第2章一元二次方程

第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及有關概念.2.會用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型的方法.4.提出問題、分析問題,建立一元二次方程的數(shù)學模型,并用該模型解決實際問題.1.通過豐富的實例,讓學生合作探討,老師點評分析,建立數(shù)學模型,根據(jù)數(shù)學模型恰如其分地給出一元二次方程的概念.2.通過掌握形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接開平方法,導入用配方法解一元二次方程,再通過大量的練習鞏固配方法解一元二次方程.3.通過用已學的配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)推導出一元二次方程的求根公式,導入用公式法解一元二次方程.4.通過實例探索一元二次方程的根與系數(shù)的關系.1.經(jīng)歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程,使同學們體會到一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型.2.經(jīng)歷用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的過程,使同學們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.3.經(jīng)歷設置豐富的問題情境,使學生體會到建立數(shù)學模型解決實際問題的過程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學生的學習興趣.本章的主要內(nèi)容包括:一元二次方程及其有關概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),運用一元二次方程分析和解決實際問題.其中解一元二次方程的基本思路和具體解法是本章的重點內(nèi)容.方程思想是科學研究中重要的數(shù)學思想,也是后續(xù)內(nèi)容學習的基礎和工具,本章是對一元一次方程知識的延續(xù)和深化,同時為二次函數(shù)的學習做好準備.數(shù)學建模思想的教學在本章得到進一步滲透和鞏固.在總體設計思路上,本章遵循了“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式,首先通過具體的問題情境建立有關方程,并歸納出一元二次方程的有關概念,然后探索其各種解法,并在現(xiàn)實情境中加以應用,切實提高學生的應用意識和能力.具體來講,第1節(jié)通過豐富的實例,如“地毯四周有多寬”“梯子的底滑動多少米”等問題,建立一元二次方程,讓學生通過觀察歸納出一元二次方程的有關概念,并從中體會方程的模型思想;第2~4節(jié)通過具體方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5節(jié)在求根公式的基礎上,探索一元二次方程的根與系數(shù)的關系;第6節(jié)再次通過幾個問題情境加強一元二次方程的應用.【重點】1.一元二次方程及其他有關的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學模型,并解決這個問題.【難點】1.用配方法解一元二次方程及實際問題.2.用公式法解一元二次方程時的討論.3.一元二次方程的根的判別式的相關知識.4.一元二次方程的根與系數(shù)的關系.5.建立一元二次方程實際問題的數(shù)學模型,理解方程的解與實際問題的解的區(qū)別.1.聯(lián)系已有的相關知識,如一次方程、方程組,以及函數(shù)知識,進一步提高學生整體應用數(shù)學建模思想的意識和能力.一元二次方程的解法中,滲透“降次”的轉(zhuǎn)化思想,體會不同解法的優(yōu)缺點與相互的聯(lián)系,培養(yǎng)學生靈活解一元二次方程的能力與扎實的運算功底,對實際問題的探索不要以繁、難、偏、舊的問題作為學生探究性學習的題材.2.對于“一元二次方程的根的判別式”,為了教學,應適當添加習題,使學生理解一元二次方程的根的存在情況與系數(shù)的關系.3.對于“一元二次方程的根與系數(shù)的關系(韋達定理)”,為了后續(xù)學習(包括初、高中函數(shù)的學習)的方便,可根據(jù)學生情況,在教學中安排1-2課時,組織學生進行這方面的簡單探究活動.4.對于含字母系數(shù)的一元二次方程的解法,建議老師們應以至少一節(jié)課的內(nèi)容加以補充,添加適當?shù)牧曨}.1認識一元二次方程2課時2用配方法求解一元二次方程2課時3用公式法求解一元二次方程2課時4用因式分解法求解一元二次方程1課時*5一元二次方程的根與系數(shù)的關系1課時6應用一元二次方程2課時1認識一元二次方程理解一元二次方程及其相關概念.經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的概念的過程,進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型.經(jīng)歷估計一元二次方程的解的過程,增進對方程的解的認識,進一步培養(yǎng)估算意識和能力,發(fā)展數(shù)感.【重點】一元二次方程的概念及一般形式.【難點】1.由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的過程.2.正確識別一般形式中的“項”及“系數(shù)”.第課時了解一元二次方程的概念和它的一般形式,會根據(jù)實際問題列一元二次方程.經(jīng)歷由實際問題抽象出一元二次方程的過程,進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型.在列方程的過程中體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型.【重點】一元二次方程的概念和一般形式.【難點】正確理解和掌握一般形式中的“a≠0”,“項”和“系數(shù)”.【教師準備】預設學生學習過程中存在的問題.【學生準備】復習有關方程的知識.導入一:幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如圖所示),你能求出這個寬度嗎?如果設所求的寬度為xm,那么你能列出怎樣的方程?導入二:觀察下面等式:102＋112＋122＝132＋142.你還能找出五個連續(xù)整數(shù),使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎?如果將這五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)設為x,那么怎樣用含x的代數(shù)式表示其余四個數(shù)?根據(jù)題意,你能列出怎樣的方程?導入三:如下圖所示,一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米?你能計算出滑動前梯子底端距墻的距離嗎?如果設梯子底端滑動xm,那么你能列出怎樣的方程?教師給出圖片,學生觀察、思考,然后教師提問,學生回答.[設計意圖]通過以上三個實例,在具體的情境中鞏固列方程的一般思路,為概念的提出賦予實際的意義.一、一元二次方程的概念思路一[過渡語]什么樣的方程是一元二次方程呢?由上面的三個問題,我們可以得到三個方程:(8-2x)(5-2x)＝18;x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2;(x＋6)2＋72＝102.這三個方程有什么共同特點?歸納:上面的方程經(jīng)過整理后都是只含有—個未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.[知識拓展]符合一元二次方程即符合以下三個條件:①只含有一個未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)為2;③是整式方程.我們把ax2＋bx＋c＝0(a,b,c為常數(shù),a≠0)稱為一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項,a,b分別為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).[設計意圖]在方程的比較中得到概念,能夠體現(xiàn)出合作探究的意識,同時提高了學生的歸納能力.思路二下面給出的方程與我們學習過的方程存在哪些相同點和不同點?(x-4)2＋(x-2)2＝x2;(30-2x)(20-2x)＝200.先讓學生在小組內(nèi)討論交流,然后回答問題.教師總結:①相同點:都是整式方程,都只含有一個未知數(shù).②不同點:一元一次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1,而這些方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.問題:類比一元一次方程,你能給這樣的方程起個名字嗎?帶著這個問題,請大家填寫下面的空格:像這樣,等號兩邊都是式,只含有個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是(二次)的方程叫做一元二次方程.

