假期作業(yè)三+函數(shù)的基本性質(zhì)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)

假期作業(yè)三函數(shù)及其性質(zhì)一、單選題1．已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．2 C．0 D．53．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

5．已知，則（

）A． B．C． D．6．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．7．定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A． B．C． D．8．下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)是（

）

A． B． C． D．9．已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．在中，內(nèi)角，，，．若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．212．函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．13．已知集合，，則（

）A． B．C． D．14．函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

15．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．二、填空題16．已知集合,，則__________．17．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在R上的表達(dá)式為______．18．函數(shù)的最小值為________．19．定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是______．20．已知函數(shù)，且，則______．三、解答題21．函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)的定義域為集合B，(1)求和；(2)若集合，且，求實數(shù)P的取值范圍．22．已知向量，且函數(shù)．(1)求函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心；(2)把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．23．設(shè)是R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，.(1)的值；(2)當(dāng)時，的圖象與x軸所圍成圖形的面積.24．對于定義域為的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件：①對任意的，總有；②；③若，，，都有≥成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù).(1)判斷函數(shù)()是否為理想函數(shù)，并予以證明；(2)若函數(shù)為理想函數(shù)且，求的值；(3)已知函數(shù)為理想函數(shù)，若，使得，求的值.25．給定函數(shù)，若點是的兩條互相垂直的切線的交點，則稱點為函數(shù)的“正交點”.記函數(shù)所有“正交點”所組成的集合為.(1)若，判斷集合是否為空集，并說明理由；(2)若，證明：的所有“正交點”在一條定直線上，并求出該直線；(3)若，記圖像上的所有點組成的集合為，且，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．B【分析】分析出函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，其中，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，所以，，所以，，令，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：B.2．D【分析】由題意可得函數(shù)的周期為6，然后利用周期和，可求得結(jié)果.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以的周期為6，所以，故選：D3．B【分析】根據(jù)題意，由，得，先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，得到，即可得到，最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，令，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以.由，得，，設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以時，，所以，即，所以，所以.故選：B.【點睛】方法點睛：比較大小問題，常常根據(jù)：（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；（2）利用特殊值進(jìn)行估計，再進(jìn)行間接比較；（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.4．B【分析】先得到函數(shù)的奇偶性，排除AC，再比較出，排除B，得到正確答案.【詳解】由題知，的定義域為，因為，∴是奇函數(shù)，排除A，C，因為，排除D.故選：B.5．B【分析】由題意分析函數(shù)的單調(diào)性，可得，，，即可得答案.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增且,所以，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：B.6．C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.7．C【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較.【詳解】解：令，則，因為，所以，則在上單調(diào)遞減.所以，故，，故選：C8．B【分析】利用題給函數(shù)在上先正值后負(fù)值的變化情況排除選項A；利用題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)排除選項C；利用當(dāng)時題給函數(shù)值為負(fù)值排除D；而選項B均符合以上要求.【詳解】當(dāng)時，，.排除A；由偶函數(shù)定義可得為偶函數(shù)，由題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；當(dāng)時，.排除D；為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.B均符合題給特征.故選：B.9．C【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，原命題等價于：任意，使為真命題，所以，其中設(shè)，則函數(shù)，的最大值為與中的較大者，所以，∴，解得，故選：C.10．D【分析】根據(jù)題意原不等式可轉(zhuǎn)化為，恒成立，由的取值范圍即可求出的最小值，即可解出答案.【詳解】因為對于任意實數(shù)，不等式恒成立，所以，即,等價于恒成立，又，即，即，，，所以，解得.故選：D11．C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，即可根據(jù)自變量的范圍代入求值.【詳解】,,故，故選：C12．D【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的草圖，再由奇函數(shù)化簡不等式為，結(jié)合圖象即可選出答案.【詳解】由于是定義域為的奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．

