算法設計與課件

算法設計與分析云南大學廖鴻志7/2/20231內容計算模型和計算復雜性的測度數(shù)據(jù)結構與遞歸技術分治與平衡排序動態(tài)規(guī)劃貪心法回溯法分枝限界法7/2/20232第一章計算模型和計算復雜性的測度7/2/202331.1引言1.算法的概念基本上幾乎所有的程序都是為了實現(xiàn)某種算法，簡言之算法就是處理問題的步驟與邏輯，它是有窮規(guī)則的有序集合。算法分為數(shù)值算法與非數(shù)值算法。數(shù)值算法有：概率統(tǒng)計計算、線性代數(shù)計算、數(shù)值逼近、數(shù)值微分、數(shù)值積分、數(shù)學規(guī)劃等。數(shù)值算法是通用的，一般可用解析式表示：而非數(shù)值算法只是思想或思路，要根據(jù)具體問題按這種思想或思路進行設計。7/2/202341.1引言2算法的特征(1)有窮性：算法應該是有窮規(guī)則，在有窮步驟后終止。(2)確定性：算法的任何一步都應該有且僅有一個解釋。(3)能行性：算法應該符合問題的要求，應該在有限時間內完成。(4)輸入與輸出：有零個或多個外部量作為算法的輸入，算法產(chǎn)生至少一個量作為輸出。7/2/202351.1引言程序與算法不同，程序是算法用某種程序設計語言的具體實現(xiàn)。程序可以不滿足算法的有限性。例如操作系統(tǒng)，它是在無限循環(huán)中執(zhí)行的程序，因而它并不是算法。然而可以將它的各種任務看成一些單獨的問題。每一個問題由操作系統(tǒng)的一個子程序通過特定的算法實現(xiàn)。該子程序在得出輸出結果后便終止。7/2/202361.1引言3算法設計與分析的步驟(1)問題的描述：明確輸入與輸出。(2)建立模型：將核心內容模型化，邏輯化。(3)算法設計與正確性證明：對所有正確的輸入都能得到正確的輸出（一般需要用謂詞邏輯來證明）。(4)程序實現(xiàn)：用某種程序設計語言來實現(xiàn)。(5)算法分析：在程序實現(xiàn)之前進行。7/2/202371.2計算復雜性的測度算法的計算復雜性(computationalcomplexity)是衡量算法計算難度的尺度，使用最普遍的標準是一個算法需要耗費的時間和空間。算法所需要的時間或空間，通常是問題規(guī)模的函數(shù)，這個函數(shù)就叫做算法的時間或空間復雜度。在實際中用算法主操作的重復次數(shù)來表示算法的時間復雜度。7/2/202381.2計算復雜性的測度問題的規(guī)模：也就是該問題所謂的體積，或者說是大小。一個問題的體積可以用一個整數(shù)來表示，它是對問題的輸入數(shù)據(jù)或初始數(shù)據(jù)的多少的一種量度。定義：如果一個問題的體積是n，解決這一問題的某一算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函數(shù)，T(n)稱作這一算法的“時間復雜性”。當輸入量n逐漸增大時，T(n)的極限情形就稱作算法的“漸近時間復雜性”，類似可定義算法的空間復雜性。但實際上人們主要是研究算法的時間復雜性而很少討論它們的空間耗費。7/2/202391.幣2計鈔算復沫雜性吸的測億度一個墓算法蝦的復雙雜性漆函數(shù)捕的量董級是辣反映忽算法惡效能測的重殲要標滲準。舉當輸顆入量暖急劇務地增壇大時伏，如驢果設量有高假效能阻的算安法，錢單純表依靠熔提高別計算辟機的麻速度判，有扒時是覺很不級理想寬的。設有涉五個表算法披A1，A2，A3，A4，A5，它停們的鑼時間歐復雜訂性函克數(shù)如喘下表東所示乏：表繼中，如一個僅算法陣的時磁間復腫雜性愛是它凍處理司完一術個大儀小為欄n的侮輸入派所需連要的巧的單探位時腎間數(shù)等。6/釋26鹿/2貼02蠅310例例1狂.綠3竭9個教景點旱的全慈排列39錯！=然2.采04×1維046用每愉秒處博理1悲億次飯（1護08）邏繭輯的怪計算兼機，箱需耗子時6仗.5接×1容022億年例2妹.圾下善圍棋336遣1=1蜓.7捐4×只1017變2=5韻.5孫2×婚1014筐6億年例3辯.怎電侄梯從膚1樓很到1長0樓以，有何多少垃種可蔬能的廳方式大？6/粥26宋/2掛02禮311算法時間復雜性函數(shù)A1T1(n)=nA2T2(n)=nlog2n(nlogn)A3T3(n)=n2A4T4(n)=n3A5T5(n)=2?1.約2計報算復湊雜性蝕的測修度6/炭26洪/2漁02擋312算法時間復雜性一秒鐘內所能處理的最大輸入量一分鐘內所能處理的最大輸入量一小時內所能處理的最大輸入量A1A2A3A4A5nn㏒2nn2n32?1000140311096×104489324439153.6×1062.0×1051897153211.鉛2計福算復蔑雜性圖的測陽度6/炮26粱/2饞02婚313算法時間復雜性速度提高前單位時間里所能處理的數(shù)據(jù)量速度提高十倍后單位時間里所能處理的數(shù)據(jù)量速度提高一萬倍后單位時間里所能處理的數(shù)據(jù)量A1A2A3A4A5nn㏒2nn2n32?S1S2S3S4S510S1(S2很大)10S23.16S32.15S4S5+3.3210000S1(㏒2S2≥9㏒29000)>9000S2100S321.54S4S5+13.321.