河南省南陽市2022-2023學年高三上學期1月期末數(shù)學（文）試題含答案

2022年秋期高中三年級期終質(zhì)量評估

數(shù)學試題（文）

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的）

1.若集合4=卜,一2x-340},B=|x|log,x<1},則Zu6=（）.

A.[-1,3]B.（-oo,3]C.（0,2]D.（0,3]

2.設復數(shù)z滿足（l+i）z=|3+i|,則復數(shù)z的虛部是（）.

M

A.-5B.5C.-----D.--Vio

22

3.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）.

正視圖側視圖

俯視圖

4.從3,4,5,6四個數(shù)中任取三個數(shù)作為三角形的三邊長，則構成的三角形是銳角三角形的概率是（）.

1113

A.-B.-C.-D.一

4324

5.《關于落實主體責任強化校園食品安全管理的指導意見》指出：非寄宿制中小學、幼兒園原則上不得在

校內(nèi)設置食品小賣部、超市，己經(jīng)設置的要逐步退出.為了了解學生對校內(nèi)開設食品小賣部的意見，某校

對100名在校生30天內(nèi)在該校食品小賣都消費過的天數(shù)進行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)按照[0,5）、[5,10）.[10,15）,

[15,20）、[20,25）、[25,30]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結

論不正確的是（）.

A.該校學生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)不低于20的學生比率估計為20%

B.該校學生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)低于10的學生比率估計為32%

C.估計該校學生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的平均值不低于15

D.估計該校學生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的中位數(shù)介于10至15之間

6.x￡R,y￡R,條件/?:|x+l|+|y-2|>1,條件q+j；2+2x-4j^+4>0,則條件p是條件夕的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在△NBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且幽空當0=2二9.角/等于().

sinCb-a

71e萬一2"-5乃

A.—B?—C.---D?—

6336

8.已知函數(shù)/*(x)滿足/(x)+/(—x)=0,f(—x—1)=^(—x+1),當x￡(0,1)時；/(x)=2X—y/5,

則/(log480)=().

A-B.一拽C.后D.在

555

9.已知/(x)=x，+3ax2+bx+q2,該函數(shù)在尸一1時有極值0,貝!|a+6=().

A.4B.7C.11D,4或11

10.已知函數(shù)/(x)=2sin,x—￡卜①>0)在［0,句上單調(diào)遞增，且有/(x)N恒成立，則。的

值為().

C.1D.2

x2

11.已知過坐標原點四勺直線/交雙曲線。：^^--匕=1的左右兩支分別為4B兩點,設雙曲線的右焦點為尸,

43

若|4日=3忸日，則的面積為().

A.3B.3>/3C.6D.66

12.已知a=lnl.5,b=~,c=cos1.25,則大小關系正確的為().

3

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量￡=(4,—2JJ),B=則向量否在向量Z方向上的投影是.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(x+e)+cos(x+e)是偶函數(shù)，則；s|ne；cos.=.

15,過拋物線/=4x的焦點F的直線交該拋物線于4,8兩點，且|/尸|=3忸日，則直線48的斜截式方程為

7T

16.在菱形/8CA中，A=—,AB=2,將沿8。折起，使得/C=3.即得到的四面體/8C。的外接球的

3

表面積為.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本題滿分12分)

推進垃圾分類處理是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié)，為了解居民對

垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會隨機抽取500名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻數(shù)分布表

如下：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

男性人數(shù)22436067533015

女性人數(shù)12234054512010

（1）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）

兩類，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關？

不太了解比較了解總計

男性

女性

總計

（2）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取5人，再從這5人中隨機

抽取3人組成一個環(huán)保宣傳隊，求抽取的3人恰好是兩男一女的概率，

附：K2=------Wbe)--------其中〃=4+b+c+d.

[a+h)[c+d)[a+c)[b+d)

臨界值表：

尸（腔界。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（本題滿分12分）

已知數(shù)列｛4｝是各項均為正蓼的等差數(shù)列，S,,是其前〃項和，且S"J""—"""+2）

（1）求數(shù)列應｝的通項公式;

⑵若求數(shù)列低｝的最大項.

19,（本題滿分12分）

JII

如圖，四棱錐尸一/8CD的底面為直角梯形，N4BC=NB4D=—,PBL^ABCD,PB=AB=AD=-BC=\,

22

設平面尸/O與平面PBC的交線為/.

（1）證明：BC//1；

（2）證明：/平面P48；

（3）求點8到平面PCD的距離.

20.（本題滿分12分）

已知橢圓c：W+4=1（a>ft>0）,離心率為:，其左右焦點分別為公，工，P為橢圓上一個動點，且|尸片|

a2b1

的最小值為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在橢圓C的上半部分取兩點M,N（不包含橢圓左右端點），若麗=2可，求直線的方程.

21.（本題滿分12分）

己知函數(shù)/（x）=alnx-x2+ax.（?eR）

（1）當a=l時,求證：/（x）＜0；

（2）若函數(shù)/Xx）有且只有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按

所做的第一個題目計分.

22.【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）

X=2COS67

在平面直角坐標系X0F中，曲線C的參數(shù)方程為1.（9為參數(shù)），

y=sin（p

（1）在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求曲線。的極坐標方程；

（2）若點Z,8為曲線C上的兩個點J_O5,求證：-----+---■為定值.

31I網(wǎng)

23.【選修4-5：不等式選講】（10分）

已知存在x（）eR,使得+《一,0-訓24,a,eR.

（1）求a+26的取值范圍；（2）求的最小值.

