第三章 離散傅里葉

第三章

離散傅立葉變換主講溫川雪主要內(nèi)容幾種FT變換形式離散FT的定義DFT和Z的變換關(guān)系DFT的基本性質(zhì)DFT的應(yīng)用Fourier變換的幾種可能形式傅里葉變換傅里葉級數(shù)序列的傅里葉變換離散傅里葉變換四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)3.1離散Fourier變換的定義1.定義【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)DFT。解設(shè)變換區(qū)間N=4，則設(shè)變換區(qū)間N=8，則x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度N的取值有關(guān)。1．計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT，在變換區(qū)間0≤n≤N－1內(nèi)，序列定義為(4)x(n)=Rm(n)0<m<N(5)0≤k≤N－1CompanyLogo2．圖已只知下紅列X(k)，皂求x(n)=付ID獅FT杰［X(k)］解:婦（劑1）n=0補(bǔ),罷1,線…缸,N－13.趨1.拴2寄D蛾FT膏與傅榜里葉飼變換半和Z絮變換械的關(guān)羅系圖3.1.2x(n)及其周期延拓序列【例痰3.撲1.宣2】相設(shè)x(n)=R4(n)，X(ejω)=孤FT棟［x(n)］聚。分木別計(jì)樹算X(ejω)在敞頻率遠(yuǎn)區(qū)間巾［0憲，2浴π］飯上的淹16腦點(diǎn)和賺32泛點(diǎn)等驢間隔拘采樣處，并錯繪制X(ejω)采豎樣的夏幅頻旁特性暈圖和鏈相頻吧特性坐圖。棋解升由翼DF登T與河傅里皂葉變章?lián)Q的舅關(guān)系妨知道歇，X(ejω)在塞頻率金區(qū)間漏［0賞，2執(zhí)π］名上的叮16限點(diǎn)和辣32讓點(diǎn)等賠間隔嗽采樣縫，分載別是x(n)的偽16戰(zhàn)點(diǎn)和熊32寺點(diǎn)D極FT郊。調(diào)煌用f晴ft竭函數(shù)刺求解貌本例唱:%疊DF武T的哀MA擴(kuò)TL煩B計(jì)描算xn準(zhǔn)=［揚(yáng)1對1句1期1］流;糊%焰輸入秩時域待序列繳向量秋xn伍=R袍4(宏n)鍛Xk呈16記=f欺ft極(x服n,肚1猴6)下;禽%計(jì)表算x戴n的塵16蹲點(diǎn)D辦FT妨Xk兼32體=f百ft秋(x鋪n,攪3想2)林;捏%計(jì)毅算x腔n的刷32濾點(diǎn)D義FT藥%以慰下為矛繪圖糞部分瞞（省姐略，狀程序汁集中牌有）ep稠31拾2.非m圖3.1.3程序ep312.m運(yùn)行結(jié)果ex階31董2.嶺m3.嶺2遠(yuǎn)離值散傅傍里葉憲變換港的基宿本性砍質(zhì)3.沸2.門2穩(wěn)循環(huán)會移位科性質(zhì)

定義：序列簡的循碼環(huán)移量位時域在循環(huán)奧移位然定理頻域姥循環(huán)對移位辭定理勾如果X(k)=DF價(jià)T[x(n)]N0≤k≤N－1Y(k)=X((k+l隙))NRN(k)答3.砍2.株3巷循技環(huán)卷亦積定棕理循環(huán)寫卷積設(shè)序劫列h(n)和x(n)的拼長度姨分別禮為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循短環(huán)卷偵積定針義為L稱為岡循環(huán)壞卷積鬧區(qū)間渣長度蒸，L≥m鹿ax偏［N，M］。L循環(huán)甜卷積之過程紐奉：1）脫補(bǔ)零2）州周期剪延拓3）崗翻褶貝，取犁主值視序列4）俘圓周去移位5）童相乘旅相加時域撞循環(huán)煉卷積遲定理頻域輪循環(huán)尸卷積怒定理3.羽2.葉4剃復(fù)溝共軛散序列轟的D堤FT設(shè)x*(n)是x(n)的毯復(fù)共從軛序葡列，疼長度炎為N，X(k)=驅(qū)DF就T［x(n)］N，則且X(戰(zhàn)N)=杰X(狂0)西。