概率初步【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破（含答案解析）

核心考點(diǎn)06概率初步目錄一．隨機(jī)事件（共9小題）二．可能性的大?。ü?小題）三．概率的意義（共2小題）四．概率公式（共9小題）五．幾何概率（共1小題）六．列表法與樹狀圖法（共11小題）七．游戲公平性（共2小題）八．利用頻率估計概率（共1小題）九．模擬試驗(yàn)（共1小題）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．隨機(jī)事件（1）確定事件事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．二．可能性的大小隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：（1）理論計算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進(jìn)行的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲是否公平的計算．（2）實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算．如，利用計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬實(shí)驗(yàn)．三．概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問題．四．概率公式（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．五．幾何概率所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在G中，且點(diǎn)M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測度G的測度簡單來說：求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等．六．列表法與樹狀圖法（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．（5）當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．七．游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．八．利用頻率估計概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．九．模擬試驗(yàn)（1）在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬試驗(yàn)．（2）模擬試驗(yàn)是用卡片、小球編號等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或用計算機(jī)編號等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，目的在于省時、省力，但能達(dá)到同樣的效果．（3）模擬試驗(yàn)只能用更簡便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》要求，只要設(shè)計出一個模擬試驗(yàn)即可．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．隨機(jī)事件（共9小題）1．（2022春?虹口區(qū)校級月考）下列事件屬于必然事件的是（）A．某種彩票的中獎概率為，購買1000張彩票一定能中獎 B．電視打開時正在播放廣告 C．任意兩個負(fù)數(shù)的乘積為正數(shù) D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上會破碎【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、某種彩票的中獎概率為，購買1000張彩票一定能中獎，是隨機(jī)事件；B、電視打開時正在播放廣告，是隨機(jī)事件；C、任意兩個負(fù)數(shù)的乘積為正數(shù)，是必然事件；D、某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上會破碎，是隨機(jī)事件；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（2022春?上海期中）下列事件，是必然事件的是（）A．?dāng)S一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是1 B．?dāng)S一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù) C．打開電視，正在播廣告 D．拋擲一枚硬幣，擲得的結(jié)果不是正面就是反面【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．【解答】解：A、B、C都可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、一定發(fā)生，是必然事件，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】解決此類問題，要學(xué)會關(guān)注身邊的事物，并用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．用到的知識點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列事件是必然事件的是（）A．疫情期間參加聚會會感染新冠病毒 B．拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上 C．打開的電視機(jī)正在播放新聞 D．13個同學(xué)中至少有兩個同學(xué)同一個月生日【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、疫情期間參加聚會會感染新冠病毒，是隨機(jī)事件，不符合題意；B、拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、打開的電視機(jī)正在播放新聞，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、一年有12個月，所以13個同學(xué)中至少有兩個同學(xué)同一個月生日，是必然事件，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（2022春?徐匯區(qū)期末）下列事件中，必然事件是（）A．經(jīng)過有交通信號燈的路口，恰好遇到紅燈 B．打開電視，正在播報新聞 C．拋擲兩枚正方體骰子點(diǎn)數(shù)和等于13 D．任意畫一個五邊形，其外角和為360°【分析】根據(jù)隨機(jī)事件和必然事件的定義判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，經(jīng)過有交通信號燈的路口，恰好遇到紅燈，這是一個隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，打開電視，正在播報新聞，這是一個隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，拋擲兩枚正方體骰子點(diǎn)數(shù)和等于13，這是一個不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，任意畫一個五邊形，其外角和為360°，這是必然事件，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)事件，掌握事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）在圓、等腰三角形、平行四邊形、正方形中任選兩個圖形，那么下列事件中為不可能事件的是（）A．這兩個圖形都是中心對稱圖形 B．這兩個圖形都不是中心對稱圖形 C．這兩個圖形都是軸對稱圖形 D．這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形【分析】根據(jù)等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．