平面向量及其應(yīng)用

平面向量及其應(yīng)用一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知在等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=2π3，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，則A．72 B．52 C．322．（5分）如圖所示的矩形ABCD中，E，F(xiàn)滿足BE→=EC→，CF→=2FDA．12 B．23 C．33．（5分）設(shè)G為△ABC的重心，則GA→A．0 B．AC→ C．BC→ 4．（5分）對空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到P在平面ABC內(nèi)的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA5．（5分）足球是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的，如圖，將足球上的一個正六邊形和它相鄰的正五邊形展開放平，若正多邊形邊長為a，A，B，C分別為正多邊形的頂點，則AB→A．(3+3cos18°)a2 C．(3+2cos18°)a6．（5分）已知點D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足OD→=xOA→+yOB→A．45 B．255 7．（5分）已知△ABC中，AB=6，AC=4，A=π2，若CP＝1，則A．7 B．9 C．16 D．258．（5分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2=5，則sinA．355 B．255 C．二．多選題（共4小題，滿分24分，每小題6分）（多選）9．（6分）已知向量a→=(3，?4)，b→A．a(chǎn)→⊥b→C．|c→|=25 D．a(chǎn)→（多選）10．（6分）古代典籍《周易》中的“八卦”思想對我國建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且|ABA．AH→與CF→能構(gòu)成一組基底 B．C．OA→+OC（多選）11．（6分）如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點M為線段AB中點，P為線段CM的中點，延長AP交邊BC于點N，則下列結(jié)論正確的有（）A．AP→B．BN→C．|AND．AP→與AC→（多選）12．（6分）已知向量a→A．若a→與b→垂直，則B．若a→∥b→C．若|a→|=|bD．若m＝3，則a→與b三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）若向量AB→=(1，?4，1)，AC→=(1，2，m)，且AB14．（5分）已知a→，b→為單位向量，|a→15．（5分）如圖，已知M，N是△ABC邊BC上的兩個三等分點，若BC＝6，AM→?AN→16．（5分）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．如圖，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的．已知AB＝2，點P為AB上一點，則PA→?(PB四．解答題（共6小題，滿分66分，每小題11分）17．（11分）已知向量a→=(3，2)，（1）當(dāng)(2a→?（2）當(dāng)c→=(?8，?1)，a→∥(b→+18．（11分）如圖，四面體ABCD的各棱長均為2，E，F(xiàn)分別為棱DA，BC的中點，又設(shè)DA→=a→，（1）用向量a→，b→，c→的線性組合表示向量BE（2）求向量BE→，DF19．（11分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，AE與BD交于點G．（1）用AB→，AD→表示（2）若∠BAD=π3，四邊形ABCD的面積為63，BF→=2FC→20．（11分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足B=π3，a＝3，BA→?BC→=9，過B作BD⊥AC（1）求c；（2）求BE→21．（11分）已知坐標(biāo)平面內(nèi)OA→=(1，5)，OB→=(7，1)，OM→=(1，2)（1）當(dāng)A，B，P三點共線時，求λ的值；（2）當(dāng)PA→?PB→取最小值時，求22．（11分）設(shè)O為△ABC的外心，且滿足2OA→+3OB→①OB→②|AB③∠A＝2∠C．