強調(diào):一元二次方程必須是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都屬于一元方程.【師生活動】現(xiàn)在請同學們觀察下列方程,然后判斷哪些是一元二次方程.(1)x2＋2x-4＝0;(2)3x3＋4x＝9;(3)3y2-5x＝7;(4)3x2＋x＝1;(5)y2-3y【師】大家先觀察這六個方程,它們都是整式方程嗎?如果不都是,請告訴老師,哪個方程不是整式方程?【生】(4)不是整式方程.【師】哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我們把它排除.接下來,大家繼續(xù)觀察,告訴老師,哪些方程不是一元的?【生】(3)不是一元的.【師】嗯,很好!方程(3)含有x和y兩個未知數(shù),所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排除它.我們繼續(xù)觀察,誰能告訴老師,哪些方程不是二次方程?【生】(2)不是二次方程.【師】很好!方程(2)中未知數(shù)的最高次數(shù)是3,所以它不是一元二次方程,說的很棒!將它排除.現(xiàn)在剩下了方程(1),(5),(6),觀察一下它們都具備一元二次方程定義里面的三要素嗎?【生】具備.【師】嗯,最終我們可以確定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.教師讓學生再舉出一些不是一元二次方程的方程,以加深學生對一元二次方程概念的理解掌握.[設計意圖]通過問題的設計與講解,類比一元一次方程和分式方程的定義學習一元二次方程,可使學生深刻理解一元二次方程的定義,掌握定義中的三要素,實現(xiàn)對定義由認識、記憶到理解、掌握的過渡,以達到質(zhì)的飛躍.二、例題講解[過渡語]剛剛我們學習了什么是一元二次方程,現(xiàn)在我們通過下面的幾個例題來看看同學們理解的怎么樣.判斷下列方程是否是一元二次方程.(1)2x-13x2-3(2)2x2-x＋5＝0;(3)ax2＋bx＋c＝0;(4)4x2-1x＋7＝0解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0時,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.[過渡語]下面我們再通過一個例題來理解一下一元二次方程的一般形式及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.把方程3x(x-1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式,并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.解:去括號,得3x2-3x＝2x＋4＋8,移項,合并同類項,得3x2-5x-12＝0,二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)是-5,常數(shù)項是-12.[設計意圖]通過例題的講評,進一步加強學生對一元二次方程相關概念的理解,從而突破本節(jié)課的重點和難點.[知識拓展]對于一元二次方程的一般形式的理解應注意以下四點:(1)“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分,因為方程ax2＋bx＋c＝0只有當a≠0時,才叫做一元二次方程,當a＝0,b≠0時,它是一元一次方程.(2)任何一個一元二次方程,經(jīng)過整理都可以變?yōu)橐话阈问?(3)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項都是在一般形式下定義的,所以求一元二次方程的各項系數(shù)時,必須先將方程化為一般形式.(4)要分清二次項與二次項系數(shù)、一次項與一次項系數(shù).1.只含有一個未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式,這樣的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).ax2,bx,c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項,a,b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).1.下列6個方程:(1)3x＋2＝13x2;(2)y＋y＝5;(3)y2＋2x-3＝0;(4)mnx2＋(m＋n)x＋1＝0;(5)x2-23x＋4＝0;(6)1y2＋其中是一元二次方程的是.(填序號)

解析:一元二次方程要符合以下三個條件:①只含有一個未知數(shù);②未知數(shù)的最高次數(shù)為2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).2.將方程3x2＝5x＋2化為一元二次方程的一般形式為.

解析:一元二次方程的一般形式為ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意移項時要注意變號,答案為3x2-5x-2＝0.故填3x2-5x-2＝0.3.一元二次方程2x2＋4x-1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之和為.

解析:二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為4,常數(shù)項為-1,所以它們的和為2＋4＋(-1)＝5.故填5.4.下列方程中,是一元二次方程的是 ()A.13x2＋5x＝2 B.2x3＋7x-C.x2＋1x2＝3 x-解析:本題主要考查一元二次方程的概念.觀察選項,只有A中的方程是一元二次方程.故選A.第1課時1.一元二次方程的概念2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第32頁隨堂練習.【選做題】教材第32頁習題2.1的3題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.一元二次方程的一般形式是.

2.將方程-5x2＋1＝6x化成一般形式為.

3.將方程(x＋1)2＝2x化成一般形式為.

4.方程2x2＝-8化成一般形式后,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為.

5.方程5(x2-2x＋1)＝-32x＋2的一般形式是,其二次項是,一次項是,常數(shù)項是.

【能力提升】6.若ab≠0,則1ax2＋1bx＝0的常數(shù)項是7.若方程ax2＋5＝(x＋2)(x-1)是關于x的一元二次方程,則a.

8.關于x的方程(m-4)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0,當時,是一元二次方程,當時,是一元一次方程.

