物理競賽電磁學

關(guān)于物理競賽電磁學第1頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三電磁學綜述（經(jīng)典）電磁學的基本規(guī)律——麥克斯韋方程組第2頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三電磁場理論的深刻對稱性——電磁對偶磁單極？平行偶極板和長直螺線管的對偶電容和電感的對偶……第3頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：在xoy面上倒扣著半徑為R的半球面上電荷均勻分布，面電荷密度為。A點的坐標為(0,R/2)，B點的坐標為(3R/2,0)，則電勢差UAB為——。ABxyoRQ為整個帶電球面的電荷由對稱性此題也可從電場的角度考慮C第4頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P，Q兩點（均為相應(yīng)正三角形的重心）的電勢分別為UP和

UQ。若撤去BC棒，則P，Q兩點的電勢為U′P=——，

U′Q=——。ABCPQ解：設(shè)AB,BC,CA三棒對P點的電勢及AC對Q點的電勢皆為U1AB,BC棒對Q點的電勢皆為U2撤去BC棒第5頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：厚度為b的無限大平板內(nèi)分布有均勻體電荷密度（>0）的自由電荷，在板外兩側(cè)分別充有介電常數(shù)為1與2的電介質(zhì)，如圖。求：1）板內(nèi)外的電場強度2）A,B兩點的電勢差b12BA解：設(shè)E=0的平面MN距左側(cè)面為d1,距右側(cè)面為d2.d1d2.據(jù)對稱性,E垂直MN指向兩側(cè)1)求D,Ex第6頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三b12BA第7頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三b12BA第8頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：無限大帶電導體板兩側(cè)面上的電荷面密度為0，現(xiàn)在導體板兩側(cè)分別充以介電常數(shù)1與2（

1

2）的均勻電介質(zhì)。求導體兩側(cè)電場強度的大小。12解：充介質(zhì)后導體兩側(cè)電荷重新分布，設(shè)自由電荷面密度分別為01和02第9頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：在兩平行無限大平面內(nèi)是電荷體密度>0的均勻帶電空間，如圖示有一質(zhì)量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放，在只考慮電場力不考慮其它阻力的情況下，該點電荷運動到中心對稱面oo的時間是多少？d>0ooq<0xq以oo為中心，在兩平面內(nèi)做簡諧振動第10頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一直流電源與一大平行板電容器相連，其中相對介電常數(shù)為r的固態(tài)介質(zhì)的厚度恰為兩極板間距的二分之一，兩極板都處于水平位置，假設(shè)此時圖中帶電小球P恰好能處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)將電容器中的固態(tài)介質(zhì)塊抽出，穩(wěn)定后試求帶電小球P在豎直方向上運動的加速度a的方向和大小。P解：P處于平衡狀態(tài)，則其帶負電由于始終與電源相連，U一定UEFa第11頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三方向向下第12頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：如圖，板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數(shù)為r的固態(tài)電介質(zhì)，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P，電容器充電后P恰好處于平衡位置，拆去充電電源，將電介質(zhì)快速抽出，略去靜電平衡經(jīng)歷的時間，不計帶電小球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經(jīng)t=—時間與電容器的一個極板相碰。.

P解：拆去電源后，將介質(zhì)抽出，過程中總Q不變，分布變設(shè)：小球m,q,極板S,Q,場強E0,E場強變化，P受力變化，關(guān)鍵求E第13頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第14頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一平行板電容器中有兩層具有一定導電性的電介質(zhì)A和B，它們的相對介電常數(shù)、電導率和厚度分別為A,A,dA,

B,B,dB;且dA+dB=d,d為平板電容器的兩塊極板之間的距離。現(xiàn)將此電容器接至電壓為V的電源上（與介質(zhì)A接觸的極板接電源正極），設(shè)極板面積為S,忽略邊緣效應(yīng)，試求穩(wěn)定時

（1）電容器所損耗的功率P；

（2）電介質(zhì)A和B中的電場能量WA和WB；

（3）電介質(zhì)A和B的交界面上的自由電荷面密度自和束縛電荷面密度束。AB+_第15頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三（2）電介質(zhì)A和B中的電場能量WA和