平面向量及其應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知在等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=2π3，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，則A．72 B．52 C．32【解答】解：已知在等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=2π3，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△則|DC|＝3|BD|，|BC|=23即CD→則AB=AB=AB=2×2×(?1=5故選：B．2．（5分）如圖所示的矩形ABCD中，E，F(xiàn)滿足BE→=EC→，CF→=2FDA．12 B．23 C．3【解答】解：由題意可知，AE→AF→因為G為EF的中點，所以AG→所以λ=23，μ=34故選：A．3．（5分）設(shè)G為△ABC的重心，則GA→A．0 B．AC→ C．BC→ 【解答】解：G為△ABC重心，GA→則GA→故選：B．4．（5分）對空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到P在平面ABC內(nèi)的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA【解答】解：∵A，B，C三點不共線，則CA→若P，A，B，C四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)x，y，使得CP→∴OP→?OC→=x（OA→?OC→）+y（OB→?對于A，AP→=OP→?OA→則3﹣1﹣1＝1，∴P在平面ABC內(nèi)，故A正確；對于B，PB→=OB得OP→=2OA→+3OB→對于D，AB→=OB→?OA→則12（1+1﹣1）≠1，故P不在平面ABC內(nèi)，故D故選：A．5．（5分）足球是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的，如圖，將足球上的一個正六邊形和它相鄰的正五邊形展開放平，若正多邊形邊長為a，A，B，C分別為正多邊形的頂點，則AB→A．(3+3cos18°)a2 C．(3+2cos18°)a【解答】解：由題意可得：|AB|=3a，|BC|＝2acos36°，∠則AB=AB=3a=3a=(3+3故選：A．6．（5分）已知點D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足OD→=xOA→+yOB→A．45 B．255 【解答】解：因為OD→=xOA→+y所以x+y﹣1＝1，即x＝2﹣y，所以x2+y2＝（2﹣y）2+y2＝2y2﹣4y+4＝2（y﹣1）2+2≥2，所以當(dāng)y＝1時，x2+y2有最小值2．故選：D．7．（5分）已知△ABC中，AB=6，AC=4，A=π2，若CP＝1，則A．7 B．9 C．16 D．25【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（6，0），以C為圓心，以1為半徑的圓的方程為x2+（y﹣4）2＝1，可設(shè)P（cosθ，4+sinθ），則PA→=(?cosθ，?4?sinθ)，∴PA→?PB→=cos2θ?6cosθ+sin∴PA→故選：A．8．（5分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2=5，則sinA．355 B．255 C．【解答】解：設(shè)直角三角形的短直角邊為x，則長直角邊為x+S因為大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，所以由勾股定理可得（S1）2＝x2+（x+S2又S1所以解得x=S2或x＝﹣2又直角三角形較小的銳角為α，所以sinα=xS1=所以sinα+cosα=5故選：A．二．多選題（共4小題，滿分24分，每小題6分）（多選）9．（6分）已知向量a→=(3，?4)，b→A．a(chǎn)→⊥b→C．|c→|=25 D．a(chǎn)→【解答】解：a→=(3，?4)，b→則a→?b→=0，a→?|c→|=a→+b(acos＜a→則a→+b→與c→故選：ABD．（多選）10．（6分）古代典籍《周易》中的“八卦”思想對我國建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且|ABA．AH→與CF→能構(gòu)成一組基底 B．C．OA→+OC【解答】解：連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，AH∥BG，CF∥BG，所以AH∥CF，所以AH與CF是共線向量，所以AH→與CF→又∠DOF=14×2π=π2，所以O(shè)D⊥OF由上過程可知OA→⊥OC→，連結(jié)AC交在直角三角形OAC中，M為AC的中點，則OA→又|OM所以O(shè)A→+OC又正八邊形的每一個內(nèi)角為：18延長DC，AB，相交于點N，則∠CBN=∠BCN=π所以∠BNC=π2，故AB⊥所以AC→?CD故選：BD．（多選）11．（6分）如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點M為線段AB中點，P為線段CM的中點，延長AP交邊BC于點N，則下列結(jié)論正確的有（）A．AP→B．BN→C．|AND．