瞇2計匹算復撫雜性現(xiàn)的測互度6/縫26遷/2文02和3141.婦2計濃算復尋雜性項的測膏度現(xiàn)有匪問題板可以愚分為怕以下田三類話：無法顆寫出壤算法營的問斥題；有以奴多項井式為梅界的礎算法思存在臟的問跪題，珍即Ｐ回類問黎題；介于慶前兩柴類問戲題之迫間的龜問題強，“肢ＮＰ羞——艇完全指”問知題。6/重26穴/2填02顛3151.敢3隨材機存背取模堵型自學6/樹26溜/2驚02捆316第二翻章數(shù)據(jù)尿結構抬和遞烘歸技副術6/銷26詢/2擴02橡317表、丸樹、餡圖表：冬a1,a2,a3,…被,ai,ai+訪1,…丑an是一株個數(shù)板據(jù)元飲素，濕ai-曾1為ai的前幕驅，減ai+診1為其喘后繼請。第揉一個攜元素住沒有梅前驅炎，最癥后一綁個數(shù)還據(jù)元袖素沒齡有后村繼。順序牢存儲讓：數(shù)籠組鏈式撇存儲監(jiān)：鏈松表6/皂26采/2伍02糖3182.含1圖久和圖年的表姜示鄰接搞矩陣鄰接槳表鄰接刃向量關聯(lián)修矩陣一般鋼有以蔽上幾洪種圖孩的常絲式用表鳴示法6/艘26賠/2聾02聾3192.歸2樹僅有魂一個文沒有得邊進姿入的團頂點辯，這邀個頂宅點稱旨為這刷棵樹練的根立；除根塘以外見的其愉它任這何頂北點，楊有且嘩只有槽一條糖邊進彎入該粘頂點兼；從根故到每朽一個堅頂點絕都有葛一條肚唯一橋的道扎路。6/母26及/2吼02途3202.雕2樹二叉凈樹：橋根最宴多有步兩個球孩子槐，若儲有左緩子，駕左孩筆子為辟二叉蚊樹；悉若有儲右孩立子，銷右孩塘子為瞇二叉感樹。完全艘二叉滴樹：綿結點污深度舟最多暑差1溪，除射沒有豎孩子烤的結懼點所氧在層蛛為滿鴨二叉肝樹，饞沒有粒孩子腥的結嶺點集溉中在有左邊把。滿二論叉樹淡：所粒有葉頑片的分深度參都相越等的抹完全爬二叉晌樹。6/囑26傷/2壓02財3212.折2樹樹的吵遍歷先序雁遍歷中序午遍歷后序準遍歷6/悉26喇/2樓02繪3222.痰3遞瓦歸技牽術一個京直接救或間果接地景調用期自身滿的過峽程稱條為遞璃歸過草程(頁re想cu狐rs宮iv遲e歉pr您oc充ed沿ur拜e)流；一橫個直鉛接或澇間接絲式地調愁用自射身的敲算法已稱為植遞歸狼算法默。一減個使鬧用函雕數(shù)自臉身給食出定妻義的啊函數(shù)沿叫做沸遞歸隱函數(shù)姻(r納ec雄ur搞si閑ve框f創(chuàng)un膀ct抬io屯n)孟。在牛算法損設計括與分仙析中雀，使描用遞遙歸技況術往眉往使體函數(shù)機的定集義和優(yōu)算法厭的描糠述簡統(tǒng)潔且埋易于織理解貨。有恐些數(shù)露據(jù)結葉構如韻二叉郊樹等遲，由蓬于其傭本身喚固有化的遞綿歸特叫性，柄特別蚊適合孩用遞檢歸的然形式洲來描疼述。帽還有諸一些鏟問題厭，雖鵲然其追本身姐并沒怎有明皺顯的欲遞歸窮結構馬，但監(jiān)用遞俘歸技飄術來南求解孟使設踏計出絹的算兇法簡確潔易窩懂且肅易于沒分析勵。6/膠26蘋/2涉02煩3232.板3遞季歸技簡術例2稈.5承階乘穴函數(shù)階乘漿函數(shù)夕可以滲遞歸讓地定否義為：6/欄26堤/2桐02皇3242.京3遞蠟歸技呆術定義土式的驢左右勾兩邊溫都引肅用了界階乘拍記號盾，是趴一個梁遞歸烤定義臉式，帝可遞攜歸地堂計算爛如下遼：in抄t訂Fa攏ct續(xù)or狀ia熊l(熔in搬t(yī)濕n){if動(n眼=游=木0)re猴tu贊rn甩1輕;el間sere澇tu臟rn辰n煩*挽F瓶ac紙to測ri合al六(n布-1骨);}6/泡26嫁/2技02緒3252.妙3遞河歸技尾術例2儉.6腿F半ib肺on測ac睛ci宗數(shù)列無窮卵數(shù)列漆1,漠1,司2,爆3,升5,濃8,抖13灣,2窩1,乓34鄉(xiāng)豐,5食5,暴..肅.，膛稱為課Fi躲bo押na春cc孕i數(shù)膜列或里級數(shù)赴。它慰可以秘遞歸翼地定事義為起：6/毫26朽/2餐02茅3262.氣3遞土歸技厭術第n娛個F驢ib余on玩ac贊ci責數(shù)可狂以遞蕉歸地窩計算往如下泛：in接t峰Fi抵bo然na枯cc抖i(持in陰t縱n){if嶼(n瀉≤獄1詳)re勇tu盾rn壇1銀;el牢sere訪tu荷rn含F(xiàn)流ib店on隸ac慢ci蠶(n狐-1輸)答+冶Fi拾bo獅na飛cc會i(絨n-童2)棕;}6/柳26承/2莊02網(wǎng)3272.捕3遞糕歸技逮術上述件兩例甜中的孝函數(shù)擔也可倡以用河如下傳的非長遞歸曲方式凡定義技：6/救26檔/2罷02跟3282.潔3遞朱歸技蹤蝶術并非鞠一切漁遞歸泄函數(shù)戴都能押用非找遞歸撥方式醫(yī)定義弟。為帳了對喘遞歸鉤函數(shù)艇的復統(tǒng)雜性帳有更漆多的掩了解煩，我微們再倦介紹迷一個筒雙遞碌歸函典數(shù)—撓—A著ch殺ke隔rm挺an雄函數(shù)率。當莊一個團函數(shù)塑及它誦的一襲個變步量是漆由函墻數(shù)自技身定纖義時蔑，稱陷這個趨函數(shù)釘是雙己遞歸市函數(shù)虜。6/仰26億/2孩02槐3292.黎3遞謠歸技虹術Ac串he系ma縣n函旗數(shù)A道(n扭,m捉)有鹿兩個撒獨立盡的整名變量爽m≥糕0刺和稀n≥院0，手其定創(chuàng)義如蜂下：6/葵26嫁/2笑02忙3302.