△EBD∽△DCF．【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，保持三角板與邊ABAC的兩個(gè)交點(diǎn)E、F都存在，連接EF，如圖②所示．問(wèn)：點(diǎn)D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【探索】如圖③，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O為BC邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（其中∠MON＝∠B），使兩條邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E、F均不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接EF．設(shè)∠B＝α，則△AEF與△ABC的周長(zhǎng)比為_(kāi)__________（用含α的表達(dá)式表示）．【思路分析】【發(fā)現(xiàn)】（1）先求出DC的值，再證△FDC是等邊三角形即可．（2）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似，只需證∠B＝∠C，∠BED＝∠FCD即可．【思考】利用角平分線的性質(zhì)得DM＝DG＝DN．利用全等三角形的性質(zhì)得BD＝CD．【探索】類(lèi)比(2)猜想應(yīng)用EF＝EG＋FH．設(shè)AB＝m，則OB＝mcosα，GB＝mcos2α．∴＝1-cosα．【解題過(guò)程】【發(fā)現(xiàn)】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC．∵AB＝6，AE＝4，∴BE＝2．∵BD＝2，∴DC＝4．∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＝60°．∴△FDC是等邊三角形．∴CF＝4．（2））∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BED＋∠BED＝120°．∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠FDC＝120°．∴∠BED＝∠FCD．∴△EBD∽△DCF．【思考】存在．點(diǎn)D移動(dòng)到BC邊的中點(diǎn)時(shí)，ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，此時(shí)＝．理由：如圖，作DM⊥EB,DG⊥EF,DN⊥FC，∵ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠CFE，∴DM＝DG＝DN．∴△DBM≌△DCN．∴BD＝CD．∴點(diǎn)D移動(dòng)到BC邊的中點(diǎn)時(shí)，ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，此時(shí)＝．【探索】如圖，作DM⊥EB,DG⊥EF,DN⊥FC．有∠GOH＝2∠EOF＝2α．由(2)可猜想應(yīng)用EF＝EG＋FH．(通過(guò)旋轉(zhuǎn)半角證明)設(shè)AB＝m，則OB＝mcosα，GB＝mcos2α．∴＝＝＝＝1-cosα．【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定；相似三角形的判定；角平分線的性質(zhì)；解直角三角形7.（2018山東省濟(jì)寧市，20，8）（8分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值.【思路分析】問(wèn)題（1），根據(jù)條件可以確定∠DEG=∠CDF，從而可得△DCF∽△EDG，即可應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)確定DG與CF的數(shù)量關(guān)系；問(wèn)題（2），要求△PDC周長(zhǎng)的最小值，也就是要求DP+CP的最小值，只需要作出點(diǎn)C關(guān)于MN成軸對(duì)稱的點(diǎn)C′，連接DC′與MN的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)P的位置，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出CN的長(zhǎng)度，也就是求得DM的長(zhǎng)度.根據(jù)問(wèn)題（1）中的結(jié)論可以求得GH與EH的比值為1：4，從而DM：EM=1：4，可得DM長(zhǎng)為1，因此，可以求得問(wèn)題的結(jié)果.【解題過(guò)程】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD=AD，∠BCD=∠EDC=90°，即∠CDF+∠ADF=90°.∵EH⊥DF，垂足為H，∴∠EHD=90°，即∠DEG+∠ADF=90°，∴∠DEG=∠CDF，∴△DCF∽△EDG，∴.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，∴DC=2CF，∴DE=2DG.（2）∵Rt△DEG中，∠EDG=90°，∴tan∠DEG=，∴tan∠CDF=，∴=，∴.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，NM∥CD，∴四邊形DMNC是平行四邊形，∴.∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，∴ED=5，∴DM=CN=1.作出點(diǎn)C關(guān)于MN成軸對(duì)稱的點(diǎn)C′，連接DC′與MN的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)P的位置，∴CC′=1，DC′==2，∴△PDC周長(zhǎng)的最小值為CD+CP+DP=CD+CC′=10+2【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)軸對(duì)稱的性質(zhì)勾股定理轉(zhuǎn)化思想8.(2018山東青島中考，24，12分)已知：如圖，四邊形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，.根據(jù)題意解答下列問(wèn)題：（1）用含t的代數(shù)式表示AP；（2）設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時(shí)，求的值；（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路分析】（1）作DM⊥AB于M，可得四邊形MBCD是矩形，再利用勾股定理求出AD=10cm，可得AP=(10－2t)cm；（2）由S=S四邊形ABCD－S△PDC－S△PQA得出函數(shù)關(guān)系式；（3）由，得出△QXP∽DMB，∴=，代入數(shù)值得解；（4）延長(zhǎng)EP交BD于點(diǎn)F，連接BE，由EP∥AB，BE平分∠ABD，△DPF∽△DAB，得出比例式，代入數(shù)值得解．【解題過(guò)程】解：（1）AP=10－2t；（2）方法1：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB，CD的垂線，垂足分別為X，Y，在Rt△PYD中，PD=2t，PY=×2t=t．在Rt△PXA中，PA=10－2t，PX=(10－2t)=6－t，AX=(10－2t)=8－t，S=S四邊形ABCD－S△PDC－S△PQA=×(8+16)×6－×8×t－×2t×(6－t)=t2－t+72．方法2：連接PB，過(guò)P作AB，BC的垂線，S=S△PBC+S△PQB(計(jì)算過(guò)程略)．（3）方法1：∵QP⊥BD，∴△QXP∽DMB，∴=，∴=，解得t=．方法2：延長(zhǎng)QP交BD延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)A向BD作垂線交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D向底邊AB作垂線交AB于點(diǎn)M．在△BDM中，sin∠DBM==，在△BAG中，sin∠GBA=，又∵AB=16，∴AG=．又∵AD=10，∴在Rt△AGD中，GD=，∴cos∠GDA=．在Rt△PDH中，PD=2t，∴DH=t．又∵sin∠DBM=，且AP=2t，AB=16，∴BQ=16－2t．在Rt△QBH中，BH=(16－2t)，DH=BH－BD=(16－2t)－10=－t，∴－t=t，∴t=．（4）存在，理由如下：方法1：延長(zhǎng)EP交BD于點(diǎn)F，連接BE，∵EP∥AB，BE平分∠ABD，∴△DPF∽△DAB，∴=，EF=BF=10－2t，PF=EF－EP=10－4t，∴=，解得t=．方法2：連接EB，交DM于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E、P分別向底邊AB作垂線，垂足為N，J，過(guò)點(diǎn)F向BD作垂線，垂足為K，此時(shí)BE為角平分線．BM=BK=8，∴DK=2，設(shè)FK=x，則DF=6－x，則在Rt△FDK中，(6－x)2=x2+4，解得x=，∴FM=FK=．在Rt△BFM中，sin∠FBM==，EN=PJ=AP·sin∠DAB=6－t，△AEN≌△QPJ，∴AN=QJ=AJ－AQ=AP·cos∠DAB－AQ=8－t，BN=AB－AN=16－(8－t)=8+t，sin∠EBN=sin∠FBM===，解得t=．【知識(shí)點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)綜合9.（2018山東威海，24，12分）如圖①，在四邊形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分別為C，D，，BC≠AC，點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別為AB，AE，BE的中點(diǎn)，連接MN，MF，NF．(1)如圖②，當(dāng)BC＝4，DE＝5，tan∠FMN＝1時(shí)，求的值；(2)若tan∠FMN＝，BC＝4，則可求出圖中哪些線段的長(zhǎng)？寫(xiě)出解答過(guò)程；(3)連接CM，DN，CF，DF，試證明△FMC與△DNF全等；(4)在(3)的條件下，圖中還有哪些其它的全等三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出．