WB穩(wěn)定后電介質(zhì)A和B中的電流密度相等第16頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三（3）電介質(zhì)A和B的交界面上的自由電荷面密度自和束縛電荷面密度束AB+_第17頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：球形電容器的兩個極為兩個同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同性的線性介質(zhì)，其相對介電常量為r.當電極帶電后，其極上的電荷量將因介質(zhì)漏電而逐漸減少。設(shè)介質(zhì)的電阻率為，t=0時，內(nèi)外電極上電量分別為±Q0,求電極上電量隨時間減少的規(guī)律Q(t)以及兩極間與球心相距為r的任一點處的傳導電流密度j(r,t).因電流沿徑向流動，總電阻可看成無數(shù)多薄球殼的串聯(lián)第18頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三一、點電荷系的相互作用能（電勢能）相互作用能W互：把各點電荷由現(xiàn)在位置分散至相距無窮遠的過程中電場力作的功。兩個點電荷：

同理：寫成對稱形式：電荷系的靜電能第20頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三三個點電荷：

推廣至一般點電荷系：Ui：除qi外，其余點電荷在qi所在處的電勢。第21頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三二、連續(xù)帶電體的靜電能（自能）靜電能W：把電荷無限分割并分散到相距無窮遠時，電場力作的功。只有一個帶電體：多個帶電體：總靜電能：第22頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：在每邊長為a的正六邊形各頂點處有固定的點電荷，它們的電量相間地為Q或–Q.1）試求因點電荷間靜電作用而使系統(tǒng)具有的電勢能W2）若用外力將其中相鄰的兩個點電荷一起（即始終保持它們的間距不變）緩慢地移動到無窮遠處，其余固定的點電荷位置不變，試求外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa1）Q，-Q所在處的電勢第23頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa余下四個點電荷系統(tǒng)的電勢能無窮遠處一對電荷間的電勢能第24頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：半徑為R無限長半圓柱導體上均勻地流過電流I,求半圓柱軸線（原圓柱體的中心軸線）處的磁感應(yīng)強度B.1)選取電流元rr+dr,ddBXy2)另選電流元如圖第25頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一半徑為a的導體球，以恒定速率v運動，球面上均勻分布著電荷Q,設(shè)v《c（真空光速），求:導體內(nèi)外的磁場分布。.P解：運動電荷的磁場任選一點P，求P點磁場導體球上任選一dq到P點的矢徑V第26頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：設(shè)在討論的空間范圍內(nèi)有均勻磁場B，在紙平面上有一長為h的光滑絕緣空心細管MN，管的M端內(nèi)有一質(zhì)量為m,帶電量為q>0的小球P。開始時P相對管靜止，而后管帶著P朝垂直于管的長度方向始終以勻速度u運動，那么，小球P從N端離開管后，在磁場中做圓周運動的半徑為R=——。（不考慮重力及各種阻力）PMNhu解：小球受洛侖茲力作用如圖第27頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一球形電容器中間充以均勻電介質(zhì)，該介質(zhì)緩慢漏電，在漏電過程中，傳導電流產(chǎn)生的磁場為Bc，位移電流產(chǎn)生的磁場為Bd，則++++++++--------++++++++--------P.O′O第28頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三++++++++--------第29頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三UTxMBd