2022年秋期高中三年級期終質(zhì)量評估

數(shù)學試題（文）參考答案

一、1—5ACBAC6—10BBDCA11—12BA

12.c=cos1.25=sin---1.25|=sin0.32<sin—<—=b

u)33

a=In1.5,6=-=-=—―.令/(x)=lnx,g(x)=--=1--

31.51,5'''，xx

易證/(x)Ng(x)(當且僅當產(chǎn)1時等號成立)

/(1,5)>g(1.5x)>a>b>c

,28萬

二、13.-114.115.丫=&_6或丫=_瓜+小16.——

3

三、17.解：（1）由題意得列聯(lián)表如下：

不太了解比較了解總計

男性125165290

女性75135210

總計200300500

,500x(125x135-165x75?

計算得K?=-------------------------2.771

200x300x290x210

因為2.77A2.706,所以有90%的把握認為“居民對垃級分類的了解程度”與“性別”有關;

(2)由題意可知，抽到的女性有5x—=2人，抽到的男性有5x—=3人，

7575

記抽到的男性為“，b,c,抽到的女性為d,e,則基本事件分別為(a,c,d)、(a,b,d),Ca,b,e),

(a,c,d)(a,c,e),(a,d,e)(b,c>d)>(b,c,e)、(b,cl,e)、(c,d,e),共10種,

3

抽取的3人恰好是兩男一女共有6種，所以抽取的3人恰好是兩男一女的概率是一.

5

18.解：(1)當〃=1時，1=%=(%二1華+2),解得：《=2或卬=一1,因為a,〉0,故q=2.

,n(a,+a?)n(a?+2)_n(a,+2](a?+2)

方法一：因為S“=q—―L,所以一^—」一

2222

又““>0,即可得%=n+l.

方二：當〃=2時，52=2+a2=—~I,,3挈)，易得：a2=3.

因為數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，故a“=〃+l.

故%=(〃+2H.

(2)由(1)知,

當力<7時，〃+]>〃；當〃=7時，2+[=〃；當〃>7時，bn+l<bn；

08

故數(shù)列也｝的最大項為4=4=會.

19,證明：(1)由題意可知8C〃Z。，8c①平面尸49,面P4。，故，8?！ㄆ矫?〃￡),

又BC(Z面P8C且面尸8CC面PAD=Z,：.BC//I.

(2)因為尸8_L底面N88,所以尸8_L8C.

TT

又底面Z8C。為直角梯形，且N/8C=N8/O=一,所以Z8_L8C.

2

且尸8cz8,...8C_L面尸又BCHI、，LL面P/8.

(3)易求得，BD=y/2,PD=>/3,DC=y[l,PC=45.

因為PC?=尸。2+。。2,所以為直角三角形.

設B到平面P8的距離為人因為腺所以LFSAPCD=LPB-SABCD，故可得，〃=逅

20.解：(1)由題意知：—=—,即a=2c且a—c=l,可得：a=2,b=V3,c=\.

a2

22

橢圓C：的方程為：F—=1.

43

(2)方法一：不妨設直線"A咬x軸于。點，由詢=2可，易得，F(xiàn)\Q=2F\Qf故0(3,0).

設直線MN的方程為x=w+3,AZ5,必)，7V(x2,y2),

顯然，必>0,必>0.

x=my+3

由Ly2得，（3加2+4）/+18叼+15=0,?'?%+%三'①乂%[②

——+—=1v'5m+43加+4

I43

——■——?2-Ji

又?：F、M=2F1N,得凹=28③，由①②③得，〃?=—一/.

所以，直線MN的方程為：x=--y+3,即丁=—述x+隨.

31010

方法二：延長耳M交橢圓于點P,根據(jù)橢圓的對稱性可知，獺=2可，得麗=2而.

設A/（X1，乂），P（x2,y2）,N（-2,-丫2）.顯然，＞0.

x=my—1

設直線PA/的方程為—1,聯(lián)立422得，（3m2+4）「-6wy-9=0,

%J-1

143

6m9

二乂+%=-2①y^2=—2—②

■'23m2+4-23加2+4

又???FM=2PR,得乂=-2y2③

由①②③得，加=—土.

3

,,3A/5皿,、c5

=-

故乂+%，則須+x2=m（yi+y2）-2=~—,

o4

因此，直線9的斜率左=及二乒?=正匹=—占叵

陽一（一工2）10

不妨設直線MN交x軸于。點，由而=2和，易得，F(xiàn)\Q=2F\Q,故0（3,0）,

所以，直線MN的方程為：y=-----x+——.

1010

?,1-2x2+x+1（—2x—l）（x—1）

21.解：（1）/（zx）x=一-2x+l=-----------=--------------,

XXX

物（工）在（0,1）上是單調(diào)增加的，在（1,+8）上是單調(diào)減少的，

所以/0）年=/（1）=°，即/（小0?

lnx+x

（2）當〃=0時，/（工）=一一,不存在零點，當々WO,由/（x）=0得，—xe（0,4-oo）.

設g（x）=----2-'則g（x）=--------------'令〃（x）=l-21nx-x,

易知〃（X）在（0,+8）上是單調(diào)減少的，且九（1）=0.

故g（x）在（0,1）上是單調(diào)增加的，在（1,+8）上是單調(diào)減少的.

由于g<0,g(1)=1,且當x>l時，g(x)>0,

故若函如(x)有且只有一個零點，則只須，=1或,<().

aa

即當。w(-oo,0)時，函數(shù)/(x)有且只有一個零點.

x=2cos(Px2

22.解：(1)因為1所以面線C的直角坐標方程為二+/=1.

y=sin夕4

。4

因為x=pcos。，y=psin0,所以，曲線C的極坐標方程為：p2=——三—

3sin6+1

(2)由于0/_L08,故可設Z(g,e),5p,^+1,p；42_4