湖南省永州市消浦鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

湖南省永州市消浦鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合，則集合A中元素的個數(shù)是（）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B2.已知集合，則集合A∩B的元素個數(shù)為（

）

A．0

B．2

C．5

D．8參考答案：B，,所以元素個數(shù)為2個3.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a參考答案：A【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．

【分析】利用估值法知a大于1，b在0與1之間，c小于0．【解答】解：，由指對函數(shù)的圖象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故選A【點評】估值法是比較大小的常用方法，屬基本題．4.在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.設(shè)是兩個非零向量，則“>0"是“夾角為銳角”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：B6.設(shè)等比數(shù)列的公比q=2，前n項和為Sn，則=A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知在等邊三角形中，是的中點，點是內(nèi)任意一點，則的面積大于的面積的2倍的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知函數(shù)，且在圖象一點處的切線在y軸上的截距小于0，則a的取值范圍是

（

）

A．（-1，1）

B．

C．

D．參考答案：C9.已知由不等式組，確定的平面區(qū)域的面積為7，定點M的坐標(biāo)為，若，O為坐標(biāo)原點，則的最小值是A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】簡單線性規(guī)劃．E5【答案解析】B

解析：依題意：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為，由直線恒過點，且原點的坐標(biāo)恒滿足，當(dāng)時，，此時平面區(qū)域的面積為，由于，由此可得.由可得，依題意應(yīng)有，因此（，舍去）故有，設(shè)，故由，可化為，所以當(dāng)直線過點時，截距最大，即取得最小值，故選B．【思路點撥】首先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)直線恒過點B（0，2），且原點的坐標(biāo)恒滿足，當(dāng)k=0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6，由于6＜7，由此可得k＜0．聯(lián)立方程組求出D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得k的值，最后把轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)解決．10.設(shè)集合，則等于(

)A．{1，2，3，4}

B．{1，2，4，5}C．{1，2，5}

D．{3}參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為直線，過拋物線上一點作于，若直線的傾斜角為，則

．參考答案：

【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)．H7解析：令=或=或．點只能在拋物線上半部分，設(shè)點為，，，解得，．故答案為?！舅悸伏c撥】利用拋物線的定義即可得出結(jié)論．12.函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，則＋的最小值為________．參考答案：4函數(shù)y＝a1－x的圖像過點(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．13.教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是

.參考答案：答案：用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)

14.已知集合，，若，則

▲

．參考答案：略15.已知集合表示的平面區(qū)域為Ω，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點P（x，y），則點P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由

我們易畫出圖象求出其對應(yīng)的面積，即所有基本事件總數(shù)對應(yīng)的幾何量，再求出區(qū)域內(nèi)和圓重合部分的面積，代入幾何概型計算公式，即可得到答案．【解答】解：滿足區(qū)域為△ABO內(nèi)部（含邊界），與圓x2+y2=2的公共部分如圖中陰影扇形部分所示，則點P落在圓x2+y2=2內(nèi)的概率概率為：P===．故答案為：．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）/N求解．16.在中，，，，點為的中點，則

．參考答案：1

17..一名工人維護(hù)3臺獨立的游戲機(jī)，一天內(nèi)這3臺需要維護(hù)的概率分別為0.9、0.8和0.6，則一天內(nèi)至少有一臺游戲機(jī)不需要維護(hù)的概率為______（結(jié)果用小數(shù)表示）參考答案：0.568【分析】記“至少有一臺游戲機(jī)不需要維護(hù)”為事件，首先求解出，利用對立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記“至少有一臺游戲機(jī)不需要維護(hù)”為事件則

本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查對立事件概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）在四棱錐中，底面是正方形，為的中點.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若在線段上是否存在點，使？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（I）連接.

由是正方形可知,點為中點.

又為的中點，

所以∥….2分

又

所以∥平面………….4分(II)證明：由

所以由是正方形可知,

又

所以………………..8分

又

所以…………..9分(III)在線段上存在點，使.