例：被電勢差加速的電子從電子槍口T發(fā)射出來，其初速度指向x方向。為使電子束能擊中目標M點，（直線TM與x軸夾角為），在電子槍外空間加一均勻磁場B,其方向與TM平行，如圖。已知從T到M的距離為d，電子質(zhì)量為m，帶電量為e.為使電子恰能擊中M點，應(yīng)使磁感應(yīng)強度B=？解：電子被加速后第30頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第31頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：原點O（0,0）處有一帶電粒子源，以同一速率v沿xy平面內(nèi)的各個不同方向（1800）發(fā)射質(zhì)量為m,電量為q（>0）的帶電粒子，試設(shè)計一方向垂直于xy平面，大小為B的均勻磁場區(qū)域，使由O發(fā)射的帶電粒子經(jīng)磁場并從其邊界逸出后均能沿x軸正方向運動。（寫出磁場邊界線方程，并畫出邊界線）xyO設(shè)：磁場方向向下且無邊界任一粒子束，v,其運動軌跡vo過o作平行于y軸的直線它與圓周交于P點P粒子在P點時，速度恰沿x方向，若在此之后粒子不受磁力，則其將沿x軸正方向運動。第32頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三xyOvoP即P點應(yīng)在磁場的邊界上不同角發(fā)出的粒子，其P點坐標均滿足此方程所有P點的軌跡方程，也是磁場的邊界方程B第33頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：半徑分別為R1與R2的兩同心均勻帶電半球面相對放置（如圖），兩半球面上的電荷密度1與2滿足關(guān)系1R1=-2R21）試證明小球面所對的圓截面S為一等勢面。2）求等勢面S上的電勢值。sR1R2oE左E右1）均勻帶電球面內(nèi)場強為零因此場強必定都垂直于截面2）S上任一點的電勢U=U0第34頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三法拉第電磁感應(yīng)定律楞次定律閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使它所激發(fā)的磁場來阻止引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。感應(yīng)電動勢的兩種基本形式：動生電動勢&感生電動勢動生感生第35頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：如圖一矩形管，畫斜線的前后兩側(cè)面為金屬板，其他兩面（上下面）為絕緣板，用導線將兩金屬板相連，金屬板和導線的電阻可忽略不計。今有電阻率為的水銀流過矩形管，流速為v0.設(shè)管中水銀的流速與管兩端壓強差成正比，已知流速為v0時的壓強差為P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均勻磁場，磁感應(yīng)強度為B。求加磁場后水銀的流速vab解：設(shè)加磁場后水銀的流速v水銀中產(chǎn)生感生電動勢第36頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第37頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一矩形線框由無電阻的導線構(gòu)成，其邊分別與x,y軸平行，邊長分別為a和b，以初速v0沿x正方向運動，當t=0時進入磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場，磁場方向如圖，充滿x>0的空間，設(shè)線圈的自感為L，質(zhì)量為m，并設(shè)b足夠長，求線圈的運動與時間的關(guān)系。（不考慮重力，框的電阻不計）。bayxv0解：線框進入磁場后第38頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三諧振動二階微分方程第39頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三1）在電路的任一節(jié)點處，流入的電流強度之和等于流出節(jié)點的電流強度之和

——節(jié)點電流定律(基爾霍夫第一定律)2）在穩(wěn)恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數(shù)和等于零。——回路電壓定律(基爾霍夫第二定律)歐姆定律的微分形式直流電路第40頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：在圖面內(nèi)兩固定直導線正交，交點相連接，磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場與圖面垂直，一邊長為a的正方形導線框在正交直導線上以勻速v滑動，滑動時導線框的A,B兩點始終與水平直導線接觸，豎直直導線則與導線框的其他部分接觸。已知直導線單位長的電阻值均為r，試問：1）導線框的C,D兩點移至豎直導線上時，流過豎直導線CD段的感應(yīng)電流是多少？2）此時導線框所受的總安培力為多大？aABCDaABCDCD2ar2arI左I右I第41頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三CD2ar2arI左I右I2）導線框所受磁場力等于CD段導線所受的磁場力（也可根據(jù)I左，I右具體計算各邊受力）第42頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：半徑為20cm的圓柱形空間內(nèi)的均勻磁場B隨時間作線性變化B=kt(k=225/T/s).用分別為30與60的半圓弧形電阻接成圓環(huán)同軸地套在圓柱形空間外，下圖為其截面圖。兩半圓弧電阻連接處M,N點用30的直電阻絲MON相連。求：1）電勢差UMN;2)在環(huán)外用多大阻值的電阻絲連接M,N點可使直電阻絲MON上電流為零。MN303060KO解：總的電動勢第43頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三MN303060KO306030MNR1)K斷開，電流方向如圖2)K合上，令I(lǐng)2