3.梯2.片5秤D封FT田的共鄙軛對諷稱性任何紛有限妥長序桐列都挪可以悶表示險(xiǎn)成其蠅共軛船對稱毫分量千和共秘軛反龍對稱篩分量魔之和榨。DF街T的共芹軛對恒稱性【例】婆利旋用D哈FT勵的共帥軛對找稱性鋒，設(shè)字計(jì)一侄種高設(shè)效算供法，白通過齡計(jì)算促一個N點(diǎn)D冷FT趟，就娛可以咸計(jì)算口出兩戲個實(shí)遍序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)D掉FT狠。解：不1、姿直接勤求解蝕，需籍作兩野次N暑點(diǎn)的求DF毅T.2、紐奉將兩撐個實(shí)糾數(shù)序炮列合圈并為肅一個籌復(fù)數(shù)插序列對x臭(n蛙)求痛DF桃T得拾到：所以皇，由X(k)可廢以求歇得兩帖個實(shí)偏序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)D夠FT歐：12麗．嚼已知f(n)=x(n)+顏jy(n)，x(n)與y(n)均考為長臂度為賴N的削實(shí)序我列。渡設(shè)F(k)=厲DF撓T［f(n)］N0≤k≤N－1(1廈)試求X(k)=盛DF缺T［x(n)］N，Y(k)=索DF劈燕T［y(n)］N解:瘡由D扭FT肉的共向軛對莊稱性展可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)己jY(k)=Fop(k)7．形證恨明:松若x(n)為且實(shí)序授列，X(k)=佛DF廚T［x(n)］N，終則X(k)為蘆共軛山對稱章序列劈燕，養(yǎng)即X(k)=X*（N－k)；膊若x(n)實(shí)嬌偶對晉稱，添即x(n)=x(N－n)，割則X(k)也所實(shí)偶怖對稱板；盈若x(n)實(shí)思奇對績稱，詠即x(n)=帥－x(N－n)，礎(chǔ)則X(k)為悟純虛悶函數(shù)拉并奇咳對稱僻。(1掀)x賀(n腎)為術(shù)實(shí)序金列(2傲)x稻(n矩)為肝實(shí)偶盞序列x(n)=x(N－n)x(摘n)為實(shí)駁序列前已宴證X(脊k)奇為實(shí)闖偶序沖列x(私n)為偶住序列(3挪)x隨(n籍)為娛實(shí)奇寧序列x(n)=響-x(N－n)x(舍n)為奇蠻序列x(始n)為實(shí)堆序列前已駐證X(桶k)否為純色虛奇扒函數(shù)3.勞3券頻率顛域采騾樣DF講T和Z變換回和傅滴里葉債變換然的關(guān)決系X(摘k)是在爐z違平面丈單位構(gòu)圓上米對X蒸(z惱)的桿N點(diǎn)壟等間巧隔抽威樣。X(k)是在對在N點(diǎn)等間隔抽樣。頻域赴抽樣歡能否浪不失殺真恢短復(fù)原沾連續(xù)宜信號？x(張n)遮傅里非葉變謝換F弱T離散睜傅里繳葉變倚換D皆FTX(擺k)瓶的I鞏DF如T是斜x(稍n)璃周期宮延拓誓后取唇主值醬區(qū)間頻域魯采樣價(jià)定理若x張(n羅)為致長度品M的滴有限敲長序飼列，籍則要叼使頻持域抽承樣后控的序喉列能閱不失革真地電還原央，則僵頻域胖[0微,2兼）內(nèi)古采樣蜜的點(diǎn)肢數(shù)必伏須滿其足N深≥M【例桂3.研3.鑼1】棕長度偵為2戰(zhàn)6的勸三角少形序渣列x(n)如稼圖3令.3叔.1碑(a禿)所逼示。凡編寫動MA刊TL謹(jǐn)AB好程序晶驗(yàn)證顫頻域倘采樣蠢理論傷。MA法TL哭AB升求解提程序片ep饅33聯(lián)1.暮m如漠下：案%《處數(shù)字烏信號亡處理辜(第瓶三版蒜）》讓第3骨章例垃程序乓ep器33植1.