先3遞薪歸技漢術A(嫌n,睛m)遍的自饒變量刮m的緊每一徐個值多都定瓜義了慈一個聞單變刊量函喚數(shù)。窮由遞強歸式市的第勞三式搶可知聾m走=第0定處義了象函數(shù)去“加瞎2”河。當m扎=晌1齒時，普由于但A(轉1,般1)質=椒A奪(A果(0笑,1產(chǎn)),教0)酷=生A梳(1慢,0員)下=棟2以遵及A胞(n侄,1觸)遭=牙A(蹲A(它n-遭1,講1)擔,0疼)涂=劍A(階n-宵1,觀1)碰+巖2惹(煌n隙>膀1)已，則綁A(行n,虧1)擊=斜2挪n溫(n綱≥墨1波)，戶即A叢(n衡,1歉)是臥函數(shù)揀“乘膠2”當m爬=寄2孕時違由于翅A(由n,疤2)烈=核A騾(A兔(n餅-1速,2末),賓1)譜=逮2挪A(廊n-翅1,底2)蕉以及弟A(昂1,他2)得=盈A停(A孝(0獲,2浪),顆1)喊=蜘A助(1嫂,1盼)申=出2，短則有鄙A(躁n,括2)賢=騰2赤的n比次方6/屠26西/2瀉02評3312.離3遞惹歸技左術大家醬可以裕試著屈算一偏下A本(2衰,1線0)蒸和A舞(3跑,4教)答岡案分貫別是緣瑞：222```2｝10駝個2222```2｝65吵53剩6個刺26/誼26勢/2照02捕3322.柱3遞牛歸技濾術整數(shù)見劃分把一菠個正緊整數(shù)可n表蜜示成鋼如下擦形式趨的一臘系列似正整璃數(shù)的盟和，鋸叫做低n的熄一個澡劃分狐。6/優(yōu)26視/2魚02華3332.奔3遞徒歸技店術正整甚數(shù)n妹的不銀同劃挽分個發(fā)數(shù)稱危為正僻整數(shù)宋n的低劃分扯數(shù)，擁記作乎P(悲n)攻，P共(n觀)是垂一個隔數(shù)論捏函數(shù)亦。例款如：雄正整飛數(shù)6期有如露下1提1種乞不同掙的劃搜分，掙所以懼P(挺6)數(shù)=呀1接1。錢這1俊1個揮劃分好分別消是：6;5+陶1;4+籃2,干4首+1層+1量;3+練3,漆3值+2臥+1運,采3+謎1+襖1+巡壽1;2+牧2+拿2,疾2語+2搶+1說+1確,存2+倦1+詠1+家1+押1;1+爪1+昏1+榨1+盞1+海1。6/跨26盒/2傍02著3342.蘭3遞診歸技疤術將最賭大加扯數(shù)n1不大記于m概的劃盞分個佳數(shù)記誕作Q扔(m曬,n童)。戀我們牽可以宵建立萌如下宿的遞悠歸關付系。Q(茄n,價1)器=耽1啟,麗n檔≥戴1;當最真大加筑數(shù)n1不大控于1時，果任何兆正整謝數(shù)n只是漢有種聲切分尊形式剩，即n顫=故1+班1+暴..奸.+晃1，n個1相加語。Q(賓n,兇m)劉=Q(辟n,農(nóng)n),延m脆≥千n喉;最大讓加數(shù)n1實際盯上不乎能大盤于n。因鼓此，Q(胃1,師m)振=霧1。Q(緣瑞n,染n)掃=甲1千+串Q(第n,嘆n-態(tài)1)夸;正整郊數(shù)n的劃拉分由n1凳=播n的劃環(huán)分和n1雪≤旗n員-1的劃鳥分組苗成。Q(墓n,柳m)滔=額Q(甘n,塑m-鄉(xiāng)豐1)以+Q(沸n-乘m,邊m),減n鳳>洪m炭>經(jīng)1燦;正整夕數(shù)n的最瘡大加兼數(shù)n1不大血于m的劃挑分由n1幟=眨m的劃索分和n1讀≤慈m溜-1的劃竿分組壤成。6/為26罰/2臺02笛3352.兆3遞游歸技緞術以上狹的關卡系實糾際上予給出咽了計迷算Q政(n景,m忍)的洲遞歸探式如方下：6/居26喘/2扔02厲3362.懷3遞榜歸技貨術可以請設計發(fā)出計濱算Q種(n與,m統(tǒng))的桑遞歸牢算法傘如下云：in文t秋Q(具in賤t蟲n,跌i蠻nt任m店){if翅((送n陡<噸1)酒|晉|棚(m化<冊1索))re猴tu珍rn拍0丘;if并((狡n屈==瞎1謊)形||暮(獵m蛇==歡1寫))re慢tu涌rn垃1蝕;if馬(n截<房誠m曉)re似tu腥rn貫Q挺(n模,n栽);if稱(n紫=均=期m)re汁tu態(tài)rn術Q鄭(n法,m殖-1爐)生+卻1;el頑sere撫t(yī)u下rn策Q勒(n船,m蟲-1捐)隆+伍Q(控n-狹m,煉m歷);}6/丑26隙/2只02舍3372.按3遞竄歸技催術Ha踐no椒i塔能問題吃設a悉,b陶,c承是3壤個塔衰座。林開始下時，核在塔喜座a屠上一嗽疊共凱n個陳圓盤尿，這減些圓爪盤自夫下而兩上，省由大農(nóng)到小撇地疊通在一凱起。奸各圓動盤從耽小到兼大編睛號為及1,眨2,膛..齒.,銳n6/倡26編/2脅02拍3382.赤3遞框歸技逢術現(xiàn)在恒要求杠將塔猶座a疾上的殊這些把圓盤戒移到棉b上晉，并邀仍按冷有序座位置費疊置巴。在通移到輝圓盤龍時應斯該遵攤守以酬下規(guī)奧則：每次水只能評移動賢一個捕圓盤奪；任何千時刻府都不臘允許將將大攤盤壓扎在小腎盤上侍；在滿狡足規(guī)土則1和規(guī)祖則2的前掏提下歇，可襲將圓倘盤移井至a,捎b,食c中任碼何一丸個塔辜座上絡。6/社26吸/2差02睜3392.則3遞票歸技蛙術這人最問題朱有一況個簡著單的徒解法般。假性設塔暢座a炸,b翠,c欲排成質一個刷三角肌形，傾a-慢>b沃->盛c-瘦>a吵構成股順時艘針循慈環(huán)。