包括邊界條件和初始條件課件

第一章滲流理論基礎(chǔ)肖長來吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院2009-10§1.7數(shù)學(xué)模型的建立及求解1.7.1數(shù)學(xué)模型的有關(guān)概念同一形式的偏微分方程代表了整個一大類的地下水流的運動規(guī)律，而對于不同邊界性質(zhì)、不同邊界形狀的含水層，水頭的分布是不同的。對于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定滲流區(qū)條件的全部信息，方程可能存在無數(shù)個解，如需要從大量的可能解中求得與特定區(qū)域條件相對應(yīng)的唯一特解，就必須提供反映特定區(qū)域特征的信息。這些信息包括：（1）微分方程中的有關(guān)參數(shù)m,K,m*，當(dāng)這些參數(shù)確定后，微分方程才能被確定下來。（2）滲流區(qū)范圍和形狀，當(dāng)微分方程所對應(yīng)的區(qū)域被確定之后才能對方程求解。（3）邊界條件(boundaryconditions)：表示滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。（4）初始條件(initialconditions)：表示滲流區(qū)的初始狀態(tài)，某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。 將邊界條件和初始條件并稱為定解條件(definitesolutioncondition)，微分方程和定解條件一起構(gòu)成滲流場的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型：描述某一研究區(qū)地下水流運動的數(shù)學(xué)方程與其定解條件共同構(gòu)成的表示某一實際問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。亦即從物理模型出發(fā)，用簡潔的數(shù)學(xué)語言，即一組數(shù)學(xué)關(guān)系式來刻畫它的數(shù)量關(guān)系和空間形式，從而反映所研究地質(zhì)體的地質(zhì)、水文地質(zhì)條件和地下水運動的基本特征，達到復(fù)制或再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)基本狀態(tài)的目的的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。其中微分方程表示地下水的流動規(guī)律，定解條件表明研究對象所處的特定環(huán)境條件，即所研究的地下水流的真實狀態(tài)。定解問題是給定了方程（或方程組）和相應(yīng)定解條件的數(shù)學(xué)物理問題。建立模型是指建立數(shù)學(xué)模型的過程。1.7.2定解條件1.定解條件 指水頭、流量等滲流運動要素在流場邊界上的已知變化規(guī)律，這種變化規(guī)律是由流場外部條件引起的，但它不斷地影響流場內(nèi)部的滲流過程并在整個期間一直起作用。包括邊界條件和初始條件。2.邊界條件 是滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應(yīng)滿足的條件，也就是滲流區(qū)內(nèi)水流與其周圍環(huán)境相互制約的關(guān)系。

(1)第一類邊界條件(Dirichlet條件)：如果在某一部分邊界(設(shè)為Sl或Γ1)上，各點在每一時刻的水頭都是已知的，則這部分邊界就稱為第一類邊界或給定水頭的邊界，表示為:或

給定水頭邊界不一定就是定水頭邊界。 可以作為第一類邊界條件來處理的情況：①河流或湖泊切割含水層，兩者有直接水力聯(lián)系時，這部分邊界就可以作為第一類邊界處理。此時，水頭y是一個由河湖水位的統(tǒng)計資料得到的關(guān)于t的函數(shù)。但要注意，某些河、湖底部及兩側(cè)沉積有一些粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。（1-103）（1-103） 在自然界，這種情況很少見。就是附近有河流、湖泊，也不一定能處理為定水頭邊界，還要視河流、湖泊與地下水水力聯(lián)系的情況，以及這些地表水體本身的徑流特征而定。在沒有充分依據(jù)的情況下，不要隨意把某段邊界確定為定水頭邊界，以免造成很大誤差。 ②區(qū)域內(nèi)部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作為給定水頭的內(nèi)邊界來處理。此時，水頭通常是按某種要求事先給定，例如給定抽水井的允許降深等。上面介紹的都只是給定水頭的邊界。注意，給定水頭邊界不一定是定水頭邊界。③排泄地下水的溢出帶、沖溝或排水渠的邊界也可近似看作給定水頭邊界。

(2)第二類邊界條件(Neumam條件)：當(dāng)知道某一部分邊界(設(shè)為S2或Γ2)單位面積(二維空間為單位寬度)上流入(流出時用負值)的流量q時，稱為第二類邊界或給定流量的邊界。相應(yīng)的邊界條件表示為:或式中，n為邊界S2或Γ2的外法線方向。q1和q2則為已知函數(shù)，分別表示S2上單位面積和Γ2上單位寬度的側(cè)向補給量。常見的這類邊界條件：①隔水邊界（流線、分水嶺）：（1-105）（1-106）（1-107）②抽水井或注水井：③補給或排泄地下水的河渠邊界上，如已知補給量。（3）第三類邊界條件：某邊界上H和的線性組合是已知的，即有：又稱混合邊界條件，，為已知函數(shù)。邊界為弱透水層（滲透系數(shù)為K1，厚度或?qū)挾葹閙1），（1-108）（1-109）在s3上,在

