基本不等式輔導(dǎo)練習(xí)題

基本不等式專題輔導(dǎo)

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二、題型分析

1、基本不等式原始形式題型一：利用基本不等式證明不等式

(1)若a,beR,貝U/+〃22ab2

1、設(shè)a力均為正數(shù),證明不等式:、忌N

1~r

-+-

(2)若a,bwR,則他(幺工^ab

2

2、基本不等式一般形式(均值不等式)

若a,beR”,則。+力22?^

3、基本不等式的兩個(gè)重要變形

(1)若a,beR",則9心2益

2

2、已知a,4c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證:

(2)若a,bwR"則成《a+h

~Y~a2+b2+c2>ah+he+ca

總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值；

當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；

特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取“=”

4,求最值的條件：“一正，二定，三相等”

、常用結(jié)論

53、已知a+〃+c=l,求證：a2+h2+c2>—

3

(1)若x>0,則x+(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=”)

X

(2)若x<0,則為+，4—2(當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)取"=")

X

(3)若。8>0,則0+(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)

ba~

(4)若a/eH,則必*交直

4、已知a,b,cwR+,且。+。+。=1,求證：

22

(5)若a,bGR,a-a)(1-b)(l-c)>Sabc

特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取“二”

6、柯西不等式

(1)若￡R,則(a2+b2)(c2+J2)>(ac+bd)?

(2)若％,02，。3,4也也￡&，則有：

5>已知a,b,cwR+,且。+人+。=1,求證：

(tZj2+a：+ci^)(j始+b不+)2(〃也+a2b?+a3b3)-

(3)設(shè)4],?！ㄅcb]也,???也是兩組實(shí)數(shù)，則有

3：+生2---^見2)+后H-----卜b：)>(afy+a^b2+…+q仇了

6、(2013年新課，標(biāo)II卷數(shù)學(xué)(理)選修4—5：不等式選，講題型二：利用不等式求函數(shù)值域

1、求下列函數(shù)的值域

設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+/?+c=l,證明：1

（1）y-3x92+--7（2）y-x（4-x）

?2f22

ab+be+ca<—;(II)—H----F—>1.

3bca

(3)y=x+—(x>0)(4)y=x+—(x<0)

xx

題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）

4

1、己知x>2,求函數(shù)y=2x-4+------的最小值;

2ax4

7、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選修4—5：不等式選.講

己知。之人>0,求證：一"22次/一

4

變式1：已知x>2,求函數(shù)y=2x+------的最小值;

2x-4

4

變式2：已知x<2,求函數(shù)y=2x+------的最大值;

2x4

練習(xí)：1、已知x>—,求函數(shù)y=4x-2+-------的最小值;2、若0cx<2,求y=Jx(6-3x)的最大值;

44x-5

、已知求函數(shù)的最大值;

2x<3,y=4x-2+—!—變式：若0<x<4,求y=Jx（8—2<）的最大值;

44x-5

題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）3、求函數(shù)y=j2x-l+15-2x（；<x<|）的最大值;

1、當(dāng)0<x<4時(shí)，求y=x（8—2x）的最大值；

（提示：平方，利用基本不等式）

變式1：當(dāng)0<x<4時(shí)，求y=4x（8—2x）的最大值;

變式：求函數(shù)y=，4.-3+，11-4屋<文<口）的最大值；

44

3

變式2：設(shè)0<x<],求函數(shù)y=4x（3—2x）的最大值。

題型五：巧用“1”的代換求最值問題

1Q

1、已知名人〉0,。+2/?=1,求/=,+」的最小值;變式4：已知x,y>0,且一+—=4,求冗+y的最小值;

%y

ab

法一：

變式5：

法二：

(1)若>0且2x+y=1,求,+―的最小值；

xy

(2)若￡R+且@+2=i，求x+y的最小值;

%y

變式1：已知區(qū)〃>0,。+2人=2,求/=,+’的最小值;

ab

變式6：己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛/｝滿足：%=4+2%，若

oQ

變式已知求町的最小值;

2：x,y>0,*+2=l,存在兩項(xiàng)a,“,?！埃沟?4q,求,+—的最小值;