理由如下：

如圖，取中點，連接.

在四棱錐中，，

所以.…………………..11分

由（II）可知，而

所以，

因為

所以………….13分

故在線段上存在點，使.由為中點，得……………14分19.已知函數(shù)h（x）=﹣2ax+lnx．（1）當(dāng)a=1時，求h（x）在（2，h（2））處的切線方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1?x2＞，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若存在x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2對任意a（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=1時，h（x）=﹣2x+lnx，h′（x）=﹣2+，求出切線斜率、切點坐標(biāo)，即可求h（x）在（2，h（2））處的切線方程；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得f′（x）=0有兩個不等式實數(shù)根x1、x2，且x1?x2＞，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)于a的不等式，從而可求a的范圍（3）由（2）中a的范圍可判斷f（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，+∞）上的單調(diào)性及x2=1+＜1+，可得f（x）在[1+，2]單調(diào)遞增，從而可求f（x）max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．通過研究函數(shù)g（a）=ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1的單調(diào)性可求【解答】解：（1）當(dāng)a=1時，h（x）=﹣2x+lnx，h′（x）=﹣2+，x=2時，h′（2）=﹣，h（2）=﹣4+ln2，∴h（x）在（2，h（2））處的切線方程為y+4﹣ln2=﹣（x﹣2）；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0可得ax2﹣2ax+1=0∴，解得a的取值范圍M=（1，2）．

…（6分）（3）由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=1﹣，x2=1+，而f（x）在（0，x1）上遞增，在（x1，x2）上遞減，在（x2，+∞）上遞增∵1＜a＜2，∴x2=1+＜1+，∴f（x）在[1+，2]單調(diào)遞增∴在[1+，2]上，f（x）max=f（2）=﹣2a+ln2．

∴?x0∈[1+，2]，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2對?a∈M恒成立，等價于不等式﹣2a+ln2+ln（a+1）＞m（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2恒成立即不等式ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1＞0對任意的a（1＜a＜2）恒成立．令g（a）=ln（a+1）﹣ma2﹣a+m﹣ln2+1，則g（1）=0，g′（a）=，①當(dāng)m≥0時，g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上遞減．g（a）＜g（1）=0，不合題意．②當(dāng)m＜0時，g′（a）=，∵1＜a＜2若﹣（1+）＞1，即﹣＜m＜0時，則g（a）在（1，2）上先遞減，∵g（1）=0，∴1＜a＜2時，g（a）＞0不能恒成立；若﹣（1+）≤1，即m≤﹣時，則g（a）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴g（a）＞g（1）=0恒成立，∴m的取值范圍為（﹣∞，﹣]．【點評】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值中的應(yīng)用，要注意分類討論思想及構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．20.已知函數(shù)在點處的切線與y軸垂直．（1）若a＝1，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù).（2）（1），由題，解得，由a＝1，得b=1.因為的定義域為，所以，故當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，（2）由（1）知b＝2－a，所以.（i）若，則由（1）知，即恒成立．（ii）若，則且，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)，，即恒成立．（iii）若，則且，故當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，由題只需即可，即，解得，而由，且，得．（iv）若，則，為增函數(shù)，且，所以，，不合題意，舍去；（v）若，則，在上都為增函數(shù)，且，所以，，不合題意，舍去；綜上所述，a的取值范圍是．21.（本小題滿分12分）設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列

的前項和為，滿足，，．

（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由，得

又（，則得所以，當(dāng)時也滿足． （Ⅱ），所以，使數(shù)列是單調(diào)遞減）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．則對都成立，

即，

，當(dāng)或時，所以．

略22.已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點，現(xiàn)沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為．（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EB的中點M，連接PM，QM，證明：平面PMQ∥平面BCD，即可證明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取EB的中點M，連接PM，QM，∵P為DE的中點，∴PM∥BD，∵PM?平面BCD，BD?平面BCD，∴PM∥平面BCD，同理MQ∥平面BCD，∵