上,浸潤曲線的邊界條件：當(dāng)浸潤曲線下降時，從浸潤曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量q為：式中，為給水度，為浸潤曲線外法線與鉛垂線間的夾角。（1-110）（1-111）（1-112）（1-113）3.初始條件

某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。或其中，H0為D上的已知函數(shù)。（1-114）（1-115）

(1)線性、非線性模型 模型由線性方程所組成，稱為線性模型，如均質(zhì)各向同性承壓二維流方程。模型由非線性方程所組成，稱為非線性模型，如潛水模型方程。

(2)靜態(tài)、動態(tài)模型根據(jù)模型中未知變量與時間的關(guān)系進行劃分，若未知變量與時間無關(guān)，如穩(wěn)定流模型，稱為靜態(tài)模型，反之，則為動態(tài)模型。1.7.3滲流數(shù)學(xué)模型的分類

(3)集中、分布參數(shù)模型 模型中不含有空間坐標變量的模型，稱為集中參數(shù)模型，如抽水井流量與降深之間的經(jīng)驗公式。模型中含有空間坐標變量的模型，稱為分布參數(shù)模型。(4)確定性與隨機性模型

確定性模型：數(shù)學(xué)模型中各變量之間有嚴格的數(shù)學(xué)關(guān)系的模型。

隨機性模型：數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有一個或多個隨機變量的模型。用確定性模型來描述實際地下水流時，如前述，必須具備下列條件：①有一個(或一組)能描述這類地下水運動規(guī)律的偏微分方程；同時，確定了相應(yīng)滲流區(qū)的范圍、形狀和方程中出現(xiàn)的各種參數(shù)值。②給出相應(yīng)的定解條件。對所建立的模型進行檢驗，即把模型預(yù)測的結(jié)果與通過抽水試驗或其它試驗對含水層施加某種影響后所得到的實際觀測結(jié)果或一個地區(qū)地下水動態(tài)長期觀測資料進行比較，看兩者是否一致。若不一致，就要對模型進行校正，即修正條件(1)和(2)直至滿意擬合為止。這一步驟稱為識別模型或校正模型。經(jīng)過校正后的模型，能代表所研究的地質(zhì)體，或者說是實際水流系統(tǒng)的復(fù)制品了，因而可以根據(jù)需要，用這個模型進行計算或預(yù)測，例如預(yù)測礦床疏干時的涌水量及地下水污染情況預(yù)測等。③解(即滿足條件①和②的解)是存在的(存在性)；④解是唯一的(唯一性)；要求所提問題的解存在和唯一是不言而喻的。 ⑤解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的(穩(wěn)定性)。即穩(wěn)定性的要求，意味著當(dāng)參數(shù)或定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是很微小的。只有有了這條保證，當(dāng)參數(shù)和定解條件的數(shù)據(jù)有某些誤差時，所求得的解才能仍然接近于真解；否則，解是不可信的，并應(yīng)該認為此時的數(shù)學(xué)模型是有毛病的。在實際工作中，原始數(shù)據(jù)有某種誤差，在所難免，所以這個條件很重要。

適定問題（Well–posedproblem

）是指數(shù)學(xué)模型滿足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的（穩(wěn)定性）這三個條件的問題。只要有一條不滿足就是不適定問題。正問題是根據(jù)數(shù)學(xué)模型、給定的含水層水文地質(zhì)參數(shù)和定解條件求解水頭的問題，又稱水頭預(yù)報問題。逆問題（inverseproblem）是根據(jù)數(shù)學(xué)模型、動態(tài)觀測資料或抽水試驗資料反過來確定含水層水文地質(zhì)參數(shù)的問題。

(1)確定研究區(qū)的范圍及滲流區(qū)的邊界；

(2)確定滲流區(qū)的水力特征（包括埋藏條件、滲流狀態(tài)、介質(zhì)特征）；

(3)確定滲流區(qū)的邊界條件；

(4)確定滲流區(qū)的源匯項；

(5)選擇微分方程；

(6)確定滲流區(qū)的初始條件。1.7.4建立數(shù)學(xué)模型的基本要點1.解析法（analyticmethod）概念：用參數(shù)分析及積分變換等方法直接求解數(shù)學(xué)模型解的方法。解析解（Analyticsolution）：又稱精確解，是用解析方法求解數(shù)學(xué)問題所得到的解析表達式。特點：其解為精確解，使用簡單；該方法存在一定的局限性。應(yīng)用：只適用于含水層幾何形狀規(guī)則、方程式簡單、邊界條件單一的情況。