【思路分析】（1）由中位線定理得出四邊形MANF是平行四邊形，再由tan∠FMN＝1得出FN＝FM，從而得出AB＝AE；然后通過(guò)證明△ABC≌△EAD求出AC和AD的長(zhǎng)，得解；（2）由tan∠FMN＝可得＝，再由△ABC∽△EAD，BC＝4，可得AD的長(zhǎng)；（3）如圖，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半及矩形的性質(zhì)得出FM＝DN，CM＝NF；由∠1＝∠3，利用外角得出∠4＝∠5，進(jìn)而得出∠FMC＝∠FND，從而得證；（4）Rt△ABE中分成的4個(gè)三角形都全等，即△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．【解題過(guò)程】解：(1)∵M(jìn)，N，F(xiàn)分別是AB，AE，BE的中點(diǎn)，∴BM＝NF＝MA，MF＝AN＝NE．∴四邊形MANF是平行四邊形．又∵BA⊥AE，∴平行四邊形MANF是矩形．又∵tan∠FMN＝1，∴，即FN＝FM．∴矩形MANF為正方形，∴AB＝AE．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3；∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC≌△EAD(AAS)，∴BC＝AD，CA＝DE．∵BC＝4，DE＝5，∴．(2)可求線段AD的長(zhǎng)．由(1)知，四邊形MANF為矩形，F(xiàn)N＝AB，MF＝AE；∵tan∠FMN＝，即，∴．∵∠1＝∠3，∠BCA＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△FAD，∴．∵BC＝4，∴，∴AD＝8．(3)∵BC⊥CD，DE⊥CD．∴△ABC與△ADE都是直角三角形．∵M(jìn)，N分別是AB，AE中點(diǎn)，∴BM＝CM，NA＝ND．∴∠4＝2∠1，∠5＝2∠3．∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠5，∴∠FMC＝90°＋∠4，∠FND＝90°＋∠5，∴∠FMC＝∠FND．∵FM＝DN，CM＝NF．∴△FMC≌△DNF(SAS)．(4)△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)；10.2018浙江杭州，19，8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E，（1）求證：△BDE∽△CAD（2）若AB=13，BC=10，求線段DE的長(zhǎng)?！舅悸贩治觥款}（1）AA相似；（2）等腰三角形三線合一求出BD=5，再運(yùn)用子母相似得方程求出DE【解題過(guò)程】【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定和應(yīng)性質(zhì)應(yīng)用，等腰三角形的三線合一11.（2018浙江杭州，23，12分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接AG，作DE⊥AG,于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，設(shè)（1）求證：AE=BF（2）連接BE、DF，設(shè)，求證：（3）設(shè)線段AG與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H，和四邊形CDHG的面積分別為，求的最大值.【思路分析】（1）由正方形內(nèi)K證全等；（2）轉(zhuǎn)化為證：，則證：，則證用相似轉(zhuǎn)化為證；（3）把分別表示出來(lái)，則是關(guān)于的二次函數(shù)，求該函數(shù)的最大值【解題過(guò)程】【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值12.(2018浙江湖州，23，10）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分別為AC，BC邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且＝m，連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M，延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)DH．①求證：四邊形DHEC是平行四邊形；②若m＝，求證：AE＝DF；（2）如圖2，若m＝，求的值．圖2圖2第23題圖圖1EAFDBCMAFHBEMDC【思路分析】（1）①已知條件給出的是線段的比，所以考慮利用三角形相似，將線段的比進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而證明HE與DC相等，再得出平行四邊形的結(jié)論；②是一個(gè)特殊的比值，且出現(xiàn)直角三角形題目中，所以考慮證明直角三角形為等腰直角三角形，從而得出線段相等，進(jìn)而通過(guò)三角形全等證明結(jié)論．（2）雖然m的值發(fā)生變化，但整體圖形沒(méi)有發(fā)生變化，所以解題的方法還可以仿照第（1）問(wèn)進(jìn)行，只需要考慮將全等改作相似就可以．【解題過(guò)程】（1）證明①∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA．∴△BHE∽△BAC．∴． 1分∵，∴．∴． 1分∴HE＝DC．∴四邊形DHEC是平行四邊形． 1分②∵＝，∠BAC＝90°，∴AC＝AB．∵＝，HE＝DC，∴＝．又∠BHE＝90°，∴BH＝HE． 1分∵HE＝DC，∴BH＝CD．∴AH＝AD． 1分∵DM⊥AE