鳴在移伸動圓精盤的選過程逃中，志若是采奇數(shù)液次移勁動，府則將母最小熊的圓叛盤移貌到順保時針金方的稍下一族塔座碼上；刪若是稀偶數(shù)葛次移泥動，仔則保塞持最腰小的第圓盤如不動孟。而水在其垂他兩駁個塔羨座這亂間較榴小的嘩圓盤接移到夸另一辟塔座匠上去吃。6/箏26跌/2援02墳3402.衣3遞線歸技載術當n夸=偶1拘時股，問擱題比攏較簡此單，每只要河將編猜號為夕1的熊圓盤揉從塔或座a寒直接乎移至夸b上斷即可觸。當鐮n召>沿1淺時，統(tǒng)需要各利用滅塔座卸c作示為輔慚助塔薪座。嘆此時屈若能梅設法苦將貫n-每1膚個較財小的常圓盤豈按規(guī)仁則從名塔座血a移潛至塔匯座c妥，然與后將阿剩下衰的最竟大圓尺盤從誓塔座新a移逼至塔謝座b領，最規(guī)后再婚設法抄將聾n-就1歸個較食小的貫圓盤旅按規(guī)逗則從聽塔座按c移塞至塔格座b躍。由錫此可升見，添n個震圓盤漂的移圍動問玻題可咸以分謹為兩術次污n-姓1門個圓聚盤的旨移動逆問題嫁。6/冬26附/2體02選3412.扯3遞嚴歸技釋術可以陸設計嘗出解和Ha第no仁i塔互問題持的遞移歸算宏法如確下：vo辜id讓H樂an六oi姨(i盜nt盡n末,稼in獵t乳a,攪i急nt測b廢,性in煮t撲c){if喉(n隙>僵0娘){Ha示no覺i(自n-凈1,膏a,棉c,單b)盤;mo丘ve意(a翠,b赴);Ha滅no羅i(蹲n-調1,借c,器b,沉a)紅;}}6/納26際/2閱02頓3422.悠3遞難歸技截術二叉谷樹中繩序遍放歷遞劑歸算錄法Vo佩id青M利id牧Or躍de綢r(梢ro寒ot潑){if廣(r底oo黃t逢!=悉n僻ul根l){Mi工dO梁rd妻er結(r轉oo瓦t-叮>l查ch灰il竄d)畝;tr仔ea舍t(yī)(產(chǎn)ro焰ot窩);Mi核dO焰rd抗er姐(r回oo愉t-務>r棒ch蠻il賤d)么;}}6/瞧26溉/2用02銹3432.館3遞腸歸技駐術算法陣Ha避no板i以讓遞歸晶形式割給出你，每仔個圓寸盤的破具體籮移動檢方式罪不清兩楚，屑因此盞很難強用手攏工移擺動來綱模擬喊這個薪算法經(jīng)。但虧該算濕法易礦于理慘解，霞也容幸易證慮明其牧正確理性，關而且乓易于稱掌握英它的辣設計塵思想梅。由清昆可嘗見，次用遞練歸技楚術來著設計店算法餐很方暮便，湊而且余設計費出的哨算法獵往往趣比通瞞常的卻算法晝有效柜。6/互26灣/2舍02柳3442.啦3遞襪歸技次術遞歸公過程喬的實角現(xiàn)像H喇a(chǎn)n芹oi戶這們覽的遞俘歸算緣瑞法，宿在執(zhí)欲行時震需要變多次蟻調用少自身循。實盡現(xiàn)這闖種遞危歸調宰用的盜關鍵穿是為謊算法刷建立塔遞歸湯調用蘿工作衛(wèi)棧。6/東26礦/2別02既3452.嶼3遞怠歸技節(jié)術通常似，在棕一個凝算法掘中調猜用另集一個策算法寇時，室系統(tǒng)升需要晉在運姐行被殿調用駱算法永之前賞先完縣成3企件事類：將所澡有實揮參指劉針，跑返回嶄地址補等信滅息傳截遞給刪被調桿用算交法；為被戲調用驕算法香的局塵部變寧量分電配存俯儲區(qū)炊；將控度制轉櫻移到路被調異用算需法的村入口6/辯26渴/2奧02肝3462.璃3遞韻歸技障術在從橡被調姓用算妹法返翠回調勉用算驕法時捆，系汽統(tǒng)也屠相應責地完紅成3袋件事挨：保存揭被調瞧用算俘法的裝計算奇結果枕；釋放康根本辟給被即調用匙算法茄的數(shù)閥據(jù)區(qū)飯；依照初被調棕用算診法保識存的揀返回小地址懷將控治制轉工移到丟調用基算法水。6/拋26丈/2榜02見3472.孔3遞紅歸技鄭術當有宮多個遞算法加構成鏟嵌套夾調用堪時，濱按照亞后調殿用先展返回釣的原食則進忙行?？襁f歸耗算法演之間隸的信線息傳陪遞和煌控制楚轉移奇必須遲通過許棧來明實現(xiàn)霧，即忌系統(tǒng)竿閨怨品整個揉程序描運行扣時所氏需要鏈的數(shù)退據(jù)空與間安槽排在森一個豎棧中棕，每傳調用帥一個重算法性，就統(tǒng)為它甜在棧倆頂分爐配一君個存估儲區(qū)棍，每祝退出摘一個品算法豈，就陰釋放些它在弊棧頂易的存妥儲區(qū)牽。當泡前正料在運在行的燥算法足的數(shù)柿據(jù)一命定在得棧頂繞。6/密26濃/2山02殼3482.蓄3遞引歸技織術6/碎26辟/2頌02羞3492.舍4解烘遞歸應方程對于箭k階因齊次報方程F(艘n)狡=a1F(容n-圈1)洽+a2F(欄n-析2)頓+…墓+akF(么n-饑k)鍋，已潛知：雨F(釣0)印,F串(1慕),譜…,歲F(康k-糞1)擾共k葛個初尿值特征杜方程梯為：xk-魔a1xk-身1-蠻a2xk-料2-…歐-餓ak-史1x安–拐ak=迫0；孕有k專個根耗q1,按…,執(zhí)qk6/德26例/2桶02傻3502.羽4解啟遞歸訊方程qi(i憑=1彼…k晝)互是不相吊同，憲通解陣如下筑：F(挑n)善=伶C1q1n+貞C2q2n+…越+解Ckqkn若有道重根曠q1≠q2≠…≠qi=…悲=qi+麻r-挪1≠qi+顫r≠…嬌≠qk，通侄解為窯：F(申n)蚊=乒C1q1n+被C2q2n+…山+Ci-悅1qi-詢1n+(氏Ci+Ci+匯1n+截…+撈Ci+殃r-旁1nr-優(yōu)1)拆qin+陽Ci+促rqi+惠rn+…甚+倆Ckqkn6/聞26影/2沒02鋪3512.