%凡頻域喂采樣秧理論贊驗(yàn)證針M=扶26智;乳N=災(zāi)32值;纖n=絕0:丹M;例xa揉=0涂:M碎/2背;獸xb扯=白ce么il徑(M爹/2獨(dú))-爆1:裁-1萌:0衰;陡x鴉n=煌［x邪a,算x倒b］緩;%產(chǎn)臂生M堡長三賺角波冷序列漁x(扛n)股Xk高=f珍ft奪(x盜n,鍛5窄12秋);眠%飛51炊2點(diǎn)掏FF躍T［撤x(獻(xiàn)n)母］X3辟2k線=f森ft問(x冶n,泄3栗2)丑;幣%擴(kuò)32沈點(diǎn)F優(yōu)FT單［x突(n搏)］彎x3知2n午=i紐奉ff梅t(寇X3排2k脊);距%3駕2點(diǎn)冤IF朗FT側(cè)［X稿32蹤蝶(k勢)］供得到兆x3卡2(箱n)煌X1握6k泳=X隆32門k(原1:弟2:現(xiàn)N)撈;厚%隔嬌點(diǎn)抽純?nèi)歇32歡k得霸到X怎16錘(k咸)x1制6n乏=i頸ff祥t(挎X1丘6k天,回N/因2)峽;篩%個16豈點(diǎn)I仿FF升T［培X1絕6(棄k)寒］得下到x殼16興(n稱)以下交繪圖駐部分心省略絲式。ep笛31枯2.咸m符合牌頻域應(yīng)抽樣常，能縣不失獅真恢噸復(fù)原農(nóng)連續(xù)伶信號3.距4技DF他T的澆應(yīng)用局舉例LS錄I系循統(tǒng)的鎖輸出思為輸勁入序脈列與呈系統(tǒng)往的單鈔位抽抹樣響秒應(yīng)的局線性轟卷積秒，即貢：能否云用D以FT著計(jì)算縱線性桂卷積？3.倉4.始1份用礙DF范T計(jì)雪算線個性卷濫積用DF蠅T計(jì)算桿循環(huán)魂卷積循環(huán)獨(dú)卷積黨在一逝定條師件下疾等價(jià)煉于線艘性卷訴積用DF敏T計(jì)算閉線性保卷積設(shè)h(n)和x(n)的長敬度分洗別為N和M,其L點(diǎn)循叫環(huán)卷煙積為且L則由遞DF呢T的歡時域醋循環(huán)點(diǎn)卷積醬定理拌有循環(huán)冒卷積腳與線趕性卷喉積相絕等的懶條件循環(huán)擺卷積而與線嘴性卷敞積之嬸間的賞關(guān)系結(jié)論茶：L滔點(diǎn)循感環(huán)卷行積等阻于線點(diǎn)性卷飄積以跪L為稼周期什的周深期延素拓序覺列的傾主值轎序列循環(huán)招卷積完與線德性卷設(shè)積相需等的書條件結(jié)論季:若L≥N1膠+N雷2-我1，則加L點(diǎn)滲循環(huán)鑼卷積負(fù)能代鏡表線字性卷影積。圖3.4.2線性卷積與循環(huán)卷積波形圖ex袋3功25刻.m雁或金ex控32蘇4.允m重疊叢相加誦法計(jì)塘算線扶性卷聞積適用沸條件裕：兩駛序列硬長度信相差診很大設(shè)序談列h逗(n趨)長攏度為撫N，裝x屠(n蘋)為簡無限償長序墳列。冒將劈燕x(車n)選均勻窄分段隱，昂每段摧長度未取M施，潑則于是均，伴h(作n)假與x粒(n坊)的您線性壇卷積筐可表幣示為【例辨3.請4.蓮1】揮假設(shè)h(n)=R5(n)，x(n)=訂［c簽os價(jià)(πn/1對0)匠+楊co淚s(星2πn/5勁)］u(n)，婆用重虜疊相氣加法可計(jì)算y(n)=h(n)*x(n)，足并畫掛出h(n)、x(n)和y(n)的味波形梯。解h(n)的艦長度登為N=5豈,挪對x(n)進(jìn)屢行分品段，踐每段處長度復(fù)為M=1劉0。回計(jì)算h(n)和x(n)的查線性奧卷積冠的M運(yùn)AT妖LA呢B程俗序如攪下：Lx杏=4蜜1;誓N放=5舞;好M=柱10姿;沾%L僚x為信尼號序頸列x(龍n)長度抄h(huán)n=o帽ne撤s(斬1,施N演);進(jìn)h惑n1路=［hnze維ro溝s(攀1,譜L役x-員N)］;%產(chǎn)生h(智n)，其怒后補(bǔ)逐零是眼為了吸繪圖狗好看灣n=藥0:涂L-南1;鮮xn=co六s(扣pi*n塵/1匠0)杠+c匪os壯(2敗*p索i*犧n/遭5)娘;鴉%產(chǎn)生x(為n)的Lx個樣劍值yn=ff撈tf穴il包t(荷hn,xn,拌M)驗(yàn);逆%調(diào)用ff乏tf以il宵t用重雞疊相喜加法誰計(jì)算頸卷積3.燙4.食2賞用D遇FT盾對信缺號進(jìn)遵行譜奧分析用D拖FT膊對連召續(xù)信匹號進(jìn)恰行譜鋤分析所謂赴信號壯的譜截分析裂就是監(jiān)計(jì)算統(tǒng)信號員的傅應(yīng)里葉皆變換潤。用D晌FT吃對序嘩列進(jìn)梅行譜影分析周期咳