【拓展探究】9.已知關于x的方程(k-2)x2-kx＝x2-1.(1)當k為何值時,方程為一元二次方程?(2)當k為何值時,方程為一元一次方程?【答案與解析】1.ax2＋bx＋c＝0(a,b,c為常數(shù),a≠0)(解析:要注意不能漏掉括號內(nèi)的條件.)2.-5x2-6x＋1＝0(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x2＋6x-1＝0.)3.x2＋1＝0(解析:也可以是-x2-1＝0.)4.08(解析:整理成一般形式為2x2＋8＝0,沒有一次項,故一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為8.)5.5x2-22x＋3＝05x2-22x36.07.≠1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x2-x＋7＝0,再使二次項系數(shù)不為0,則a≠1.)8.m≠4m＝49.解:方程可化為(k-3)x2-kx＋1＝0.(1)若方程為一元二次方程,則k-3≠0,即k≠3.(2)若方程為一元一次方程,則k-3＝0,k在實際教學中,有的學生對概念背得很熟,但在準確和熟練應用方面較差,缺乏應變能力.針對學生存在的這些問題,本節(jié)課突出對概念形成過程的教學,采用探索發(fā)現(xiàn)的方法研究概念,并引導學生進行創(chuàng)造性學習.教學中,運用啟發(fā)引導的方法讓學生從實際的問題出發(fā),觀察發(fā)現(xiàn)并歸納出一元二次方程的概念,啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并總結規(guī)律,最后達到解決問題的目的.學生對于將一元二次方程化為一般形式感覺困難不大,但寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時,部分學生容易忽略符號,作為第一次學習,這是難免的.本課時設計的教學內(nèi)容主要是一元二次方程的概念的推導和應用.在課堂教學中,可先從具體的背景出發(fā),激發(fā)學生的學習興趣,體會一元二次方程的使用價值,然后通過例題和練習進一步鞏固對概念的理解.隨堂練習(教材第32頁)1.解:(答案不唯一)設直角三角形的三邊長分別為x-1,x,x＋1(x>1),根據(jù)題意,得(x-1)2＋x2＝(x＋1)2,化成一般形式為x2-4x＝0.鼓勵學生選定不同的量設為未知數(shù),列出不同的方程.2.解:(答案不唯一)原方程可以化為5x2＋36x-32＝0,二次項系數(shù)是5,一次項系數(shù)是36,常數(shù)項是-32.習題2.1(教材第32頁)1.解:(1)設這個正方形的邊長是xm(x>0),根據(jù)題意,得(x＋5)(x＋2)＝54,即x2＋7x-44＝0.(2)設三個連續(xù)整數(shù)依次為x,x＋1,x＋2,根據(jù)題意,得x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242,即x2＋2x-80＝0.允許學生選擇不同量作為未知數(shù),但要求列出一元二次方程.2.解:(答案不唯一)如下表所示:方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2＝5x-13x2-5x＋1＝03-51(x＋2)(x-1)＝6x2＋x-8＝011-84-7x2＝07x2-4＝070-43.解:設竹竿長為x尺,則門框?qū)挒?x-4)尺,門框高為(x-2)尺,根據(jù)題意,得x2＝(x-4)2＋(x-2)2,即x2-12x＋20＝0.學生的知識技能基礎:學生在七年級已學過一元一次方程的概念,經(jīng)歷過由具體問題抽象出一元一次方程的過程,在八年級已學過二元一次方程組的概念,經(jīng)歷過由具體問題抽象出二元一次方程組的過程,已理解了“元”和“次”的含義,具備了學習一元二次方程的基本技能.學生的活動經(jīng)驗基礎:在相關知識的學習過程中,學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程,具有了一定的合作學習的經(jīng)驗和數(shù)學思考的能力,具備了一定的合作與交流的能力.已知關于x的方程(2a-4)x2-2bx＋a＝0.求滿足下列條件時a,b的取值范圍.(1)方程為一元二次方程;(2)方程為一元一次方程.〔解析〕觀察所給方程,根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義確定a,b的取值范圍.解:(1)由題意,得2a-4≠0,即a≠2.所以當a≠2時,方程是一元二次方程.(2)由題意,得2解得a＝2,b≠0.所以當a＝2且b≠0時,方程是一元一次方程.[解題策略]只含有一個未知數(shù)x,并且可以化為ax2＋bx＋c＝0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式的整式方程是一元二次方程.利用概念解決問題時,應抓住其中本質(zhì)的東西,一元二次方程與一元一次方程的區(qū)別是未知數(shù)的最高次數(shù)分別是2和1.第課時探索一元二次方程的解或近似解.通過具體實例探究一元二次方程的解.經(jīng)歷方程的解的探索過程,增進對方程的解的認識,培養(yǎng)估算意識和能力.【重點】探索一元二次方程的解或近似解.【難點】培養(yǎng)學生的估算意識和能力.【教師準備】預設課堂活動中學生可能提出的問題.【學生準備】復習有關方程的知識.導入一:在小學的時候,我們經(jīng)常用估算的方法計算一些問題.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范圍嗎?導入二:[過渡語]我們來看看上節(jié)課的第一個問題.幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如右圖所示),你能求出這個寬度嗎?如果設所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)＝18,你能估算出x大約是多少嗎?估算一元二次方程的解1.引例[過渡語](針對導入二)你能設法估計四周未鋪地毯部分的寬度x(m)嗎?我們知道,x滿足方程(8-2x)(5-2x)＝18.思路一(1)x可能小于0嗎?可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?說說你的理由.分析:因為40m2>18m2,所以x不可能小于0,因為8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.(2)你能確定x的大致范圍嗎?分析:x的大致范圍是0到2.5之間.但這只是一個大致的估計,精確度還有待于我們進一步去探討.(3)計算,填寫下表:x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)4028181040分析:由上表可以看出,如果寬度大于1,那么地毯的面積會小于18,不符合要求.如果寬度小于1,那么地毯的面積會大于18,也不符合要求.(4)你知道所求寬度x(m)是多少嗎?你還有其他求解方法嗎?與同伴交流.提示:通過表格的計算可以知道所求的寬度的大致范圍,通過解一元一次方程等方法可以求出具體的寬度.思路二(1)確定大致范圍.因為40m2>18m2,所以x不可能小于(),因為8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于(),綜合以上,分析x的大致范圍是()到()之間.(2)比較精確地估算.填寫下表后思考:x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)當x取0.5的時候,你發(fā)現(xiàn)了什么問題?當x取1.5的時候,你發(fā)現(xiàn)了什么?通過前面的發(fā)現(xiàn),你怎樣更精確地確定寬度的范圍?2.做一做[過渡語]剛剛我們解決了上一節(jié)課的第一個問題,我們再來看看上一節(jié)課的第三個問題能不能解決.(附圖)在前一節(jié)課的問題中,梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x＋6)2＋72＝102,即x2＋12x-15＝0.(1)小明認為底端也滑動了1m,他的說法正確嗎?為什么?分析:若底端也滑動了1m,此時(1＋6)2＋72<102,因此滑動的距離是大于1m的.(2)底端滑動的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么?分析:通過計算,可以得出下表,根據(jù)表格可知,x00.511.523x2＋12x-15-15-8.75-25.251330如果底端滑動的距離是2m或者3m,那么x2＋12x-15的值都大于0,即(x＋6)2＋72>102,所以底端滑動的距離小于2m.(3)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎?分析:根據(jù)前面的分析,得出x的取值范圍大致是1<x<1.5,但這還不是一個很精確的數(shù)字.(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?分析:通過計算,得出下表:x1.11.21.31.4x2＋12x-15-0.590.842.293.76根據(jù)上表思考:當x取1.3和1.4的時候,哪個數(shù)字更接近真實值?(1.3更接近)當x取1.2和1.3的時候,哪個數(shù)字更接近真實值?(1.2更接近)當x取1.1的時候,與真實值是什么關系?(小于真實值)當x取1.2的時候,與真實值是什么關系?(大于真實值)綜合上述分析,我們可以進一步確定x的取值范圍是1.1<x<1.2.所以x的整數(shù)部分是1,十分位是1.[知識拓展]估計一元二次方程近似解的基本思路:將一元二次方程變形為一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0),分別將x1,x2代入等式左邊,當獲得的值為一正、一負時,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.這是因為當ax12＋bx1＋c<0(或>0)而ax22＋bx22＋c>0(或<0)時,在x1到x2之間由小變大時,ax2＋bx＋c的值也將由小于0(或大于0),逐步變成大于0(或小于0),其間ax2＋bx＋c1.在解決某些實際問題的時候,可以根據(jù)實際情況確定出方程解的大致范圍.一般采用“夾逼法”,選取的未知數(shù)數(shù)值計算的結果的絕對值越接近0,這個數(shù)值就越接近未知數(shù)的真實值.2.采用“夾逼法”求一元二次方程近似解的一般步驟:(1)將方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?(2)根據(jù)實際情況確定方程的解的大致范圍;(3)根據(jù)方程的解的大致范圍,在這個范圍內(nèi)取一個整數(shù)值,然后把這個值代入方程左邊的代數(shù)式進行驗證,看是否能使方程左邊代數(shù)式的值為0,如果為0,那么這個數(shù)就是方程的解;如果不為0,那么根據(jù)這個整數(shù)再找出一個使方程左邊的值最接近于0但小于0的整數(shù),這個數(shù)就是方程的解的整數(shù)部分;(4)保留整數(shù)部分不變,小數(shù)部分可參照求整數(shù)部分的方法進行,以此類推可得出該方程更準確的近似解.1.根據(jù)下表,判斷方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的一個解x的范圍是 ()x33.233.243.253.26ax2＋bx＋c-0.07-0.06-0.020.030.09A.3<x<3.23 .23<x<3.24.24<x<3.25 .25<x<3.26解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當x的值由3.24變化到3.25時,ax2＋bx＋c的值由-0.02變化到0.03,所以在3.24到3.25之間存在一數(shù)值,使ax2＋bx＋c的值等于0.故選C.2.用22cm長的鐵絲,折成一個面積為15cm2的矩形,設矩形的一邊長為xcm,則x的大致范圍是 ()A.x>0 B.0<x<1C.1<x<2 D.2<x<3解析:對于實際問題的近似解的問題,應先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍,再通過具體計算進行“夾逼”,逐步獲得其近似解,“夾逼”思想是近似計算的重要思想.由題意可列出方程(11-x)x＝15,整理得x2-11x＋15＝0,估算此一元二次方程解的范圍如下表所示:x01234x2-11x＋15155-3-9-13由此可知,當x在1~2之間取某一值時,x2-11x＋15可能等于零.故選C.3.如圖所示,某大學為改善校園環(huán)境,計劃在一塊長80m,寬60m的長方形場地的中央建一個長方形網(wǎng)球場,網(wǎng)球場占地面積為3500m2,四周為寬度相等的人行道,設人行道的寬為xm.(1)你能根據(jù)題意列出相應的方程嗎?(2)x可能小于0嗎?說說你的理由;(3)x可能大于40嗎?可能大于30嗎?說說你的理由;(4)你知道人行道的寬x是多少嗎?說說你的求解過程.解:(1)由題意得,網(wǎng)球場的長和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)＝3500,整理得x2-70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0,因為人行道的寬度不可能為負數(shù).(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因為當x>30時,網(wǎng)球場的寬60-2x<0,這不符合實際,當然x更不可能大于40.(4)由上面分析可知,x的大致范圍應為0<x<30,在這個范圍內(nèi)估算方程的近似解如下表所示:x234567…x2-70x＋325189124610-59-116…顯然,當x＝5時,x2-70x＋325＝0.因此,人行道的寬度應為5m.第2課時估算一元二次方程的解(1)引例(2)做一做一、教材作業(yè)【必做題】教材第35頁習題2.2.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)(精確到0.01),判斷方程x2＋5x-3＝0的一個解x的范圍是 ()x0.000.250.500.751.00x2＋5x-3-3.00-1.69-0.251.313.00.00<x<0.25 .25<x<0.50.50<x<0.75 .75<x<1.002.小穎對一元二次方程(8-2x)(5-2x)＝18的根做了如下表所示的估計:x0123(8-2x)(5-2x)40184-2由表格可知,此方程的一個根為 () 3.根據(jù)方程x2-3x-5＝0可列下表,則x的取值范圍是 ()x-3-2-1…456x2-3x-5135-1…-1513A.-3<x<-2或4<x<5B.-2<x<-1或5<x<6C.-3<x<-2或5<x<6D.-2<x<-1或4<x<54.根據(jù)下表可知,方程x2＋2x-10＝0的一個近似解為.