達4解強遞歸澆方程對于道k階批非齊棚次方粒程F(翻n)根=a1F(復n-搖1)碰+a2F(吵n-事2)鼓+…+akF(捐n-而k)建+f置(n拍)通解犧為：源F(紡n)貿=灘F,(n吵)賣+錦F*衡(n蛇)。咽其中聾F’煙(n尋)為些無f輛(n蓄)時拾的通日解，嘉即k久階齊位次方倍程的亭通解竭，緩F*斧(n墨)為啞特解6/丘26喉/2揪02氣3522.鉗4解符遞歸問方程先寫霞出特喂征方憤程然后迎根據(jù)勵k個疊初值敢求出腫待定拒參數(shù)Ci最后遣驗證6/助26廊/2陜02智3532.餅4解綠遞歸星方程直練習半1F(屑n)故=吹7F辭(n礙-1襪)有–搞12害F(憤n-售2)款;宋F(塊0)閥=阻4之,擔F(槍1)謠=脈0解：巧特征丙方程造為x2-提7x紗+仆1長2奪=唱0；解得宜：x1=3娘，x2=4唱；F桐(n賽)狹=么C13n+合C24n∵F(姓0)灶=模4并,駝F(井1)擾=薦0∴C1=1愧6，血C2=-滴12∴F(玩n)甲=披16×3n-艙12×4n6/鼻26爐/2筐02丹3542.佩4解悔遞歸畢方程孟練習霸2F(銹n)頌=沖6F杜(n本-1斯)俗–定9F賽(n奴-2型)組+筋3F(尼0)婦=駕0術,煩F(皇1)釀=錯1解：窯特征螺方程腐為x2-督6x妹+陽9楚=琴0確；解得執(zhí)：x1=x2=3葉；F餅(n才)糾=嘆(C1+驢nC2)3n+六C3×3∵F(藥0)茅=全0府,蘋F(嗓1)慈=庭1臭,F立(2割)=濃6頭,崇F(翅1)聞-9雅F(極0)量+3覆=9∴C1=瞎-3英/4揪，C2=5蜂/6眼，訓C3=1辟/4∴F(持n)慰=彩-殊3/祖4×3n+窮5/牢6×3n+歐3/烤46/局26旺/2蹄02唐3552.祖4解貫遞歸條方程資練習哀3F(搬n)略=稈7F名(n擾-1托)該–咽10臂F(紡n-竹2)站+判3nF(犯0)處=右0歸,咬F(主1)費=盈1解：辰特征離方程嘴為x2-撥7x地+差1瞧0疊=自0；解得淋：x1=2慌，x2=5纏；F(賀n)個=碌C12n+獄C25n+停C33n∵F(昆0)就=慌0壟,麥F(濁1)誤=隨1擦,F芽(2訊)=坡7真F(綿1)映-1貌0F扮(0為)+墻32=1糟6∴C1=紗8/呀3，裙C2=名11妨/6怒，害C3=用-9辛/2∴F(克n)折=福8巡壽/3×2n+桐11援/6×5n-西9/注2×3n6/博26霸/2飲02姐356第三濱章分治鳳與平支衡楊素核勤（棉１２瞇００碗６０拖０９拋８５右）6/破26利/2睛02惹357分治惜與平啄衡的屠思想把一撈個問昨題分燦成k在個同惰類子買問題笛處理智的分治上思想蚊和子夏問題甲規(guī)模翠大體懇相等何的平衡思想（b曲al涼an疤ci率ng備）相躁結合,即死為分附治與平士衡算華法.6/甘26具/2萬02史358兩個蟲非遞度減序燦列的悔合并下面樓將介扇紹兩佩個有河序非剝遞減擋序列扁如何仍合并超為一社個有晨序序忍列：給定艘兩個鳳非遞妖減有蒼序數(shù)柿列冒和占把這著兩個序列腦按非卻遞減拼有序品合并恥入演。分別捉取出充兩個答序列爺中的訓第一研個元灘素，棍對這輔兩個品元素廣進行碗比較淋。如窩果a1蟲不大辦于b父1,臟則將紋a1盼存入雖c1送，取紙出a而2與辟b1做進行肢比較心。如舌果a毀1大徐于b汪1則炊將b偽1存附入c扁1取漫出b潔2與伴a1車進行釋比較統(tǒng)。重復演上述戲步驟貌，直柏到兩委個序叮列完稻全合欄并。6/朗26證/2訴02襖359兩個鳥非遞象減序疾列合額并的只算法將：繭和猴合拴并存幕入Pr介oc兵ed偷ur倒e助ME紐奉RG冤EIi=停1;護j=縱1;依k=導1;Wh羨il峰e庭(禽i<戒=m懶)傭a鈔nd徹(j路<=適n)哭d厚oIf徐A纖[i廢]<汁=B變[j腐]貞th僚enbe衰gi退nC[宜k]央=A雄[i映];i=恨i+導1;k=薪k+田1;en含d;6/邀26悟/2桶02秀360兩個辦非遞俊減序篩列合鏡并的膽算法el換se拐C鏡[k品]=餓B[芬j]境;j=街j+緊1;k=央k+專1;en鵲d;if浙i霸>m扮t脫he紛n丈{將疤bj、bj+庫1、…朗、bn依次掙賦值拉給Ck}El深se倦{將半ai、ai+測1、…申、am依次蜻賦值瓦給Ck}算法怖中，妨最大版的比想較次養(yǎng)數(shù)為護m+踏n-癥1.6/挺26漫/2拍02宋361合并怨排序究思想設給袋定集分合S=駕{x1,x2,…慎…,蛇xn},初且n買=2k。當n久>2擴時，示把S乘分成斯兩個賠不相齊交的墳子集挪合S1={山x1,x2,…章…xn/和2}和箏集合盤S2={侮xn/濱2+寫1,xn/哄2+嬌2,…被…,宗xn}。直到涉集合級S分太解到語每個釣子集飛合的熔元素麻不超率過2欲時為指止。比較難1次煎即可敏將只陜有兩拐個元裙素的稠子集凈排序惕.調用洋前面座的M山ER握GE難I算忍法將邪各個越子集抽合合音并。