龍y

mn

變式3：已知蒼y>0,且,+'=9,求x+y的最小值。

xy

題型六：分離換元法求最值（了解）題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用

r2+7x4-101、已知logza+log2b之1，求3"+9”的最小值

1、求函數(shù)y=（xw—l）的值域;

x+1

y.2,O

變式：求函數(shù)y='二（x>l）的值域;

2、（2009天津）已知求_1+，+2^^的最小值;

x-1

ab

2、求函數(shù)丁=運(yùn)2的最大值：（提示：換元法）變式1:（2010四川）如果。>。>0,求關(guān)于。力的表達(dá)

-2x+5

^a2+—+―?—的最小值；

aba（a-b）

變式：求函數(shù)），=蟲蟲的最大值;

變式（湖北武漢診斷）已知，當(dāng)。工時(shí)，

4九+92：2012a>0,1

函數(shù)y=logfl（x-l）+l的圖像恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直

線處:—y+〃=O上，求4"'+2"的最小值;

4、（2013年山東（理））設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

3^已知羽y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y最小值；

丁―3孫+4y2—z=O,則當(dāng)現(xiàn)取得最大值

Z

212

時(shí)，—1-----的最大值為（）

xyz

9

A.0B.1C.-D.3

4

（提示：代入換元,利用基本不等式以及函數(shù)求最值）

變式1：已知a,Z?>0,滿足Q〃=Q+〃+3,求范圍;

變式2：（2010山東）已知x,y>0,」一+」一=」，y2

變式：設(shè)演y,z是正數(shù)，滿足x—2y+3z=O,求—的

2+x2+y3XZ

求孫最大值；（提示：通分或三角換元）最小值；

變式3：（2011浙江）已知了,y>0,x2+y2+xy=1,

求孫最大值；

題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍題型九：利用柯西不等式求最值

1、二維柯西不等式

1、（2012沈陽(yáng)檢測(cè)）已知x,y>0,且（x+y）（-+-）>9（a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)色=2；即公/=歷時(shí)等號(hào)成立）

xy

c（1

恒成立，求正實(shí)數(shù)。的最小值；

若a,b,c,dGR,則（"+從）（。2+>（ac+bd）?

2、二維形式的柯西不等式的變式

(1)Va2+b2-7c2+d2>|ac+bd\

m,b,c,dcR,當(dāng)且僅當(dāng)色=2；即口/=從時(shí)等號(hào)成立)

cd

(2)Va2+/?2-ylc2+d2>|tzc|+|M|

eR,當(dāng)且僅當(dāng)3=2；即歷時(shí)等號(hào)成立）

11〃

(a,byc,d

乙、1__?入U(xiǎn)；Z，U1i—|且/JXi.1L.，ca

x-yy-zx-z

如果〃eN+,求〃的最大值；（參考：4）(3)(a+b)(c+d)2(4ac+4bd)2

（提示：分離參數(shù)，換元法）(a,b,c,dNO,當(dāng)且僅當(dāng)?=：；即口/=稅時(shí)等號(hào)成立)

1、二年E形.，柯西不等式的向量形式

oc?/3<OC下

（當(dāng)且僅當(dāng)/二=0,或存在實(shí)數(shù)t,使：=%加寸，等號(hào)成立）

4、三維柯西不等式

若。1，出,。3,4也也€R，則有:

14

變式：已知。力〉0滿則一+—=2,若a+Z?Nc恒成立，（6Z]24~ciy）（]+a2+832）之（％濟(jì)+a）Zz）+〃3&）2

ab

求c的取值范圍；

（ad，當(dāng)且僅當(dāng)包=4=2時(shí)等號(hào)成立）

仿b24

5、一反匕〃維柯西不等式

設(shè)2,…，4與耳，么，…，5是兩組實(shí)數(shù)，則有：

22

+。2+.,?+%：)(b；+后+…+"2)之(4力1+磔2+…+〃也)2

（生也eR,當(dāng)且僅當(dāng)幺="=……”時(shí)等號(hào)成立）