【解答】解：圓和正方形既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，A、這兩個圖形都是中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；B、這兩個圖形都不是中心對稱圖形，是不可能事件，故B符合題意；C、這兩個圖形都是軸對稱圖形，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D、這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)事件，等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）在下列事件中，確定事件共有（）①買一張體育彩票，中大獎；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上；③在共裝有2只紅球、3只黃球的袋子里，摸出一只白球；④初二（3）班共有49名學(xué)生，至少有5名學(xué)生的生日在同一個月．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：①買一張體育彩票，中大獎，是隨機(jī)事件，屬于不確定事件；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，屬于不確定事件；③在共裝有2只紅球、3只黃球的袋子里，摸出一只白球，是不可能事件，屬于確定事件；④初二（3）班共有49名學(xué)生，至少有5名學(xué)生的生日在同一個月，是必然事件，屬于確定事件；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）事件：（1）打雷后會下雨；（2）擲一枚均勻的硬幣，反面朝上；（3）過十字路口時正好遇到綠燈；（4）煮熟的雞蛋能孵出小雞．以上事件中隨機(jī)事件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件的意義結(jié)合具體的問題情境進(jìn)行分析即可．【解答】解：（1）打雷后會下雨；（2）擲一枚均勻的硬幣，反面朝上；（3）過十字路口時正好遇到綠燈；都屬于隨機(jī)事件；（4）煮熟的雞蛋能孵出小雞是不可能事件；則隨機(jī)事件有3個；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．確定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．8．（2022春?寶山區(qū)校級期中）下列語句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．鋤禾日當(dāng)午 B．大漠孤煙直 C．手可摘星辰 D．黃河入海流【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．【解答】解：A、鋤禾日當(dāng)午是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、大漠孤煙直是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、手可摘星辰是不可能事件，故選項(xiàng)正確，符合題意；D、黃河入海流是必然事件，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念．理解概念是解決這類基礎(chǔ)題的主要方法．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．9．（2022春?長寧區(qū)校級期末）下列成語所描述的事件為必然事件的是（）A．水中撈月 B．甕中捉鱉 C．守株待兔 D．拔苗助長【分析】根據(jù)事件的分類對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、水中撈月是不可能事件，故本選項(xiàng)錯誤；B、翁中捉鱉是必然事件，故本選項(xiàng)正確；C、守株待兔是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯誤；D、拔苗助長是不可能事件，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．二．可能性的大小（共5小題）10．（2020春?嘉定區(qū)期末）將只有顏色不同的3個白球、2個黑球放在一個不透明的布袋中．下列四個選項(xiàng)，不正確的是（）A．摸到白球比摸到黑球的可能性大 B．摸到白球和黑球的可能性相等 C．摸到紅球是確定事件 D．摸到黑球或白球是確定事件【分析】根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法及確定性事件的概念逐一判斷即可得．【解答】解：A．由白球的數(shù)量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此選項(xiàng)錯誤，符合題意；C．摸到紅球是不可能事件，屬于確定性事件，此選項(xiàng)正確，不符合題意；D．摸到黑球或白球是必然事件，屬于確定性事件，此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法和確定性事件的概念．11．（2021春?崇明區(qū)期末）將只有顏色不同的3個白球、2個黑球放在一個不透明的布袋中，下列四個選項(xiàng)，不正確的是（）A．摸到白球和黑球的可能性相等 B．摸到白球比摸到黑球的可能性大 C．摸到紅球是不可能事件 D．摸到黑球或白球是確定事件【分析】根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法及確定性事件的概念逐一判斷即可得．【解答】解：A．由白球的數(shù)量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此選項(xiàng)錯誤，符合題意；B．摸到白球比摸到黑球的可能性大，此選項(xiàng)正確，不符合題意；C．摸到紅球是不可能事件，屬于確定性事件，此選項(xiàng)正確，不符合題意；D．摸到黑球或白球是必然事件，屬于確定性事件，此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法和確定性事件的概念．12．（2020春?浦東新區(qū)期末）下列成語或詞語所反映的事件中，可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落 B．旭日東升 C．守株待兔 D．夕陽西下【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案．【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；B．旭日東升，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意；C．守株待兔所反映的事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是不確定事件，符合題意；D．夕陽西下，是必然事件，發(fā)生的可能性為1，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間．13．（2020春?奉賢區(qū)期末）“擲一粒骰子，所得點(diǎn)數(shù)大于6”這一事件發(fā)生的可能性用語言表述為（）A．不可能發(fā)生 B．必然發(fā)生 C．很可能發(fā)生 D．不太可能發(fā)生【分析】由骰子只有1、2、3、4、5、6這6個點(diǎn)數(shù)可得答案．【解答】解：因?yàn)轺蛔又挥?、2、3、4、5、6這6個點(diǎn)數(shù)，所以“擲一粒骰子，所得點(diǎn)數(shù)大于6”這一事件發(fā)生的可能性用語言表述為不可能發(fā)生，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是了解骰子上的點(diǎn)數(shù)及確定性事件和不確定性事件的概念．14．（2021春?浦東新區(qū)期末）口袋里只有10個球，其中有個x紅球，y個白球，這些球除了顏色不同之外，其余均相同．從中隨意摸出一個球，若摸到紅球的可能性大于摸到白球的可能性，則x的可能值為6或7或8或9．【分析】由題意可得x+y＝10，再根據(jù)從中隨意摸出一個球，若摸到紅球的可能性大于摸到白球的可能性，可得x＞y，y＞0，依此得出答案．【解答】解：口袋里只有10個球，其中有x個紅球，y個白球，從中隨意摸出一個球，若摸到紅球的可能性大于摸到白球的可能性，所以x+y＝10，且x＞y，y＞0，則x的可能取值為x＝6或7或8或9．故答案為：6或7或8或9．【點(diǎn)評】此題主要考查了可能性的大小以及概率公式，正確掌握概率公式是解題關(guān)鍵．