北師版九年級下冊數(shù)學課件：36-第2課時-切線的判定及三角形的內切圓

3.6直線和圓的位置關系第三章圓第2課時切線的判定及三角形的內切圓2023/7/111.理解并掌握圓的切線的判定定理及運用.（重點）2.三角形的內切圓和內心的概念及性質.（難點）學習目標2023/7/12砂輪上打磨工件時飛出的火星

下圖中讓你感受到了直線與圓的哪種位置關系？如何判斷一條直線是否為切線呢？導入新課情境引入2023/7/13講授新課圓的切線的判定一問題1如圖，OA是⊙O的半徑，經(jīng)過OA的外端點A，作一條直線l⊥OA，圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有怎樣的位置關系？合作探究ll2023/7/14

圓心O到直線l的距離等于半徑OA.由圓的切線定義可知直線l

與圓O相切.ll2023/7/15過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC

⊥

OA于ABC為⊙O的切線ＯABC切線的判定定理應用格式O要點歸納2023/7/16下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因為沒有垂直.(2),(3)不是，因為沒有經(jīng)過半徑的外端點A.

在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意判一判2023/7/17判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點歸納2023/7/18用三角尺過圓上一點畫圓的切線.做一做（2）過點P沿著三角尺的另一條直角邊畫直線l，則l就是所要畫的切線.如圖所示.如下圖所示，已知⊙O

上一點P，過點P畫⊙O

的切線．畫法：（1）連接OP，將三角尺的直角頂點放在點P處，并使一直角邊與半徑OP

重合；為什么畫出來的直線l是⊙O的切線呢？2023/7/19例1已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰△OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.典例精析2023/7/110

例2

如圖,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中點，⊙O

與AB

相切于E.求證：AC

是⊙O的切線．BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F2023/7/111證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵在△ABC中，AB＝AC，

O是BC的中點．∴AO平分∠BAC，F(xiàn)BOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又∵OE⊥AB，OF⊥AC.2023/7/112(1)已明確直線和圓有公共點，連結圓心和公共點，即半徑，再證直線與半徑垂直.簡記“有交點，連半徑,證垂直”;(2)不明確直線和圓有公共點，過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑.簡記“無交點，作垂直,證半徑”.方法歸納證切線時輔助線的添加方法例1例22023/7/113三角形的內切圓及內心二例3

如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓O.分析：如果圓O與△ABC的三條邊都相切，那么圓心O到三條邊的距離都等于______，從而這些距離相等.半徑到一個角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上，因此圓心O是∠A的__________與∠B的___________的___點.平分線平分線交2023/7/114作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O.2.過點O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.MND2023/7/115觀察與思考與△ABC的三條邊都相切的圓有幾個？因為∠B和∠C的平分線的交點只有一個,并且交點O到△ABC三邊的距離相等且唯一，所以與△ABC三邊都相切的圓有且只有一個.D2023/7/1161.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.B2.三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心.4.三角形的內心就是三角形的三條角平分線的交點.┐ACO┐┐DEF3.三角形的內心到三角形的三邊的距離相等.⊙O是△ABC的內切圓，點O是△ABC的內心.概念學習2023/7/117名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內心在三角形內部．ABOABCO填一填2023/7/118例4

△ABC中，⊙O是△ABC的內切圓，∠A=70°，求∠BOC的度數(shù)。ABCO解：∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°∵⊙O是△ABC的內切圓∴BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線即∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB

典例精析2023/7/119∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.ABCO2023/7/1201.判斷下列命題是否正確.⑴經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.⑶過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.⑷和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.(5)三角形的內心是三角形三個角平分線的交點.(6)三角形的內心到三角形各邊的距離相等.

(7)三角形的內心一定在三角形的內部.（×）（×）（√）（√）（√）當堂練習（√）（√）2023/7/1212.如圖，⊙O內切于△ABC，切點D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(

)A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝∠EOF＝55°.B2023/7/122·BDEFOCA3.如圖，△ABC的內切圓的半徑為r,△ABC的周長為l,求△ABC的面積S.解：設△ABC的內切圓與三邊相切于D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r2023/7/123設△ABC的三邊為a、b、c，面積為S，則△ABC的內切圓的半徑r＝;當△ABC為直角三角形，a,b為直角邊時,r=.2sa＋b＋caba＋b＋c知識拓展2023/7/124證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE為⊙O的切線.4.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.OABCEP2023/7/1255.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M.求證：CD與⊙O相切．證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．MN2023/7/1266.已知：△ABC內接于☉O，過點A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：

①_________；②_____________.（2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC圖1圖22023/7/127證明：連接AO并延長交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D與∠B同對,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線.AFEOBC圖2D2023/7/1287.如圖，已知E是△ABC的內心，∠A的平分線交BC于點F，且與△ABC的外接圓相交于點D.(1)證明：∵E是△ABC的內心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(1)求證：BD＝ED；2023/7/129(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的長．(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝

AD＝×8