北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.已知，則（）A.0B.1C.D.22.如圖，在平行六面體中，（）A.B.C.D.3.已知，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.4.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為（）A.1B.C.D.5.設(shè)分別是平面的法向量，其中，若，則（）A.B.C.3D.6.已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，則直線與所成角的度數(shù)為（）A.B.C.D.7.已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A.B.C.D.或9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，且關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.10.在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則和夾角的余弦值為（）A.B.C.D.二?填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11.已知向量，則與共線的單位向量為__________.12.已知向量且，則__________，__________.13.已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________.14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知.則與的夾角的余弦值為__________；在的投影向量__________.15.以下關(guān)于空間向量的說法：①若非零向量滿足，則②任意向量滿足③若為空間向量的一組基底，且，則四點(diǎn)共面④已知向量，若，則為鈍角其中正確命題的序號(hào)是__________.三?解答題（共4道大題，共60分）16.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面的法向量；（3）求點(diǎn)到平面的距離.17.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.如圖，在平行六面體中，，與相交于點(diǎn)，設(shè).（1）試用基底表示向量；（2）求的長(zhǎng)；（3）求直線與直線所成角.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn).（1）求證：；（2）若平面，求平面與平面的夾角大??；（3）在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由.參考答案一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】依題意，，則.故選：C2.【答案】C【分析】利用向量的加減法法則計(jì)算即可.【詳解】故選：C3.【答案】B【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：B.4.【答案】A【分析】結(jié)合圖形利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：A.5.【答案】D【分析】本題根據(jù)圖形關(guān)系得到，得到，解出即可.【詳解】，且分別是平面的法向量，則，則有，故，則.故選：D.6.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量夾角公式，代入即可得到向量夾角，同時(shí)注意直線夾角的范圍.【詳解】直線方向向量，直線方向向量，，所以兩向量夾角為，直線和所成角為，故選：B.7.【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)及其法向量和方向向量的關(guān)系判斷即可.【詳解】為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，若，則或，充分性不成立，若，則，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.【答案】C【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.【詳解】，與不能構(gòu)成空間基底；故選：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)的距離公式求解【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以，所以，故選：D10.【答案】A【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)取的中點(diǎn)為，即可知即為異面直線和的夾角的平面角，計(jì)算出各邊長(zhǎng)利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】連接，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由正四面體的棱長(zhǎng)為1可得，又分別是的中點(diǎn)，所以，且，所以即為異面直線和的夾角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夾角的余弦值為.故選：A二?填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11.【答案】或【分析】求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，所以，所以與共線的單位向量為或.故答案為：或.12.【答案】（1）（2）【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系即可求解；根據(jù)向量的加法及模的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，所以；因?yàn)?，，所?故答案為：；.13.【答案】3【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到點(diǎn)到直線的距離.【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)由題意得，，，所以.故答案為：3.14.【答案】①②【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，在的投影向量?故答案為：.15.【答案】①③【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷①；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷②；根據(jù)可判斷③；當(dāng)時(shí)可判斷④.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槭欠橇阆蛄浚覞M足，故存在實(shí)數(shù)使得，，故，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)椴灰欢ü簿€且向量的數(shù)量積為實(shí)數(shù)，所以不一定成立，故②不正確；對(duì)于③，若為空間向量的一組基底，所以三點(diǎn)不共線，，且，所以，則四點(diǎn)共面，所以③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，反向共線，有為，所以④不正確.故答案為：①③.三?解答題（共4道大題，共60分）16.【答案】（1）證明見解析；（2），答案不唯一；（3）.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的長(zhǎng)度即可.【小問1詳解】因?yàn)槭钦襟w，故可得面，又面，故可得.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如下所示：則可得：，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，故平面的一個(gè)法向量為.【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.故點(diǎn)到平面的距離為.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由已知建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用線面平行的向量判定方法求解即可；（2）根據(jù)線面角的向量求解公式求解即可.【小問1詳解】如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，在平面內(nèi)做與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，所以，即為平面的一個(gè)法向量，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?詳解】由（1）知，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用數(shù)量積求模長(zhǎng)即可；（3）利用空間向量線線角的向量法求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】，所以，，，由（1）知，所以，所以；【小問3詳解】，，，所以與所成角為，所以直線與直線所成角為.19.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）由題設(shè)知，連，設(shè)交于于，由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸?軸?軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量與，結(jié)合數(shù)量積即可證明；（2）分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；（3）要使平面，只需與平面的法向量垂直即可，結(jié)合（2）中求出的平面的一個(gè)法向量，即可求解.【