x…-4.1-4.2-4.3-4.4-4.5…x2＋2x-10…-1.39-0.76-0.110.561.25…【能力提升】5.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)(精確到0.001),猜想方程x2＋2x-100＝0的一個根大約是 ()x9.0309.0409.0509.0609.070x2＋2x-100-0.399-0.1980.0030.2040.405.025 .035 .045 .0556.觀察下表:x00.511.522.533.545x2-24x＋282817.2593.250-0.7515.2512從表中你能得出方程5x2-24x＋28＝0的根是多少嗎?如果能,寫出方程的根;如果不能,請寫出方程根的取值范圍.【拓展探究】7.某校矩形操場的長比寬多14m,面積是3300m2,求操場的寬的取值范圍(精確到十分位).【答案與解析】1.C(解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當x的值由0.50變化到0.75時,x2＋5x-3的值由-0.25變化到1.31,所以在0.50到0.75之間存在一數(shù)值,使x2＋5x-3的值為0.故選C.)2.B(解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當x的值等于1時,(8-2x)(5-2x)的值等于18,所以方程(8-2x)·(5-2x)＝18的一個解為x＝1.故選B.)3.D(解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當x的值由-2變化到-1時,x2-3x-5的值由5變化到-1,所以在-2到-1之間存在一數(shù)值,使x2-3x-5的值等于0,同理,當x的值由4變化到5時,x2-3x-5的值由-1變化到5,所以在4到5之間存在一數(shù)值,使x2-3x-5的值等于0.故選D.)4.-4.3(解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當x＝-4.3時,x2＋2x-10的值更接近于0,所以方程x2＋2x-10＝0的一個近似解為-4.3.)5.C(解析:由表格可得,在9.040到9.050之間存在使方程x2＋2x-100＝0成立的x的值.故選C.)6.解:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn):當x＝2時,5x2-24x＋28＝0,故方程5x2-24x＋28＝0有一個根是x＝2.又因為當x＝2.5時,5x2-24x＋28＝-0.75,當x＝3時,5x2-24x＋28＝1,故一元二次方程5x2-24x＋28＝0的另一個根的取值范圍是2.5<x<3.7.解析:先設出未知數(shù),列出方程,然后列表、取值、計算,縮小范圍,確定符合題意的未知數(shù)的取值范圍.解:設操場的寬為xm,則長為(x＋14)m,根據(jù)題意得x(x＋14)＝3300,整理得x2＋14x-3300＝0.列表如下:x5050.1…50.850.951x2＋14x-3300-100-88.59…-8.163.4115所以寬的取值范圍是50.8m~50.9m.課堂上把激發(fā)學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位,通過運用各種啟發(fā)、激勵性的語言以及小組合作學習等方式,幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度.本節(jié)課多次組織學生合作交流,通過小組合作,為學生提供展示自己聰明才智的機會,在此過程中,教師可以發(fā)現(xiàn)學生在分析問題和解決問題時的獨到見解以及出現(xiàn)的思維誤區(qū),這樣可以使得老師更好地指導今后的教學.在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.教師應對小組討論給予適當?shù)刂笇?包括知識的啟發(fā)引導,使小組合作學習更具實效性.本節(jié)課的重點是使學生在求解的過程中體會方程解的含義.教師應引導學生討論并探索求解的過程,防止學生在求解過程中只注重數(shù)據(jù)的計算,而忽略了對數(shù)據(jù)特點的分析,忽視了探求的意識.隨堂練習(教材第34頁)解:將這五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)設為x,那么其余四個數(shù)依次為x＋1,x＋2,x＋3,x＋4,根據(jù)題意,得x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2,即x2-8x-20＝0,可列下表:x-3-2-1…91011x2-8x-20130-11…-11013所以x＝-2或x＝10,因此這五個連續(xù)整數(shù)依次為-2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.習題2.2(教材第35頁)1.解:設苗圃的寬為xm,則長為(x＋2)m,根據(jù)題意,得x(x＋2)＝120,即x2＋2x-120＝0.列表如下:x89101112x2＋2x-120-40-2102348所以苗圃的寬為10m,長為12m.2.解:能.設矩形的寬為xm,則長為162-xm,根據(jù)題意,得x162-x＝15,即x2x1234x2-8x＋15830-1所以矩形的寬為3m,長為5m.3.解:根據(jù)題意,得10＋2.5t-5t2＝5,即2t2-t-2＝0.列表如下:t01232t2-t-2-2-1413所以1<t<2.進一步列表:t1.11.21.31.42t2-t-2-0.68-0.320.080.52所以1.2<t<1.3.因此他完成動作的時間最多不超過1.3s.學生的知識技能基礎:學生在七年級上學期學習的一元一次方程中,已經(jīng)學習過方程的解的概念,此后又分別在二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程中多次學習了關于方程(或方程組)的求解的過程.學生的活動經(jīng)驗基礎:在相關知識的學習過程中,學生已經(jīng)初步感受到了方程的模型作用,并積累了一些利用方程解決實際問題的經(jīng)驗,解決了一些實際問題.基于學生已有的估算意識和能力以及對方程的解的理解的基礎,提出了本節(jié)課的具體學習任務:經(jīng)歷一元二次方程解的探索過程,增進對方程解的認識,發(fā)展估算意識和能力,進一步提高學生分析問題的能力,培養(yǎng)學生大膽嘗試的精神,在嘗試的過程中體驗到學習數(shù)學的樂趣,培養(yǎng)學生的合作學習意識,學會在合作學習中相互交流.不解方程,估計方程x2-4x-1＝0的根的取值范圍(精確到0.1).解:當分別取x＝-0.3與x＝-0.2時,有(-0.3)2-4×(-0.3)-1＝0.29>0,(-0.2)2-4×(-0.2)-1＝-0.16<0.于是,方程x2-4x-1＝0必有一根在-0.3和-0.2之間.當分別取x＝4.2與x＝4.3時,有4.22-4×4.2-1＝-0.16<0,4.32-4×4.3-1＝0.29>0.于是,方程x2-4x-1＝0必有一根在4.2和4.3之間.[解題策略]如若不能準確選取x的值,也就無法進行估算,本例中x的取值-0.3,-0.2以及4.2,4.3是在進行多次試驗的基礎上獲得的,當然在估計之初是不可能得到這么好的數(shù)據(jù)的,一般可以隨便估計一個數(shù),計算出等式左邊的值,看它與等式右邊的關系,據(jù)此再估計x可能的取值,這樣可以估計出兩個根的范圍,再逐步逼近.2用配方法求解一元二次方程1.會用配方法解一元二次方程.2.了解用配方法解一元二次方程的步驟.1.理解并掌握配方法.2.通過探索配方法解一元二次方程的過程,體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.能利用一元二次方程解決實際問題,并增強學生的數(shù)學應用意識和能力.【重點】利用配方法解一元二次方程.【難點】理解配方法的過程.第課時1.會用直接開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程.2.會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程,體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.在獨立思考和合作探究的過程中,體會數(shù)學的價值,增強數(shù)學應用意識和能力.【重點】利用配方法解一元二次方程.【難點】把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為(x＋m)2＝n(n≥0)的形式.【教師準備】預設教學過程中學生可能出現(xiàn)的問題.【學生準備】復習有關完全平方式的知識.導入一:1.在上一節(jié)的問題中,梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程x2＋12x-15＝0,我們已經(jīng)求出了x的近似值,你能設法求出它的精確值嗎?2.你會解下列一元二次方程嗎?你是怎么做的?(1)x2＝5; (2)2x2＋3＝5;(3)x2＋2x＋1＝5; (4)(x＋6)2＋72＝102.解:(1)x2＝5?x＝±5.(2)2x2＋3＝5?2x2＝2?2x2＝1?x＝±1.(3)x2＋2x＋1＝5?(x＋1)2＝5?x＝-1±5.(4)(x＋6)2＋72＝102?(x＋6)2＝51?x＝-6±51.這些方程的共同點是什么呢?歸納:這些方程都可以寫成(x＋m)2＝n的形式,它的一邊是一個完全平方式,另一邊是一個常數(shù),當n≥0時,兩邊同時開平方,轉(zhuǎn)化為一元一次方程,便可求出它的根.這種求根的方法叫直接開平方法.[設計意圖]通過介紹直接開平方法,讓學生了解配方法解一元二次方程的理論基礎,配方的基本知識和方法,為熟練掌握配方法解一元二次方程打下基礎.導入二:1.你會解下列方程嗎?試一下.(1)x2＝9;(2)4x2＝7;(3)(x-2)2-9＝0.2.解上面幾個方程的時候用到了什么知識?你會解方程x2＋6x＋9＝25嗎?學生小組討論,集體交流.通過以上幾個題,我們發(fā)現(xiàn)方程的一邊可以整理成完全平方式,另一邊是非負數(shù)的形式,然后利用開平方來解.一、配方法[過渡語]如果我們要解的方程是x2＋12x-15＝0,該怎么辦呢?思路:把方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,兩邊開平方,便可求出方程的解.填上適當?shù)臄?shù),使下列等式成立.(1)x2＋12x＋＝(x＋6)2;