1.7.5滲流數(shù)學(xué)模型的解法2.數(shù)值法(numericalmethod)概念：用數(shù)值方法（離散化方法）求解數(shù)學(xué)模型的方法。數(shù)值解(Numericalsolution)是用數(shù)值方法求得的數(shù)值解，是一種近似解。原理：它把整個滲流區(qū)分割成若干個形狀規(guī)則的小單元，每個小單元近似處理成均質(zhì)的，然后建立每個單元地下水流動的關(guān)系式；把形狀不規(guī)則的、非均質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為形狀規(guī)則的均質(zhì)問題。根據(jù)研究需要，確定單元劃分數(shù)量，對于非穩(wěn)定流還要對時段進行劃分；最后，把局部整合起來，加上定解條件。應(yīng)用：求解大型地下水流問題的主要方法，可以很方便地處理解析法難以解決的因難。事實上，它對任何復(fù)雜的地下水流問題都能給出有足夠精度的解，適用于水文地質(zhì)的很多領(lǐng)域，如水量計算、水質(zhì)模擬等。常用方法：有限差分法，有限元法，邊界元法等。方案1預(yù)報方案5預(yù)報承壓水等水位線(2018)方案4預(yù)報方案6預(yù)報承壓水等水位線方案5預(yù)報方案6預(yù)報數(shù)值模型預(yù)測地下水流場圖3.模擬法模擬法是利用物理現(xiàn)象與水流的相似性，在實驗室內(nèi)采用模擬的方法求解。模擬法(指物理模擬)是用相似模型再現(xiàn)滲流動態(tài)和過程的實驗方法。它不僅能夠模擬解析法難以求解的復(fù)雜問題，而且在檢驗基本理論和需要觀察滲流過程中可能出現(xiàn)的物理現(xiàn)象(如彌散和管涌現(xiàn)象)時，更離不開模擬法。但由于模擬法所固有的一些局限性，近20多年來，在解決實際水文地質(zhì)問題中，模擬法已基本上為數(shù)值法所取代了。模擬的相似條件幾何相似：即在原型和模型的有限空間內(nèi)，對應(yīng)點的坐標或?qū)?yīng)長度應(yīng)滿足固定的比值。時間相似：原型和模型可以同步運行，但在滲流模擬中很少應(yīng)用。常用的是模型過程需要加速進行，所以原型和模型的時間也應(yīng)保持固定比值at＝tm/t，而且在整個運行過程中at保持不變。參數(shù)相似：在兩個系統(tǒng)中對應(yīng)的物理參數(shù)，必須保持線性關(guān)系。初值相似：在兩個系統(tǒng)中，對應(yīng)物理量的初值，都應(yīng)滿足固定比值。邊值相似：在兩個系統(tǒng)中，對應(yīng)物理量及其導(dǎo)數(shù)在邊界上分布的邊值同樣應(yīng)當(dāng)滿足固定比值。當(dāng)邊值隨時間變化時，還要保持邊值的時間相似?！?.8疊加原理1.8.1疊加原理的表達式對于由線性偏微分方程和線性定解條件組成的定解問題，可以運用疊加原理，它對求解干擾井問題和邊界附近的井流問題用處很大。疊加原理可表述為：如H1，H2，...Hn是關(guān)于水頭H的線性偏微分方程的特解，C1，C2，...Cn為任意常數(shù)，則這些特解的線性組合：

（1-116）仍是原方程的解。式（1-116）的Ci這些常數(shù)，要根據(jù)H所滿足的邊界條件來確定。如方程是非齊次的，并設(shè)H。為該非齊次方程的一個特解，H1和H2為相應(yīng)的齊次方程的二個解，則

H=Ho+ClH1+C2H2（1-117）也是該非齊次方程的解。常數(shù)Cl和C2由H所滿足的邊界條件確定。1.8.2疊加解的物理意義降深(負水頭值-s1(x,y)和-s2(x,y))。三者疊加便得邊界條件和抽水井同作用下的水頭值:

H=H1-s1-s2上述例子可推廣到有抽水井或注水井的情況。對非穩(wěn)定井流，也可作類似分析。圖1-20剖面上解的疊加示意圖由圖1-20可見，首先求出不存在抽水井時，由邊界條件單獨影響形成的水頭H