由可得，，由于在分母位置，所以，當(dāng)時，只需，由圖象可知；當(dāng)時，只需，由圖象可知；綜上，不等式的解集為．故選：D13．C【分析】分別求出集合和，根據(jù)交集和并集的定義，即可得出答案．【詳解】因為，所以，即，由得，所以，，故選：C．14．A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)時，函數(shù)值的符號，利用排除法即可得解.【詳解】，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故排除B；當(dāng)時，，所以，故排除CD.在A中：單調(diào)性滿足，當(dāng)時滿足，令即有兩個正根，且時，當(dāng)或時，以上性質(zhì)圖象均滿足，故A正確.故選：A.15．C【分析】根據(jù)常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，及函數(shù)奇偶性的定義判斷即可.【詳解】為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故C正確；記，其定義域為，，則為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C.16．【分析】求出定義域和值域得到，從而得到交集.【詳解】因為，，所以．故答案為：17．【分析】利用偶函數(shù)定義可求解.【詳解】當(dāng)時，，故，所以，所以故答案為：18．2【分析】(方法1：單調(diào)性法)：求得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最小值；(方法2：換元法)：令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．【詳解】(方法1：單調(diào)性法)：顯然函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)與在定義域上均是增函數(shù)，故在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即函數(shù)的最小值為2．(方法2：換元法)：令，則，所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，易知在時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為2．故答案為：2．19．【分析】先求出上的值域，根據(jù)可以求出上的的值域，然后只需，解不等式即可.【詳解】時，，則當(dāng)，，而，則，由于是當(dāng)時，因此當(dāng)時，．而當(dāng)時，恒成立，等價于，即，由得，即，由可得，于是.故答案為：20．2024【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的奇偶性可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造具有奇偶性的函數(shù)，由，得，構(gòu)建函數(shù)，定義域為，因為所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：202421．(1)，(2)【分析】（1）解不等式求出，進(jìn)而求和；（2）根據(jù)可得滿足的不等式，其解即為實數(shù)p的取值范圍.【詳解】（1）對于集合A：由，解得或，∴，對于集合B：由，解得，∴，所以，，；（2），因為，所以，解得，，所以，實數(shù)p的取值范圍為：．22．(1)對稱軸為，對稱中心為(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、輔助角公式化簡，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由三角函數(shù)的平移、伸縮變換可求出，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出在的最大值，可得，解不等式即可求出答案.【詳解】（1）因為向量，所以，令，得；令，得，所以的圖象的對稱軸為，對稱中心為；（2）把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得的圖象，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．令，則．當(dāng)，即時，．因為不等式在上恒成立，所以，即，解得或．所以實數(shù)的取值范圍為．23．(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)已知可得函數(shù)的周期為4，再由奇偶性與給定范圍的表達(dá)式即可求解；（2）由已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又當(dāng)時，，且的圖象關(guān)于原點成中心對稱，再結(jié)合的圖象求解即可．【詳解】（1）由，得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以；（2）由是奇函數(shù)且，得，即．故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．又當(dāng)時，，且的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的圖象如圖所示．

當(dāng)時，設(shè)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則.24．(1)不是，證明見解析(2)(3)或【分析】（1）不妨取驗證判斷；（2）由，，，都有成立，令求解，在由，令求解；（3）根據(jù)（2），分析和矛盾求解.【詳解】（1）解：不妨取，則，，與矛盾，故該函數(shù)不是理想函數(shù)；（2）由，，，都有成立，知，又，所以，綜上，；（3）由（2）知，當(dāng)時，有與矛盾，同理當(dāng)時，有與矛盾故，即為方程在區(qū)間上的根，易知或者.25．(1)不存在，理由見解析(2)證明見解析，(3)【分析】（1）假設(shè)存在，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出矛盾，即可判斷；（2）設(shè)“正交點”是在和處的切線的交點，求出切線方程，即可求出交點坐標(biāo)，由切線互相垂直求出，即可得解；（3）依題意不存在圖像上的點，使得該點是“正交點”，先利用反證法證明：對任意的實數(shù)，若圖像上的點是“正交點”，則該點本身一定是切點，假設(shè)，處切線互相垂直，不妨令是兩條切線的交點，即可得到方程對無解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）假設(shè)存在“正交點”，則存在兩條相互垂直的切線，設(shè)為和處的切線，因為，所以，所以，所以不存在“正交點”，所以.（2）設(shè)“正交點”是在和處的切線的交點，因為，所以，所以在和處的切線方程為：，，聯(lián)立，解得，即，因為兩條切線互相垂直，所以，所以，所以的所有“正交點”在一定直線上.（3）因為，所以不存在圖像上的點，使得該點是“正交點”.先證明：對任意的實數(shù)，若圖像上的點是“正交點”，則該點本