(2)x2-4x＋＝(x-)2;

(3)x2＋8x＋＝(x＋)2.

在上面等式的左邊,常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關系?(常數(shù)項等于一次項系數(shù)的一半的平方)通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法.二、配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟[過渡語]前面我們研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我們通過例題來總結一下用配方法解一元二次方程的基本步驟.(教材例1)解方程:x2＋8x-9＝0.解:移項,得:x2＋8x＝9,配方,得:x2＋8x＋42＝9＋42(兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方),即(x＋4)2＝25,開平方,得x＋4＝±5,即x＋4＝5或x＋4＝-5,所以x1＝1,x2＝-9.[知識拓展]利用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟:(1)移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;(2)配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,使左邊化成一個含有未知數(shù)的完全平方式的形式,右邊為一常數(shù);(3)開方:根據(jù)平方根的意義,方程兩邊開平方,使其化為一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:寫出原方程的解.[設計意圖]抓住主要問題精講,并總結規(guī)律,讓學生根據(jù)規(guī)律去學習配方法解一元二次方程的過程,體會解方程的步驟.[過渡語]剛剛我們學習了用配方法解一元二次方程的一般步驟,下面我們用剛學的方法來解決一個實際問題.已知一面積為120m2的矩形苗圃的長比寬多2m,則苗圃的長和寬各是多少?解:設矩形的寬為xm,則長為(x＋2)m,依題意,得x(x＋2)＝120,即x2＋2x＝120,方程可化為(x＋1)2＝121,解得x1＝10,x2＝-12(不合題意,舍去).則x＋2＝10＋2＝12(m).答:苗圃的長為12m,寬為10m.[設計意圖]通過配方法的應用,讓學生理解并掌握配方法,知道配方法是一種重要的解題方法,理解方程的解在實際問題中的意義.[知識拓展]課本中,我們利用了配方法解一元二次方程.實際上,配方法不僅可以用來解一元二次方程,在其他方面還有很多應用.配方法,顧名思義,就是利用添項或拆項的方法,結合已有項,構造完全平方式.回顧以往知識,我們曾經(jīng)利用圖形面積驗證完全平方公式,下面我們用圖形面積解釋配方法解方程的過程,如求方程x2＋10x＝39的解,把x2＋10x解釋為右圖中多邊形ABCDEF的面積,為了求出x,我們考慮把這塊圖形補成一個正方形,為此必須補上正方形DCGE.從圖中可以看出,正方形DCGE的面積為52(它恰好等于原方程中一次項系數(shù)一半的平方),由于大正方形的面積為39＋25＝64,可知這個大正方形的邊長為8,又由圖形可知邊長為x＋5,故x＝3.這里,我們直觀地看到了配方的幾何意義.有時受幾何圖形的限制,我們只能求出方程的正數(shù)解.1.通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法.2.配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟:(1)移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;(2)配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,使左邊化成含有未知數(shù)的完全平方式的形式,右邊為一常數(shù);(3)開方:根據(jù)平方根的意義,方程兩邊開平方,使其化為一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:寫出原方程的解.1.將方程x2-10x-11＝0化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式是.

解析:移項得x2-10x＝11,配方得x2-10x＋25＝11＋25,即(x-5)2＝36.故填(x-5)2＝36.2.用配方法解下列方程.(1)x2＋8x＝9;(2)x2＋2x-15＝0;(3)x2-6x＝2;(4)x2-x-1＝0.解:(1)配方,得x2＋8x＋42＝9＋42(兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方),即(x＋4)2＝25,開平方,得x＋4＝±5,即x＋4＝5或x＋4＝-5,所以x1＝1,x2＝-9.(2)移項,得x2＋2x＝15,配方,得x2＋2x＋12＝15＋12,即(x＋1)2＝16,開平方,得x＋1＝±4,即x＋1＝4或x＋1＝-4,所以x1＝3,x2＝-5.(3)配方,得x2-6x＋32＝2＋32,即(x-3)2＝11,開平方,得x-3＝±11,即x-3＝11或x-3＝-11,所以x1＝3＋11,x2＝3-11.(4)移項,得x2-x＝1,配方,得x2-x＋122＝1＋即x-122＝54即x-12＝52或x-1所以x1＝12＋52,x2＝第1課時1.配方法2.配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第37頁隨堂練習.【選做題】教材第37頁習題2.3的1題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.用適當?shù)臄?shù)填空.(1)x2＋6x＋＝(x＋)2;

(2)x2-5x＋＝(x-)2;

(3)x2＋x＋＝(x＋)2;

(4)x2-9x＋＝(x-)2.

2.將二次三項式x2-4x-5進行配方,其結果為.

3.若x2＋6x＋m2是一個完全平方式,則m的值是.