6/露26百/2角02宴362合并塘排序落算法pr貸oc誤ed松ur盈e揪ME寒RG純ES飯OR被Tin筆te華ge菊r:箭n餓;ar縮慧ra值y:駁A晶[1微:n步]值of注i勾nt丈eg盞er籍;pr嘆oc滋ed歐ur忍e販SO喘RT船(A衛(wèi),法i,盯j爆);in輛te楚ge搏r:披i網(wǎng),派j,股m情;ar晨ra拌y:仔A況[i擇:j承]旱of釣i遷nt評eg暈er籌;be誘gi揮nif洲j拳-i憲=1乒t胞he僅nif夠A徐[i陶]>值A[錫j]6/慨26寒/2盒02阻363合并蕉排序權算法el裝se鹽b馬eg顏inm=叼(i暗+j陳-1胖)/愉2;SO禽RT珠(覽A,面i壟,青m)籠;SO魄RT迫(A斧,瞎m+蔥1,圈j瘋);ME則RG肉EI新(A份[i陵:m掉]，準A[盤m+誰1:巷j]吹)en濤d;en牧d;be澆gi膝nre渣ad房誠(n麻,A險);SO能RT伐(A走,謎1,爭n懸);wr夾it縱e(罩A)漲;en害d6/戶26降/2啦02賤364用二摸叉樹腰來表例示排釀序a>添=bb>憑=ca>貌=ca>瞇=cb>日=ca,顛b歡,校ca,偽c年,腔bc,址a伐,臭bb,欣c宣,煌ac,廊b校,疑ab,極a按,窄cYNYNYNYNYN6/賀26歡/2訴02菠365用二挨叉樹碌來表注示排盤序左圖鉛為一胸棵平隨衡二濃叉樹崗，平析均比聞較次牙數(shù)斯(配時間晴復雜沖度)類為(2真×2爹+3吼×4坡)派÷6簡=2菠.6加7。原始墾數(shù)據(jù)勾的狀跡態(tài)會禮影響威排序秀的效邪率。6/胞26匆/2某02少366用二歲叉樹耍來表閘示排蹲序N個獻數(shù)排狼序，漠有n駛！種撐結果及，對咸應的和二叉余樹有僻n！取片樹彩葉。汗如果懷算法龜對應澤一棵到平衡疤二叉丑樹一侄定存妻在一均個k劍使K對畜應平芝衡二票叉樹遺中深葵度小子的結閥點，課而k帶+1敢則對墨應二板叉樹纖中深奇度大盒的結勒點。若踩，任何法需要蠅比較凍進行粥的排云序算醉法，料已赴經(jīng)是清最好其的算葬法數(shù)想量級縮慧。6/司26唱/2南02底367快速衰排序將集縫合S監(jiān)={亂a1,a2,…歉…,雜an}分疑成小妖于a鎖，等昌于a面，大泡于a牢的三據(jù)個子夢集合嘆S1，S2，S3。分躬別將皂S1與S3排序本，最著后將辣S1，S2和S3連接格起來診。優(yōu)點：（蝴1）攀劃分庭以后梳就減參少了顛待排弦序元蹈素的宏數(shù)量窄。（2辰）子塑集合頭排序釀后采榴用連懲接而號不用庸比較傻就可碎以歸場并。缺點殺：a禿難以浩確定訂恰當綠地確華定，跡因此璃平衡市的思拳想就勵難以免體現(xiàn)馳。6/黑26畫/2鄙02貧368快速命排序累算法先要通解決相如何母在同撕一數(shù)但組中仁劃分筐子集攜合：a1，a2，a3，…屯…，逃an-孔1，anwh胞il優(yōu)e贊i筑<j出dobe浮gi桐nwh脾il愚e陡ai<a時d變o低i=啞i+門1;wh桐il素e仗aj<a陜d快o芬j=撈j-芝1;交換印ai和ajen誤d;6/爹26陪/2熱02乒369快速獸排序寇算法pr供oc欲ed議ur討e錢QU寫IC淡KS陜OR豬T(賺S)俱;if配|辣|S裳||賢<=宋2慰th量enbe泥gi皮n將S京中的滿元素襲直接序排序膜；re型tu處rn急(S步)en鑰del占sebe斧gi稀n從集陸合S衛(wèi)中隨濟機選舊取一獄個元羨素a例；把S宋中的米元素簽分成沃小于皂a，分等于盜a和書大于周a三峽個子蕉集合灶S1逢,S趨2,亮S3阻;re居tu慰rn糕(Q讓UI厘CK岸SO蠶RT矛(S尚1)浸接著靠S2餃接著血QU泰IC逗KS眨OR縣T(漿S3涉))en柔d6/蘿26冠/2緩02斤370課后詞作業(yè)考慮嗚分治現(xiàn)—合腰并排多序算桑法，撲重新演設計ME質RG姥EI丑(A歲,B定)，不考慮探ｎ不鍬一定搞等于實現(xiàn)萄快速狡排序退算法集。6/火26壇/2國02個371第四紐奉章潑排財序6/超26漲/2篇02伶372目錄4.窗1氧排序泡的定誕義4.騙2業(yè)基數(shù)刃排序4.葵3背比較嶄排序歷的時冷間下房誠界4.銀4里堆選搏排序4.齒5旦插入趴法6/紗26洽/2材02蓬36/泰26船/2畢02擔3734.漫1吼排序肺的定燭義半序逆的定呆義定義如果動集合S上的乓一個糕關系R，對喉于S中的團任何甩元素a，遮b，農(nóng)c，若1.aR暖a為真統(tǒng)（凍自反險性）熱；2.圾由aR縱b和bR湊c可得aR阿c（傳聚遞性組）；3.報由aR選b和bR脂a可得a=胸b（反序對稱鉤性）千；則稱彼R為晌集合號S上番的一壞個半序(pa倚rt遷ia明o考rd費er)。6/臥26伯/2朽02然36/炒26側/2詢02兆3744.箏1想排序扎的定刊義排序鉤的定箭義給定融一個枝從有撐線性甜序R的集瞧合中矛抽出眉來的n個元殲素a1，a2，…歡，an。所墾謂將晴這n頌個元棍素排器序就迅是要粉找出駁1，稱2，駐…，蟻n的炭一個侵特定艦排列∏(1俗)，∏(2網(wǎng))，…荒，∏(n回)，使倚得對救于任圓何i蕩，1≤i＜n，砍有a∏(i再)Ra∏(i引+1糖)。當焦關系槐R是身“≤”時乖，既步有a∏(i濤)≤a∏(i膚+1蕉)≤井…≤a∏(n待)。6/閃26另/2誼02躬36/跨26抖/2然02哀3754.旗2赴基數(shù)遙排序待排些序元壩素a1，a2，…捷，an，將姥其置茫于一際個桶院（隊奶列）暴Q中擴。ak均為耍k元村組，街每一亞元由療m個藝不同忍的符莫號而明組成纖,另碎設m棕個不糾同的幸桶分液別對真應m加個符震號。駱將Q層中元兼素按周元分態(tài)裝到育m個摸桶中意，再機將m爸個桶醋中的定元素否歸并具到Q夢中，潛如此仗進行置k次灰，即耀可使酬Q中閃的元歸素有穿序。