=0,I4如圖第44頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：10根電阻同為R的電阻絲連成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求：A，B兩點間的等效電阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由對稱性知AC與EB，AF與DB電流相同III1I2設(shè)：總電流為I,由節(jié)點電流關(guān)系得其他電流I-I1I2-I1I-I2I1I-I1I-I2-I1由對稱性I-I2=I2由AC間電壓2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)第45頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：如圖電路，每兩點間實線所示短導線的電阻為1，則A,B兩端點間的電阻為ABCDOABCDO據(jù)對稱性可將原電路等效成下圖實線與虛線電路的并聯(lián)，兩電路的電阻相同第46頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：無限長密繞螺線管半徑為r，其中通有電流，在螺線管內(nèi)部產(chǎn)生一均勻磁場B，在螺線管外同軸地套一粗細均勻的金屬圓環(huán)，金屬環(huán)由兩個半環(huán)組成，a、b為其分界面，半圓環(huán)電阻分別為R1和R2，且R1>R2,，如圖，當B增大時，求:Ua><=UbabR1

R2abR1R2第47頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一金質(zhì)圓環(huán)以其邊緣為支點直立在兩磁極間,環(huán)的底部受兩個固定擋的限制,使其不能滑動,現(xiàn)環(huán)受一擾動偏離豎直面0.1弧度,并開始倒下.已知B=0.5T,環(huán)半徑r1=4cm,截面半徑r2=1mm,金的電導率=4.0107/·m,設(shè)環(huán)重F=0.075N,并可以認為環(huán)倒下的過程中重力矩時時都與磁力矩平衡，求環(huán)倒下所需的時間t.BSN第48頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三BSN第49頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：在光滑的水平面上，有一可繞豎直的固定軸O自由轉(zhuǎn)動的剛性扇形封閉導體回路OABO,其半徑OA=L，回路總電阻為R，在OMN區(qū)域內(nèi)為均勻磁場B，方向如圖，已知OA邊進入磁場時的角速度為，則此時導體回路內(nèi)的電流i=___,因此導體回路所受的電磁阻力矩M=__.MNOABdlANOBVdF方向：OA第50頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三由于自己線路中的電流的變化而在自己的線路中產(chǎn)生感應(yīng)電流的現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢叫自感電動勢。自感系數(shù)（簡稱自感）單位電流的變化對應(yīng)的感應(yīng)電動勢

（普遍定義）第51頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三L的值取決于回路的大小、形狀、線圈匝數(shù)以及周圍磁介質(zhì)的分布。單位：亨利（H）di/dt

相同，L越大,εL越大，回路中電流越不容易改變，L→回路本身的“電磁慣性”。自感電動勢總是阻礙回路本身電流的變化。兩個載流回路中電流發(fā)生變化時相互在對方回路中激起感生電動勢的的現(xiàn)象叫互感現(xiàn)象，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢叫互感電動勢。互感系數(shù)第52頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：一半徑為a的小圓線圈，電阻為R，開始時與一個半徑為b（b>>a）的大線圈共面且同心，固定大線圈，并在其中維持恒定電流I，使小線圈繞其直徑以勻角速轉(zhuǎn)動如圖（線圈的自感忽略）。求：1）小線圈中的電流；2）為使小線圈保持勻角速轉(zhuǎn)動，須對它施加的力矩3）大線圈中的感應(yīng)電動勢Iab解：1)b>>a，小線圈內(nèi)的磁場近似均勻第53頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三2）當載流線圈所受外力矩等于磁力矩，線圈勻速轉(zhuǎn)動3）當小線圈I變化時，大線圈中有互感電動勢通過大線圈磁場在小線圈中的磁通量求互感系數(shù)M第54頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三o..o′ABd解：整個磁場可視為圓柱O內(nèi)的均勻磁場B和空腔內(nèi)–B的疊加空腔內(nèi)的感應(yīng)電場由這兩部分產(chǎn)生r1E1E2r2第55頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三r1E1E2r2OO′yxOO′

EL第56頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例：半徑為R兩板相距為d的平行板電容器，從軸線接入圓頻率為的交流電，板間的電場E與磁場H的相位差為——，從電容器兩板間流入的電磁場平均能流為——。（忽略邊緣效應(yīng)）0Rd第57頁，講稿共74頁，2023