【能力提升】4.用配方法將二次三項式a2-4a＋5變形,結果是 ()A.(a-2)2＋1 B.(a＋2)2-1C.(a＋2)2＋1 D.(a-2)2-15.把方程x2＋3＝4x配方,得 ()A.(x-2)2＝7 B.(x＋2)2＝21C.(x-2)2＝1 D.(x＋2)2＝26.不論x,y為何值,代數(shù)式x2＋y2＋2x-4y＋7的值 () 【拓展探究】7.用配方法求解下列問題.(1)求x2-2x＋2的最小值;(2)求x2＋4x＋5的最小值.8.用配方法解下列方程.(1)x2-4x＝5;(2)x2-100x-101＝0;(3)x2＋8x＋9＝0;(4)y2＋22y-4＝0.【答案與解析】1.(1)93(2)2.522.5(3)0.520.5(4)4.524.5(解析:配方時注意是加上一次項系數(shù)一半的平方.)2.(x-2)2-9(解析:x2-4x-5＝x2-4x＋22-22-5＝(x-2)2-9.)3.±3(解析:由完全平方式的特點可知,第三項為一次項系數(shù)一半的平方,所以m2＝32＝9,所以m＝±3.)4.A(解析:a2-4a＋5＝a2-4a＋22-22＋5＝(a-2)2＋1.故選A.)5.C(解析:x2＋3＝4x?x2-4x＝-3?x2-4x＋22＝-3＋22?(x-2)2＝1.故選C.)6.A(解析:x2＋y2＋2x-4y＋7＝x2＋2x＋y2-4y＋7＝x2＋2x＋1＋y2-4y＋4-1-4＋7＝(x＋1)2＋(y-2)2＋2≥2.故選A.)7.解:(1)x2-2x＋2＝x2-2x＋1＋1＝(x-1)2＋1≥1,故最小值為1.(2)x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4-4＋5＝(x＋2)2＋1≥1,故最小值為1.8.解:(1)配方得x2-4x＋4＝5＋4,即(x-2)2＝9,∴x-2＝±3,∴x1＝5,x2＝-1.(2)移項得x2-100x＝101,配方得x2-100x＋2500＝2500＋101,即(x-50)2＝2601,∴x-50＝±51,∴x1＝101,x2＝-1.(3)移項得x2＋8x＝-9,配方得x2＋8x＋16＝-9＋16,即(x＋4)2＝7,∴x＋4＝±7,∴x1＝7-4,x2＝-7-4.(4)移項得y2＋22y＝4,配方得y2＋22y＋2＝4＋2,即(y＋2)2＝6,∴y＋2＝±6,∴y1＝6-2,y2＝-6-2.課堂上把激發(fā)學生的學習熱情和獲得學習能力放在教學首位,通過運用各種啟發(fā)、激勵性的語言,以及組織小組合作學習,幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度.本節(jié)課多次組織學生合作交流,通過小組合作,為學生提供展示自己聰明才智的機會,并且在此過程中,教師可以發(fā)現(xiàn)學生在分析問題和解決問題時的獨到見解,以及思維的誤區(qū),這樣可以使得老師更好地指導今后的教學.在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.教師應對小組討論給予適當?shù)刂笇?包括知識的啟發(fā)引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等,使小組合作學習更具實效性.隨堂練習(教材第37頁)解:(1)配方,得(x-5)2＝7,兩邊開平方,得x-5＝±7,即x-5＝7或x-5＝-7,所以x1＝5＋7,x2＝5-7.(2)配方,得x2-14x＋72＝8＋72,即(x-7)2＝57,開平方,得x-7＝±57,即x-7＝57或x-7＝-57,所以x1＝7＋57,x2＝7-57.(3)配方,得x2＋3x＋322＝1＋322,即x＋322＝134,開平方,得x＋32＝±132,即x＋32＝132或x＋32＝-132,所以x1＝-32＋132,x2＝-32-132.(4)整理,得x2-6x-2＝0,移項,得x2-6x＝2,配方,得x2-6x＋32＝2＋32,即(x-3)2＝11,開平方,得習題2.3(教材第37頁)1.解:(1)移項,得x2＋12x＝-25,配方,得x2＋12x＋62＝-25＋62,即(x＋6)2＝11,開平方,得x＋6＝±11,即x＋6＝11或x＋6＝-11,所以x1＝-6＋11,x2＝-6-11.(2)移項,得x2＋4x＝10,配方,得x2＋4x＋22＝10＋22,即(x＋2)2＝14,開平方,得x＋2＝±14,即x＋2＝14或x＋2＝-14,所以x1＝-2＋14,x2＝-2-14.(3)配方,得x2-6x＋32＝11＋32,即(x-3)2＝20,開平方,得x-3＝±25,即x-3＝25或x-3＝-25,所以x1＝3＋25,x2＝3-25.(4)移項,得x2-9x＝-19,配方,得x2-9x＋922＝-19＋922,即x-922＝54,開平方,得x-92＝±52,即x-92＝52或x-2.解:設道路的寬為xm,根據(jù)題意,得(35-x)·(26-x)＝850(或35×26-35x-26x＋x2＝850),整理,得x2-61x＋60＝0.解得x1＝1,x2＝60(不合題意,舍去).答:道路的寬應為1m.3.解:設增加69人后,增加了x行x列,根據(jù)題意,得(x＋8)(x＋12)＝12×8＋69,整理,得x2＋20x-69＝0,解得x1＝3,x2＝-23(不合題意,舍去).答:增加的行數(shù)、列數(shù)都是3.學生的知識技能基礎:學生在八年級上學期已經(jīng)學習過開平方,知道一個正數(shù)有兩個平方根,會利用開方求一個正數(shù)的兩個平方根,并且也學習了完全平方公式.在本章前面幾節(jié)課中,又學習了一元二次方程的概念,并經(jīng)歷了用估算法求一元二次方程的解的過程,初步理解了一元二次方程的解的意義.學生的活動經(jīng)驗基礎:在相關知識的學習過程中,學生已經(jīng)經(jīng)歷了估算一元二次方程解的過程,解決了一些簡單的現(xiàn)實問題,感受到解一元二次方程的必要性和作用,基于學生的學習心理規(guī)律,在學習了估算法求解一元二次方程的基礎上,學生自然會產(chǎn)生用簡單方法求解的欲望,同時在以前的數(shù)學學習中,學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程,具有了一定的合作學習的經(jīng)驗,具備了一定的合作與交流的能力.本節(jié)課基于學生用估算的方法求一元二次方程的解的基礎之上,提出了本課的具體學習任務:(1)會用直接開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,理解配方法,會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程;(2)經(jīng)歷列方程解決實際問題的過程,體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效模型,增強學生的數(shù)學應用意識和能力;(3)體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法;(4)能根據(jù)具體問題中的實際意義檢驗結果的合理性.已知直角三角形的三邊a,b,c,且兩直角邊a,b滿足等式(a2＋b2)2-2(a2＋b2)-15＝0,求斜邊c.解:已知等式可化為(a2＋b2)2-2(a2＋b2)＋1＝16,即(a2＋b2-1)2＝16,∴a2＋b2-1＝±4,∴a2＋b2＝5或a2＋b2＝-3,∵a2＋b2≥0,∴a2＋b2＝5.又∵直角三角形中,a2＋b2＝c2,∴c2＝5,∴c＝5(負值已舍去).第課時會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程.經(jīng)歷探究求解一般形式的一元二次方程的過程,進一步理解配方法的意義.通過用配方法將一元二次方程變形的過程,讓學生進一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法,并增強學生的數(shù)學應用意識和能力.【重點】掌握配方法解一元二次方程的過程.【難點】把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x＋m)2＝n(n≥0)的形式.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的過程.導入一:解方程:x2-6x-40＝0.解:移項,得x2-6x＝40,配方,得x2-6x＋32＝40＋32,即(x-3)2＝49,開平方,得x-3＝±7,即x-3＝7或x-3＝-7,所以x1＝10,x2＝-4.[設計意圖]通過解這個方程,使學生們順暢地理清思路,掌握每一步的理論依據(jù),增強了解題的信心.導入二:1.將下列各式填上適當?shù)捻?使其配成完全平方式.(1)x2＋2x＋＝(x＋)2;

(2)x2-4x＋＝(x-)2;

(3)x2＋＋36＝(x＋)2;

(4)x2＋10x＋＝(x＋)2;

(5)x2-x＋＝(x-)2.