6/炭26馳/2先02暮36/威26挽/2跑02擺3764.條2謙基數(shù)縮慧排序例鹿用桶參排序竹法將顆以下爺6個備數(shù)排獎序：37沃9，哀25亡8，蒸73捐1，見43贏2，境91也3，旋45取50號桶1號桶2號桶3號桶4號桶5號桶6號桶7號桶8號桶9號桶按各位數(shù)置桶731432913455258379第一次合并后隊列731432913455258379按十位數(shù)置桶913731432455258379第二次合并后隊列913731432455258379按百位數(shù)置桶258379432455731913結果2583794324557319136/亡26固/2恰02耐36/查26冠/2矮02抓3774.邁2呀基數(shù)贈排序算法扔4.斧1揮桶排撞序法輸入銷一轎個序據(jù)列A1，A2，…它，An；這予里每漲個元挽素Ai是一倦個K希元組篩（摸ai1ai2…aik），董其中界，對奔一切妙i,漸，j糕；疏1≤i≤n，1≤j≤k，看有0≤aij≤m-懷1。輸出格序喬列A∏(1險)≤A∏(2政)≤…≤A∏(n皂)，它壞是A1，A2，…姜，An的一塘個排劫列。方法恥使副用隊憐列Q講UE鴉UE浩存放忠“當慕前的嬌元素燭序列轉”，喂還有鏡m個愧桶Q礎[0逝]，為Q[般1]遵，…揪，Q償[m蚊-1貴]，令它們捷都是償一個曉先進鍛先出批的對鏡列。亞用Q統(tǒng)[i所]來恨存放塑當前柔的分褲量是白正數(shù)援i的地那些館元素校。（陸參見換過程遙BU濃CK教ET皂SO秧RT跌）。6/壁26預/2者02刑36/切26惠/2已02減3784.輝2令基數(shù)源排序基數(shù)依排序饑算法挽（算揉法4域.1喝）pr祖oc念ed遙ur股e澇BU紫CK瓶ET蔑SO師RTbe面gi迅n置A1，A2，…秀，An到隊啦列Q袋UE計UE慌中；fo乎r拉i←酸j召s訊te貿p湖-1蕉un們ti請l輸1訊d良obe押gi挪nfo低r叮I←杯0病t候o益m麥-1偏do欺置Q界[I捉]為郵空；wh予il置e基Q繩UE施UE夕非空嘉do職把Q崗UE憲UE慰中的搭第一尚個元書素Ai置入懶桶Q蘇[aij]中值；fo揀r組l←灘0物t要o贊m犁-1攻do呢依次底置Q艷[l問]中炒的元喪素到遣QU如EU自E中en遙den沒d定理毛4.旨1算法劑BU督CK智ET梢SO炸RT倦將n曬個元嘗素排錫序所港需的日時間磚是O籌(k處(m怨+n示))叉，其列中k芬是每駁個元靜素的子長度工，每隱個分夠量是筒介于安0到群m-那1之蒙間的謝整數(shù)肌。6/儀26命/2鬧02墓36/些26汗/2方02泛379問題能否迷用基富數(shù)排太序法西對不松超過蜂k元裂的多奪元組蝦進行暗排序井?若回柿答肯噴定,廉對元筑組分村別為僑多數(shù)窄字和坐字符騰串時頁如何紀處理必?6/短26絕/2詠02罵3804.淘3未比較捧排序遠的時養(yǎng)間下棚界引理鞋4.吊1一棵銳高為占h的籌二叉殿樹，扁最多滾有2h個葉緞。定理逮4.產(chǎn)3將n斥個不塵同元英素排繳序的限任一額判定察樹的茅高不左小于如「l吳og2n!功」。6/臥26焦/2叛02嘉36/課26亮/2弓02膨3814.嘴4叼堆選盼排序堆選尾排序堆是緒一棵翼完全劃二叉叔樹且ai>=誦a2i,耍ai>=滅a2i趙+1把所鐵有要與排序售的元蜘素建歪成一齒個堆控，然度后刪膽去根引節(jié)點廚上的民元素添。將腹最大覽深度鹿的最決右邊四的葉侍元素刺移至蠻根結允點，如將這炸棵樹螺再建索成一贏個堆黎。重翅復上繭述過嶺程，遙直到抽這棵宇樹只勿剩一掛個頂院點為歲止。肚從這或個堆植的根兄節(jié)點留上刪立去的海元素痕序列奪（按逆刪去汽的先坦后順甜序排星列起墓來）晉就是滋一個誦排序鋪好的訪非遞歉增序愚列6/皇26配/2編02蘿36/愈26躲/2側02刺3824.敬4災堆選挪排序堆排顫序的線過程論是，宿把初出始數(shù)辟據(jù)“裙堆化丟”后限，重蝴復執(zhí)征行如磨下兩翼個步歷驟：嚴1.費刪限除根欣節(jié)點依的元濁素；捏2.硬將踐最深車最右怪的葉能元素穩(wěn)移到劈燕根節(jié)醉點并月刪去捷這個以葉，械重新占堆化蓮。在實阿際處滅理時榆，只慰需將兄根節(jié)融點元倦素和賴待刪卷葉元查素互偵換，恩就能瞧達到搏刪除詢根節(jié)唇點元幻玉素和滴把最旁深最蓋右的喊葉元然素移接至根秘節(jié)點巾上的臨雙重裕目的濃，然昏后對梯剩下忙的元垮素重疏新堆吩化。例嚴對5惱0，筆24為，3輕0，織20爭，2仿1，夢18表，3賠，1夸2，駱5，醒6進酬行堆漫排序皇。6/俱26蔬/2唉02秀36/等26喬/2唇02漆3834.肝4碗堆選彈排序例協(xié)對5孟0，照24初，3阻0，晌20刷，2忌1，頌18掩，3盆，1炎2，躺5，伴6進萄行堆富排序坊。下列碑的圖堆表示雪刪去言根元躺素和莫重新積堆化注的過腦程。(i沫)(i對i)出刪扒去5吉0，取將6東移至漠根部6/扶26佛/2隱02跑36/基26訴/2做02斗3844.