備戰(zhàn)2024年高考總復(fù)習(xí)一輪（數(shù)學(xué)）第11章 概率 第3節(jié) 幾何概型

高考總復(fù)習(xí)GAOKAOZONGFUXI第3節(jié)幾何概型第十二章2024內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例,了解幾何概型及幾何概型的基本特征,能計(jì)算幾何概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.2.根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建概率模型,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.1.與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型2.與面積、體積有關(guān)的幾何概型3.與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型4.與實(shí)際生活相關(guān)的幾何概型5.隨機(jī)模擬方法1.直觀想象2.數(shù)據(jù)分析3.數(shù)學(xué)建模4.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的

(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.

(2)幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(3)幾何概型的概率公式:P(A)=

.長(zhǎng)度

無限多個(gè)

等可能性

微點(diǎn)撥幾種常見的幾何概型1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān).2.與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān),若已知圖形不明確,可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.3.與體積有關(guān)的幾何概型,可借助空間幾何體的體積公式解答問題.2.隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn),通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法的基本步驟是:①用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義;②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N;③計(jì)算頻率fn(A)=

作為所求概率的近似值.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=

,BC=1,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為

.

規(guī)律方法1.與長(zhǎng)度或角度有關(guān)的幾何概型的解法:如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度(或角度)表示,則其概率的計(jì)算公式為2.當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)用線段長(zhǎng)度之比計(jì)算;當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí),一般用角度之比計(jì)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)k,則使得直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn)的概率是(

)答案:(1)C

(2)C解析:(1)圓(x-2)2+y2=1的圓心為(2,0),半徑為1.要使直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則圓心到直線y=kx的距離(2)∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,∴∠BAC=75°.∵AD⊥BC,∴△ADC是等腰直角三角形,∠DAC=45°,∴∠BAD=30°.∵在Rt△ABD中,AD=,∠BAD=30°,∴BD=1,∴當(dāng)BM>1時(shí),射線AM需從∠DAC=45°范圍內(nèi)引出,例2(1)一只螞蟻在最小邊長(zhǎng)大于4,且面積為24的三角形內(nèi)自由爬行,某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離大于2的概率為

.

(2)如圖,△OAB為等腰直角三角形,AO⊥BO,以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑作大圓O,以AB為直徑作小圓.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自陰影部分的概率為(

)考點(diǎn)二與面積、體積有關(guān)的幾何概型解析:(1)三角形ABC的面積為24,該螞蟻距離三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離小于等于2的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的三角形的陰影部分,規(guī)律方法求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的基本思路用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域,在圖形中畫出事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域,然后用公式對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2023河南開封模擬)在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到此正方形的各頂點(diǎn)的距離大于1的概率為(

)(2)已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或側(cè)面任取一點(diǎn)O,則四棱錐O-ABCD的體積不小于

的概率為

.

考點(diǎn)三與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型答案:B解析:不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC,△ABC內(nèi)陰影上的點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1,規(guī)律方法幾何概型與線性規(guī)劃的交匯問題的解法:先根據(jù)約束條件作出可行域,再確定形狀,求面積大小,進(jìn)而代入公式求概率.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2021全國乙,理8)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和大于

的概率為(

)答案:B

考點(diǎn)四與實(shí)際生活相關(guān)的幾何概型例4(2022江西九江二模)2021年3月,教育部辦公廳發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》,明確學(xué)生睡眠時(shí)間要求,高中生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到8小時(shí).若高一學(xué)生小明每天的睡眠時(shí)間在7小時(shí)至10小時(shí)之間隨機(jī)分布,則他連續(xù)兩天平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的概率是(

)答案:D規(guī)律方法生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法(1)審題:通過閱讀題目,提煉相關(guān)信息.(2)建模:利用相關(guān)信息的特征,建立概率模型.(3)解模:求解建立的數(shù)學(xué)模型.(4)結(jié)論:將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4甲、乙約定晚上七點(diǎn)在某校門口見面,甲晚上七點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到了門口,此時(shí),乙打電話告知甲路上出現(xiàn)堵車狀況,至少要過20分鐘才能到.甲決定等乙半個(gè)小時(shí),超過半個(gè)小時(shí)乙還未到就離開,若乙在晚上七點(diǎn)五十之前一定能到,則兩人能見面的概率為

.

解析:由題意可知,甲在校門口等乙到7點(diǎn)30分,乙最早到校門口的時(shí)間為7點(diǎn)20分,最晚到校門口的時(shí)間為7點(diǎn)50分,有30分鐘,故兩人能見面的時(shí)間段為7點(diǎn)20分到7點(diǎn)30分,有10分鐘時(shí)間,所以兩人能見面的概率為考點(diǎn)五隨機(jī)模擬方法例5從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(

)答案:C

解析:如圖,兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)所在的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(不含圓弧邊界),n個(gè)數(shù)對(duì)所在的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形.由題意利用幾何概型可知,規(guī)律方法將π看作未知數(shù)表示出四分之一的圓面積,根據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與正方形面積之比約等于m與n之比,從而用m,n表示出π的近似值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積以及圓周率的基礎(chǔ).劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),