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四川省自貢市市蜀光中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.集合A=,集合B=,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略2.如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(
)參考答案:B3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(
)A.(-∞,-1]
B.[2,+∞)
C.[,2]
D.[-1,]參考答案:C略4.實(shí)數(shù)x,y滿足,若函數(shù)z=x+y的最大值為4,則實(shí)數(shù)a的值為(A).2
(B).3
(C).
(D).4參考答案:A由,得,則表示該組平行直線在軸的截距。又由約束條件作出可行域如圖,先畫出,經(jīng)平移至經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí),取得最大值,代入,即,所以,故選.5.,若在上恒成立,實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C6.若函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后與原函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小正值是()A. B.1 C.2 D.3參考答案:D略7.不等式組表示面積為1的直角三角形區(qū)域,則的值為A.
B.1
C.2
D.3參考答案:B略8.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點(diǎn),F(xiàn)1坐標(biāo),雙曲線右支上點(diǎn)P,滿足,則它的漸近線方程為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A∵F1坐標(biāo)(,0),∴c=,∵雙曲線右支上一點(diǎn)P,滿足|PF1|﹣|PF2|=4,∴2a=4,即a=2,則b2=c2﹣a2=7﹣4=3,即b=,則雙曲線的漸近線方程為y=±x═±x,故答案為:A
9.曲線在處的切線方程為A.
B.
C.
D.參考答案:A10.已知向量
(
)A、
B、
C、
D、參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中,,,則的長(zhǎng)度為________.參考答案:1或2由余弦定理得,即
,解得BC=1或BC=2.12.
參考答案:答案:—1
13.
.參考答案:答案:
14.二項(xiàng)式為虛數(shù)單位)的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)等于—28,則n_____.參考答案:815.函數(shù)f(x)=在x=1處的切線l方程是,以直線l與y軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是.參考答案:x﹣2y+1=0,x2=2y.【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì);利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】根據(jù)題意,對(duì)函數(shù)f(x)=求導(dǎo)可得其導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)f(x)=在x=1處的切線l方程的斜率k,再求得f(1)的值,即可得切點(diǎn)的坐標(biāo),由直線的點(diǎn)斜式方程可得其切線的方程,進(jìn)而可得直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo),由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,對(duì)于函數(shù)f(x)==,有y′=,則函數(shù)f(x)=在x=1處的切線l方程的斜率k==,又由函數(shù)f(x)=,則f(1)=1,即切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),則有函數(shù)f(x)=在x=1處的切線l方程:y﹣1=(x﹣1),即x﹣2y+1=0;對(duì)于直線x﹣2y+1=0,其與y軸的交點(diǎn)為(0,),以(0,)為焦點(diǎn)的拋物線中必有p=2×=1,焦點(diǎn)在y軸上,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=2y;故答案為:x﹣2y+1=0,x2=2y.16.某班級(jí)有50名學(xué)生,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生,將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為號(hào),并按編號(hào)順序平均分成10組(號(hào),號(hào),…,號(hào)),若在第三組抽到的編號(hào)是13,則在第七組抽到的編號(hào)是______.參考答案:試題分析:因?yàn)槭菑?0名學(xué)生中抽出10名學(xué)生,組距是10,
∵第三組抽取的是13號(hào),
∴第七組抽取的為.考點(diǎn):系統(tǒng)抽樣17.已知兩個(gè)正數(shù),可按規(guī)則擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)c,在三數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù),按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù),依次下去,將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)數(shù)稱為一次操作.若,經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為(m,n為正整數(shù)),則的值為
.參考答案:21【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合D5因?yàn)閜>q>0,所以第一次得:c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)-1,
因?yàn)閏>p>q,所以第二次得:c2=(c1+1)(p+1)-1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)-1,
所得新數(shù)大于任意舊數(shù),所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)-1=(p+1)3(q+1)2-1,