拜4晉堆選主排序如果膠用數(shù)外組記聾錄上揚述過禽程，核數(shù)組濫元素余的變昂化如貴下：(i犯)龍5與0，駕24權，3慮0，店20探，2舞1，管18際，3速，1表2，清5，胡6(i否i)幅6，殼2斷4，憑30崖，2悟0，畜21豪，1光8，顛3，朱12膏，5餓，50(i天ii咐)栽3柴0，俱2寶4，繞6，世20閑，2灰1，罰18釘，3刑，1較2，碧5，50(i盡v)當6，脹2右4，冠18吊，2稀0，織21稅，6養(yǎng)，3警，1鹽2，希5，50(i裂ii沾)演將6攜與它醉的最烏大兒岔子3妙0交斷換(i代v)色將蒼6與同它的除最大籮兒子溪18像交換6/遇26照/2岸02鎮(zhèn)36/狠26摩/2鑰02熔3854.道4膝堆選令排序算法逢4.漢3嘆構造胃一個挪堆輸入副數(shù)組捆A[確i]拜，1≤i≤n。輸出秘把A醉的元堅素變短成一曲個堆付，即鳴使得歪對于姓1＜i≤n，A[轉i]≤A[「i/僚2」]。方法簡見過樓程B伍UI休LD幼HE探AP裙。6/成26擱/2爐02剛36/急26核/2池02秋3864.銹4針堆選匆排序構造渡一個奶堆（問算法表4.券3）pr青oc銀ed救ur濟e狡BU綠IL代DH縱EA癥Pbe你gi熔npr播oc東ed炭ur極e鑒HE帥AP速IF雕Y首(聞i芬,捕j秀)be訂gi半nif挺2i至<j勸th回enif落A[他2i禿]漫≤赤A[拿2i鴨+1悶]耀且妥A[申i]令≤暴A肆[2辦i+芬1]銀th針enbe區(qū)gi淡n交換增A[想i]跨和A蝕[2數(shù)i+飄1]莖；HE別AP究IF欲Y(左2評i+窮1善,糊j刻);en煌dif仁2i古=霞j怨th瞞enif廚A[滅i]繼<盈A鮮[j不]壇t響he羨n喂交討換A夕[i鴿]和景A[腐j]en鐘dbe椅gi逆nre納ad捕(A州[1選]，普A定[2芝]，拔…，雄A創(chuàng)[n岔])擠;fo繁r嚇i牌←版「姻n/兇2」采st岡ep法-1翻un固ti責l豎1聞d膊oHE貨AP全IF源Y究(漸i軟,藝n達)en滋d6/棄26舊/2魯02餅36/旬26咱/2畫02挪3874.鎖4慣堆選陵排序算法創(chuàng)4.歸4堆選恥排序鑼算法花。輸入牛數(shù)組普A[扇1:勾n]兼。輸出項按非撤遞減閑序排田列的訓結果襖。方法圓見過盜程H位EA陸PS提OR扛Tpr漸oc溉ed希ur波e賴H焰EA扯PS王OR葡T:be至gi鈔nBU冰IL康DH額EA坊P;fo歷r灰i歲←獻n平st派ep撒-1躁un璃ti印l齒2徹dobe蛙gi舅n交換夾A[桑1]蓮和A效[i搭]；HE丈AP守IF哨Y紀(1例,茂i-吸1)盡;en壞den染d6/鐘26蝕/2腰02池36/釀26拐/2守02值3884.驗4繭堆選漆排序定理避4.視5算法救HE稿AP龍SO罪RT增對n坐個元允素排懶序所測需的凈時間膽是O凍(n越l妨og2n)處。6/舟26和/2仆02捐36/今26限/2松02秧3894.祥5合插入五法分段障逆序沃插入府法設A鋪={釋a1，a2，…罷，am}是銳一個啟非遞萌減序雜列。速B=段{b1，b2，…慶，bm+干∈}是顆序列萬A的潛伴隨苗序列萌，即商對一供切1≤i≤m，鎮(zhèn)有bi≤ai，其虎中∈的漁值是吳0或灰1。供將B趙中的峰元素對插入烘到序下列A抹中，和使A帽、B裝合并描為一脹個大縫的非工遞減還的序墓列。司因為且已知bi≤ai，所目以對仍任何齊bi，只草要能腔把它廉插入枝到a1，a2，…嘉，ai-灣1的合而適位網(wǎng)置即匙可。戲如果輝在bi插入卸前，浪已有兵某個肚bj(j≠i)已插春入到遺a1，a2，…顛，ai-貌1中，陸bi同樣疤可以獸插入扒到ai左部遣的部跨分序悶列中料。6/討26概/2針02想36/以26輕/2抵02誦3904.夸5起插入衛(wèi)法bi插入嚷的方莫法就晚是所創(chuàng)謂的遣分段帝逆序汗插入象法。對較結小的石m，疑序列奔B中犬元素刮的插翁入順冊序和霜所需茅比較侵的次挺數(shù)見呢下表領。Aa1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13…a21a22a23…a43a44…Bb1b2b3b4b5b6b7b8b9b10b11b12b13…b21b22b23…b43b44…bi插入順序13254111098762120…124342…2285…最大的比較次數(shù)0223344444455…566…67…Bi肢插入晉的順燥序和霞所需女的比竊較次覺數(shù)6/擾26魔/2鼻02憂36/古26膀/2虹02公3914.積5客插入買法bi的插蛙入順此序和殺所需膠比較領次數(shù)夾是這仍樣得踩到的辣。因綢為b1≤a1，直娃接把碧b1置于副a1的前扶面。淘當m略+∈街≥3扒時，歸先將尾b3按折照半查葵找插條入序孤列b1a1a2中，膨需要撕兩次勺比較翻。插數(shù)入的鋸結果院，即村使b3小于叛a2，再亦插入治b2崖時，腫也不凝過是醫(yī)將它覽插入抬b1a1和b3構成扣的長脫度為恭三的款序列名中，準仍然倚只要停兩次琴比較嗚。至火此，茫a4以前幫一共摘有6姜個元咱素。今如果換m+獲∈≥脾則先坦插b5，后瞧查b4，它壺們最聾多時貪插入當一個輔7元浴序列惱中，欣各需羨三次桶比較聲等等糖。為嚴孫格描買述分感段逆見序折去半插竹序，秤定義穗了一踩個遞以歸函完數(shù)f壘(n逝)齒（稱索做分蔑段函醒數(shù)）鏡。它危是f意(n臣)勤=1,報當n獎=1按時2n+f泛(n柄-1巷),木當襖n=雅1時6/顫26勤/2煩02予36/姨26肺/2誰