AP→與AC→【解答】解：由CM→∵P為線段CM的中點，∴CP→∴AP→=AC∵A，P，N共線，∴AN→=λAP→=14×λAB→+∴14×λ+12×λ＝1，解得∴NC→=AC→?AN→∵AB＝3，AC＝2，BC＝4，∴cosA=4+9?16∴|AN→|＝|13AB→+AN→?AC→=（13AB→+23∴AP→與AC→夾角的余弦值為cos＜AP→，AC→＞=cos故選：AC．（多選）12．（6分）已知向量a→A．若a→與b→垂直，則B．若a→∥b→C．若|a→|=|bD．若m＝3，則a→與b【解答】解：對于A，∵a→=(?1，2)，b→=(1，m)∴﹣1×1+2m＝0，解得m=12，故對于B，∵a→∴﹣1×m＝2×1，解得m＝﹣2，故B正確，對于C，∵|a∴(?1)2+22對于D，若m＝3，則a→=(?1，2)，a→與b→的夾角為a→?b→|故選：ABD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）若向量AB→=(1，?4，1)，AC→=(1，2，m)，且AB【解答】解：∵AB→=(1，?4，1)，AC∴1×1+（﹣4）×2+m＝0，解得m＝7．故答案為：7．14．（5分）已知a→，b→為單位向量，|a→?b【解答】解：由于知a→，b→為單位向量，所以|a故a→所以|a故答案為：7．15．（5分）如圖，已知M，N是△ABC邊BC上的兩個三等分點，若BC＝6，AM→?AN→【解答】解：M，N是△ABC邊BC上的兩個三等分點，若BC＝6，AM→取MN中點E，∴AM→∴AE→2=5故答案為：﹣4．16．（5分）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．如圖，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的．已知AB＝2，點P為AB上一點，則PA→?(PB→+【解答】解：如圖，取BC邊的中點E，連接PE，PA，再取AE的中點F，連接PF，則PB→∴PA→根據(jù)向量數(shù)量積的極化恒等式可得：2PE又根據(jù)題意易得EF=12AE連接CF交AB于點Q，則P與Q重合時，PF取得最小值，且PF取得最小值QF＝QC﹣FC＝2?1+34∴2PE→?PA→=2(PF2故答案為：10﹣47．四．解答題（共6小題，滿分66分，每小題11分）17．（11分）已知向量a→=(3，2)，（1）當(dāng)(2a→?（2）當(dāng)c→=(?8，?1)，a→∥(b→+【解答】解：（1）∵向量a→=(3，2)，∴a→+2b∵(2a∴(2a→?b→)?b→=0，即（6﹣x，5）?（x，﹣1）＝0，當(dāng)x＝1，則，則a→∴|a當(dāng)x＝5，|a綜上所述，|a（2）c→=(?8，?1)，a→則b→∵a→∴3×（﹣2）﹣2×（x﹣8）＝0，解得x＝5，∴|a→|=13，∴cosα=a∵α∈[0，π]，∴α=π18．（11分）如圖，四面體ABCD的各棱長均為2，E，F(xiàn)分別為棱DA，BC的中點，又設(shè)DA→=a→，（1）用向量a→，b→，c→的線性組合表示向量BE（2）求向量BE→，DF【解答】解：（1）∵E為DA的中點，∴BE→∵F為BC的中點，∴DF→（2）|BE→|=BE→∴cos＜BE∴＜BE19．（11分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，AE與BD交于點G．（1）用AB→，AD→表示（2）若∠BAD=π3，四邊形ABCD的面積為63，BF→=2FC→【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△DEG∽△BAG，∴DEAB∴AG→∴BG=BA=BA=?AB=?AB=2（2）∵E為DC中點，∴AE→AF→由BF→=2FC∴AE=AD=|AD設(shè)|AD∴AE→∵S?ABCD∴ab＝12，∴AE→當(dāng)且僅當(dāng)23a2=12b2，即∴AE→?AF20．（11分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足B=π3，a＝3，BA→?BC→=9，過B作BD⊥AC（1）求c；（2）求BE→【解答】解：（1）∵B=π3，a＝3，∴accosπ3=3c×1（2）∵a＝3，c＝6，B=π∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝9+36﹣2×3×6×12=27，∴b∵S△ABC=12acsinB=1∴BD=2∵點E為線段BD的中點，∴BE=3∵BD⊥AC，∴BE→?DA∵EA→∴BE→?EA→=21．（11分）已知坐標(biāo)平面內(nèi)OA→=(1，5)，OB→=(7，1)，OM→=(1，2)（1）當(dāng)A，B，P三點共線時，求λ的值；（2）當(dāng)PA→?PB→取最小值時，求【解答】解：（1）OP→=λOM→=(λ，2λ)當(dāng)A，B，P三點共線時，有AB→所以6（2λ﹣5）﹣（﹣4）（λ﹣1）＝0，解得λ=17（2）PA→=OAPA→?PB→=(1?λ)(7?λ)+(5?2λ)(1?2λ)=5λ2﹣20λ∴當(dāng)λ＝2時，PA→此時