第四次可得:c4=(c3+1)(c2-1)-1=(p+1)5(q+1)3-1,
故經(jīng)過(guò)6次擴(kuò)充,所得數(shù)為:(q+1)8(p+1)13-1,
因?yàn)榻?jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為(q+1)m(p+1)n-1(m,n為正整數(shù)),
所以m=8,n=13,所以m+n=21.【思路點(diǎn)撥】p>q>0第一次得:c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)-1;第二次得:c2=(p+1)2(q+1)-1;所得新數(shù)大于任意舊數(shù),故經(jīng)過(guò)6次擴(kuò)充,所得數(shù)為:(q+1)8(p+1)13-1,故可得結(jié)論.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=.(1)求f(x)的極小值和極大值;(2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為正數(shù)時(shí),求l在x軸上的截距和取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′(x),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的極值點(diǎn)的定義,即可求出函數(shù)的極值;(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率,得出切線的方程,利用方程求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值即可.【解答】解:(1)∵f(x)=x2e﹣x,∴f′(x)=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x(2x﹣x2),令f′(x)=0,解得x=0或x=2,令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,故函數(shù)在區(qū)間(﹣∞,0)與(2,+∞)上是減函數(shù),在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù).∴x=0是極小值點(diǎn),x=2極大值點(diǎn),又f(0)=0,f(2)=.故f(x)的極小值和極大值分別為0,;(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,),則切線方程為y﹣=(2x0﹣x02)(x﹣x0),令y=0,解得x=(x0﹣2)++3,∵曲線y=f(x)的切線l的斜率為正數(shù),∴(2x0﹣x02)>0,∴0<x0<2,令g(x0)=(x0﹣2)++3,則g′(x0)=.當(dāng)0<x0<2時(shí),令g′(x0)=0,解得x0=2﹣當(dāng)0<x0<2﹣時(shí),g′(x0)<0,函數(shù)g(x0)單調(diào)遞減;當(dāng)2﹣<x0<2時(shí),g′(x0)>0,函數(shù)g(x0)單調(diào)遞增.故當(dāng)x0=2﹣時(shí),函數(shù)g(x0)取得極大值,也即最大值,且g(2﹣)=3﹣2.綜上可知:切線l在x軸上截距的取值范圍是(﹣∞,3﹣2].19.(本小題滿分10分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度.已知直線l的極坐標(biāo)方程為,曲線C的參數(shù)方程為,又直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).參考答案:直線l的直角坐標(biāo)系方程為x+2y=0,曲線C的普通方程為兩者聯(lián)立解得A和B地坐標(biāo)為20.已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若圓O:x2+y2=1的切線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,求|OM|的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】K5:橢圓的應(yīng)用.【分析】(I)根據(jù)條件列方程組解出a,b即可得出橢圓的方程;(II)設(shè)直線l方程為x=my+t,聯(lián)立方程組消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M的坐標(biāo),根據(jù)距離公式求出|OM|的最值.【解答】解:(I)由題意得,解得a=2,b=1.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),若直線l的斜率為0,則l方程為y=±1,此時(shí)直線l與橢圓只有1個(gè)交點(diǎn),不符合題意;設(shè)直線l:x=my+t.∵l與圓O相切,∴,即t2=m2+1;聯(lián)立方程組,消去x,得(m2+4)y2+2mty+t2﹣4=0,則△=4m2t2﹣4(t2﹣4)(m2+4)=16(m2﹣t2+4)=48>0,∴,∴,,即,∴,設(shè)x=m2+4,則x≥4,,∴當(dāng)x=8時(shí)等號(hào)成立,|OM|取得最大值=.21.某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí),面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組[20,25),第2組[25,30),第3組[30,35),第4組[35,40),第5組[40,45],得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?(2)在(1)的條件下,該縣決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.參考答案:考點(diǎn):頻率分布直方圖;古典概型及其概率計(jì)算公式.專題:概率與統(tǒng)計(jì).分析:(1)先分別求出這3組的人數(shù),再利用分層抽樣的方法即可得出答案;(2)利用古典概型的概率計(jì)算公式、互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出.解答: 解:(1)第3,4,5組中的人數(shù)分別為0.06×5×100=30,0.04×5×100=20,0.02×5×100=10.從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者,應(yīng)從第3,4,5組各抽取人數(shù)為,,=1;(2)設(shè)“第4組至少有一名志愿者被抽中”為事件A,則P(A)==.點(diǎn)評(píng):熟練掌握頻率分布直方圖
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