2.請同學們說出下列兩個一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別:(1)x2＋6x＋8＝0;(2)3x2＋18x＋24＝0.探討方程(2)應如何解.[設計意圖]通過第一部分的練習題的訓練,使學生熟悉完全平方式的三項與二次三項式的聯(lián)系,第二部分的兩個方程之間的區(qū)別是方程(2)的二次項系數(shù)為3,不符合上節(jié)課解題的基本形式,聯(lián)系是當方程(2)的兩邊同時除以3以后,這兩個方程為同解方程.學生們做了方程的變形以后,對二次項系數(shù)不為1的方程的解法有了初步的感受和思路.一、規(guī)律探究[過渡語]對于新出現(xiàn)的問題,我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想,把未知轉(zhuǎn)化為已知來解決,這也是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫慕鉀Q問題的方法.解方程:3x2＋8x-3＝0.思路:由于該方程不是(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,因此不能用直接開平方法解,而且也不符合上節(jié)課學習的用配方法所解的方程的形式,但如果將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)的話就和上節(jié)課所學的形式一樣了,即方程兩邊同時除以3,得x2＋83x-1＝0,再用上節(jié)課的知識解決即可總結:對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程,我們可以先將等式兩邊同時除以二次項系數(shù),再利用配方法求解.[設計意圖]教師引導學生合理轉(zhuǎn)化,滲透從“未知”到“已知”的轉(zhuǎn)化過程.二、配方法解一元二次方程的一般步驟[過渡語]前面我們研究配方法解一元二次方程的基本方法,下面我們通過例題來總結一下用配方法解一元二次方程的基本步驟.(教材例2)解方程:3x2＋8x-3＝0.〔解析〕將二次項系數(shù)化為1后,用配方法解此方程.解:兩邊都除以3,得x2＋83x-移項,得x2＋83x配方,得x2＋83x＋432即x＋開平方,得x＋43＝±5所以x1＝13,x2＝-3[設計意圖]抓住主要問題精講,并總結規(guī)律,讓學生根據(jù)規(guī)律去學習配方法解一元二次方程,體會解方程的步驟.[知識拓展](1)利用配方法解一元二次方程的一般步驟:①方程兩邊同時除以二次項系數(shù),將二次項系數(shù)化為1;②把常數(shù)項移到方程右邊;③在方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方,使左邊成為完全平方式;④利用直接開平方法求解.(2)配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡.何時配方,需要我們適當預測,并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,從而完成配方.有時也將其稱為“配湊法”.(3)最常見的配方是進行恒等變形,使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方,其依據(jù)是完全平方公式:(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,將這個公式靈活運用,可得到各種基本配方形式,如:a2＋b2＝(a＋b)2-2ab＝(a-b)2＋2ab;a2＋ab＋b2＝(a＋b)2-ab＝(a-b)2＋3ab.(4)在應用配方法解一元二次方程時有兩種做法:一種是先移走常數(shù)項,然后方程兩邊同時除以二次項系數(shù),把二次項系數(shù)化為1,兩邊再同時加上一次項系數(shù)(除以二次項系數(shù)后的)一半的平方,把原方程化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式,兩邊同時開方,把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.另一種是先移走常數(shù)項,通過“湊”與“配”進行配方.(5)配方法在二次代數(shù)式的討論與求解中的應用也十分廣泛.【課件1】解方程:2x2＋6x-3＝0.解法1:移項,得2x2＋6x＝3,兩邊同時除以2,得x2＋3x＝32兩邊同時加上322,得x2＋3x＋32開平方,得x＋32＝152或x＋3解得x1＝-3＋152,x2解法2:移項,得2x2＋6x＝3,原方程可變形為:2x2＋22x×32即2x兩邊同時開方,得2x＋322＝302或2x＋解得x1＝-3＋152,x2【課件2】用配方法證明:無論x為何值,代數(shù)式x2-4x＋4.5的值恒大于零.證明:∵x2-4x＋4.5＝x2-4x＋22-22＋4.5＝(x-2)2＋0.5≥0.5>0,∴無論x為何值,代數(shù)式x2-4x＋4.5的值恒大于零.【課件3】若x2y2-20xy＋x2＋y2＋81＝0,求x,y的值.〔解析〕此題可以運用“裂項”與“湊”的技巧,把-20xy裂成-18xy與-2xy的和來完成配方,并根據(jù)完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì),把方程化為二元一次方程組求解.解:∵x2y2-20xy＋x2＋y2＋81＝0,∴(x2y2-18xy＋81)＋(x2-2xy＋y2)＝0,即(xy-9)2＋(x-y)2＝0,∴xy-9＝0,x-y＝0,【課件4】若M＝3x2-8xy＋9y2-4x＋6y＋13(x,y是實數(shù)),則M的值一定是 () 〔解析〕先將多項式轉(zhuǎn)化成幾個完全平方式的和的形式,然后就其結構特征進行合理的分析、推理.因為M＝3x2-8xy＋9y2-4x＋6y＋13＝2(x-2y)2＋(x-2)2＋(y＋3)2≥0,并且2(x-2y)2,(x-2)2,(y＋3)2這三個式子不可能同時為0,所以M>0.故選A.【課件5】化簡二次根式19-〔解析〕復合二次根式的化簡是將被開方數(shù)化成完全平方的形式,要用到配方的思想.解:19-83＝19-同理可得19＋83＝4＋3所以原式＝4-3＋4＋3＝8.【課件6】已知三角形的三邊a,b,c滿足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc,判斷這個三角形的形狀.〔解析〕確定三角形的形狀,主要是討論三條邊之間的關系.代數(shù)式a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc之中蘊含了完全平方式,可以重新拆項、組合.解:已知條件可化為2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc,即2a2＋2b2＋2c2-2ab-2ac-2bc＝0,即a2-2ab＋b2＋a2-2ac＋c2＋b2-2bc＋c2＝0,即(a-b)2＋(a-c)2＋(b-c)2＝0,所以a＝b＝c,即三角形是等邊三角形.用配方法解一元二次方程的一般步驟:(1)方程兩邊同時除以二次項系數(shù),使二次項系數(shù)化為1;(2)把常數(shù)項移到方程的右邊;(3)在方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方,使左邊成為完全平方式;(4)利用直接開平方法求解.1.填空:(1)x2-13x＋＝(x-)2(2)2x2-3x＋＝2(x-)2.

解析:(1)同時在方程的兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方,即x2-13x＋136＝x-162.(2)要注意二次項的系數(shù)沒有化為1,而是提到括號的前面.2x2答案:(1)13616(2)92.2x2-6x＋3＝2(x-)2-;x2＋mx＋n＝(x＋)2＋.

解析:第一個代數(shù)式的配方要注意二次項的系數(shù)沒有化為1,而是提到括號的前面,第二個是同時在方程的兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方.答案:3232m3.用配方法解下列方程.(1)3x2-4x-2＝0; (2)2x2＋3x-2＝0;(3)4(x-3)2＝225; (4)3y2＋1＝23y.解:(1)二次項系數(shù)化為1,得x2-43x-2配方,得x2-43x＋232-2即x-23所以x-23＝±10所以x1＝2＋103,x2＝(2)二次項系數(shù)化為1,得x2＋32x-配方,得x2＋32x＋342-即x＋34所以x＋34＝±5所以x1＝12,x2＝-2(3)原方程可化為(x-3)2＝2254所以x-3＝±152所以x1＝212,x2＝-9(4)移項,得3y2-23y＋1＝0,二次項系數(shù)化為1,得y2-233y＋配方,得y2-233y＋33即y-332＝0,所以y1＝y(tǒng)第2課時1.規(guī)律探究2.配方法解一元二次方程的一般步驟一、教材作業(yè)【必做題】教材第39頁隨堂練習.【選做題】教材第40頁習題2.4的1題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.用配方法解方程2x2-4x＋3＝0,配方正確的是 ()x2-4x＋4＝3＋4x2-4x＋4＝-3＋4C.x2-2x＋1＝32D.x2-2x＋1＝-322.用配方法解下列方程,配方錯誤的是 ()A.x2＋2x-99＝0化為(x＋1)2＝100B.t2-7t-4＝0化為tC.x2＋8x＋9＝0化為(x＋4)2＝25x2-4x-2＝0化為x3.用配方法解方程2y2-5y＝1時,方程的兩邊都應加上 ()A.52 B.54 C.544.方程2(x＋4)2-10＝0的根是.

【能力提升】5.a2＋b2＋2a-4b＋5＝(a＋)2＋(b-)2.

6.用配方法解下列方程.(1)2x2＋1＝3x; (2)3y2-y-2＝0;(3)3x2-4x＋1＝0; (4)2x2＝3-7x.【拓展探究】7.已知(a＋b)2＝17,ab＝3,求(a-b)2的值.8.解方程(x-2)2-4(x-2)-5＝0.【答案與解析】1.D(解析:用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程時,應先把二次項系數(shù)化為1,再配方.)2.C(解析:x2＋8x＋9＝0應化為(x＋4)2＝7.)3.D(解析:先把二次項系數(shù)化為1,然后再加上一次項系數(shù)一半的平方.)4.x1＝-4＋5,x2＝-4-5(解析:移項,得2(x＋4)2＝10,把系數(shù)化為1,得(x＋4)2＝5,則x＋4＝±5,解得x1＝-4＋5,x2＝-4-5.)5.12(解析:a2＋b2＋2a-4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2-4b＋4)＝(a＋1)2＋(b-2)2.)6.解:(1)移項,二次項系數(shù)化為1,得x2-32x＝-12,配方,得x2-32x＋916＝116,即x-342＝116,∴x-34＝±14,∴x1＝1,x2＝12.(2)移項,二次項系數(shù)化為1,得y2-13y＝23,配方,得y2-13y＋136＝2536,即y-162＝2536,∴y-16＝±56,∴y1＝1,y2＝-23.(3)移項,二次項系數(shù)化為1,得x2-43x＝-13,配方,得x2-43x＋49＝19,即x-232＝19,∴x-27.解:∵(a-b)2＝a2-2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2-4ab＝(a＋b)2-4ab,∴(a-b)2＝17-4×3＝5.8.解:把x-2看成一個整體,將原方程移項,配方,得(x-2)2-4(x-2)＋4＝9,∴(x-2-2)2＝9,∴x-4＝±3,∴x1＝7,x2＝1.這節(jié)課主要是以習題訓練為重點,依照書上的例題為重點展示配方法解一元二次方程的基本步驟,同時添加輔助性的習題,讓學生體會解一元二次方程的感受.應盡可能地體現(xiàn)分層教學,讓每個學生都得到發(fā)展,對于基礎較差的學生只要求認真理解并鞏固配方法,對于基礎較好的學生,根據(jù)他們的課堂反應,在知識拓寬方面加以提示.基礎較好的學生對于基礎題的計算速度比較快,所以老師應準備多個不同層次的習題,當這部分學生做完后,可以為他們提供更高層次的習題,繼續(xù)引領他們的思維前進,同時應加強對數(shù)據(jù)計算速度慢,基礎薄弱的同學動手動腦的監(jiān)督.隨堂練習(教材第39頁)解:(1)移項,得3x2-9x＝-2,二次項系數(shù)化為1,配方,得x2-3x＋94＝1912,即x-322＝1912,∴x-32＝±576,∴x1＝32＋576,x2＝32-576.(2)移項,得2x2-7x＝-6,二次項系數(shù)化為1,配方,得x2-72x＋4916＝116,即x-742＝116,∴x-74＝±14,∴x1＝2,x2＝32.(3)移項,得4x2習題2.4(教材第40頁)1.解:(1)原方程變形為x2-76x＝-16,配方,得x-7122＝25144,兩邊直接開平方,得x-712＝±512,∴x1＝1,x2＝16.(2)原方程變形為平方,得x-910＝±2110.∴x1＝3,x2＝-65.(3)原方程變形為x2-34x＝13.配方,得x-382＝84164.兩邊直接開平方,得x-38＝±298.∴x1＝4,x2＝-134.(4)原方程變形為x2＋25x＝45.配方,得x＋1522.解:設總共有x只猴子,根據(jù)題意,得x＝18x2＋12.整理,得x2-64x＋768＝0.解得x1＝16,x2＝483.解:(1)設出發(fā)xs后P,Q兩點間的距離是10cm,則AP＝3xcm,CQ＝2xcm.過點Q作QM⊥AB于M(如右圖所示),則PM＝|16-2x-3x|＝|16-5x|cm,由題意得(16-5x)2＋62＝102,解得x＝1.6或x＝4.8.答:P,Q出發(fā)1.6s或4.8s后,P,Q間的距離是10cm.學生的知識技能基礎:學生已經(jīng)學習過平方根的定義以及完全平方公式,在上節(jié)課初步學習了用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程,這些為本節(jié)課學習用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程打下較好的基礎.學生的活動經(jīng)驗基礎:上一課時,學生已經(jīng)經(jīng)歷了求二次項系數(shù)為1的一元二次方程的解的過程,已經(jīng)體會到其中轉(zhuǎn)化的思想方法的運用,這些都成為完成本課任務的活動經(jīng)驗基礎.在課程安排上,這節(jié)課的具體學習任務是:用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程,以及利用一元二次方程解決實際問題,因此本節(jié)課的教學目標是:(1)經(jīng)歷配方法解一元二次方程的過程,獲得解一元二次方程的基本技能;(2)經(jīng)歷用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的過程,體會其中的轉(zhuǎn)化思想;(3)能利用一元二次方程解決有關的實際問題,能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結果的合理性,進一步培養(yǎng)分析問題、解決問題的意識和能力.用配方法證明:2x2-x＋3的值不小于238.證明:2x2-x＋3＝2x2-12x∵2x-142≥0,∴2即2x2-x＋3的值不小于2383用公式法求解一元二次方程1.經(jīng)歷用配方法推導一元二次方程求根公式的過程,理解求根公式和根的判別式.2.能用公式法解一元二次方程.3.會用一元二次方程的根的判別式判斷方程實數(shù)根的情況.經(jīng)歷用一元二次方程解決簡單實際問題的過程,體會數(shù)學建模思想,增強數(shù)學應用意識和能力.在推導求根公式和利用根的判別式判斷方程根的情況的過程中,強化推理技能訓練,進一步發(fā)展演繹推理能力.【重點】一元二次方程的求根公式.【難點】一元二次方程的根的判別式與方程的根之間的關系.第課時會用公式法解一元二次方程.體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程,明確運用公式求根的前提條件是b2-4ac≥0.在公式的推導過程中,培養(yǎng)學生的符號感.【重點】1.掌握一元二次方程的求根公式,并應用它熟練地解一元二次方程.2.根的判別式的運用.【難點】求根公式的使用.【教師準備】預設學生學習過程中遇到的困難.【學生準備】復習配方法解一元二次方程的步驟.導入一:用配方法解下列方程.(1)2x2＋3＝7x;(2)3x2＋2x＋1＝0.學生在練習本上運算,可找同學上黑板演算,并由學生總結用配方法解一元二次方程的一般步驟.解:(1)將方程化成一般形式:2x2-7x＋3＝0,兩邊都除以二次項系數(shù):x2-72x＋3配方,得x2-72x＋742即x-742-所以x-74＝±54,解得x1＝3,x2＝(2)兩邊都除以二次項系數(shù):x2＋23x＋1配方,得x2＋23x＋132即x＋132＋2因為-29<0,所以原方程無解[設計意圖]進一步夯實用配方法解一元二次方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法做了小小的改動,沒有把常數(shù)項移到方程右邊,而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數(shù)(除以二次項系數(shù)后的)一半的平方.選擇了一個沒有解的方程,讓學生切實感受到并不是所有的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)都有解.導入二:1.復習用配方法解一元二次方程的一般步驟.2.如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)?[設計意圖]本環(huán)節(jié)復習了解一元二次方程的配方法,因為這是推導公式的基礎,然后拋出了富有啟發(fā)性的問題,激發(fā)學生的學習興趣.一、求根公式思路一[過渡語]我們發(fā)現(xiàn),利用配方法解一元二次方程的基本步驟是