三．概率的意義（共2小題）15．（2021春?楊浦區(qū)校級期末）下列說法：①“明天的降水概率為80%”是指明天有80%的時間在下雨；②連續(xù)拋一枚硬幣50次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是25次（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小，機(jī)會大也不一定發(fā)生，機(jī)會小也有可能發(fā)生．【解答】解：①“明天的降水概率為80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的時間在下雨，故①錯誤；②“連續(xù)拋一枚硬幣50次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是25次”，這是一個隨機(jī)事件，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先無法預(yù)料，故②錯誤；①和②都是錯誤的．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查概率的相關(guān)概念．不確定事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．正確理解隨機(jī)事件、不確定事件的概念是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）確定事件的概率是0或1．【分析】確定事件包括必然事件和不可能事件，再根據(jù)必然事件和不可能事件的概率解答即可．【解答】解：確定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故答案為0或1．【點(diǎn)評】本題主要考查了確定事件的定義，確定事件包括必然事件與不可能事件，難度適中．四．概率公式（共9小題）17．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）從等邊三角形、平行四邊形、矩形、圓、等腰梯形中任選一個圖形，選出的圖形恰好是中心對稱圖形的概率是．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義得出所有的中心對稱圖形，進(jìn)而利用概率公式求出即可．【解答】解：∵等邊三角形、平行四邊形、矩形、圓、等腰梯形共5圖形中，中心對稱圖形有：平行四邊形、矩形、圓共3，∴5圖形中任選一個圖形，選出的圖形恰好是中心對稱圖形的概率為：．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形的定義以及概率公式的應(yīng)用，正確把握中心對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．18．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）從①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④∠A＝90°四個關(guān)系中，任選1個作為條件，那么選到能夠判定平行四邊形ABCD是菱形的概率是．【分析】選到能夠判定平行四邊形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD這2種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：選到能夠判定平行四邊形ABCD是菱形的有①AB＝BC、③AC⊥BD這2種結(jié)果，∴選到能夠判定平行四邊形ABCD是菱形的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式和菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022春?閔行區(qū)校級期中）一個不透明的口袋中，裝有白球4個，黑球3個，這些球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，則摸到黑球的可能性是．．【分析】先求出所有球的個數(shù)與黑球的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：∵共4+3＝7個球在袋中，其中3個黑球，∴摸到黑球的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，難度適中．20．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個數(shù)，取出的數(shù)為素數(shù)的概率是．【分析】用素數(shù)的個數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)即可求得答案．【解答】解：1，2，3，4這四個數(shù)字中素數(shù)有2和3共2個，∴從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個數(shù)，取出的數(shù)為素數(shù)的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了概率的知識．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）有15只型號相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，從中任取1只，是一等品的概率是．【分析】用一等品的杯子總數(shù)除以杯子的總數(shù)即可求得答案．【解答】解：∵15只杯子里面有3只一等品，∴從中任取1只是一等品的概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．22．（2022春?寶山區(qū)校級期中）某同學(xué)投擲一枚硬幣，如果連續(xù)4次都是正面朝上，則他第5次拋擲硬幣的結(jié)果是正面朝上的概率是．【分析】投擲一枚硬幣，是一個隨機(jī)事件，可能出現(xiàn)的情況有兩種：正面朝上或者正面朝下，而且機(jī)會相同．【解答】解：第5次擲硬幣，出現(xiàn)正面朝上的機(jī)會和朝下的機(jī)會相同，都為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式，掌握概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．23．（2022春?閔行區(qū)校級期末）有一個質(zhì)地均勻的正方體，其六個面上分別寫著直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四邊形，投擲這個正方體后，向上的一面的圖形是對角線相等的圖形的概率是．【分析】由這6個圖形中對角線相等的有等腰梯形、矩形、正方形這3個，根據(jù)概率公式計算可得．【解答】解：∵在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四邊形這6個四邊形中，對角線相等的有等腰梯形、矩形、正方形這3個，∴投擲這個正方體后，向上的一面的圖形是對角線相等的圖形的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握常見特殊四邊形的性質(zhì)及隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．24．（2022春?普陀區(qū)校級期中）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上的點(diǎn)數(shù)分別為1到6的整數(shù)，那么擲出的點(diǎn)數(shù)小于3的概率為．【分析】點(diǎn)數(shù)小于3的有2種情況，除以總個數(shù)6即為向上的一面的點(diǎn)數(shù)小于3的概率．【解答】解：∵共有6種情況，點(diǎn)數(shù)小于3的有2種，∴P（點(diǎn)數(shù)小于3）＝．故答案為【點(diǎn)評】本題考查的是概率的求法的運(yùn)用．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．25．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）從長度為2，3，5，7的四條線段中任意選取三條，這三條線段能構(gòu)成三角形的概率等于．【分析】三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，本題只要把三邊代入，看是否滿足即可．把滿足的個數(shù)除以4即可得出概率．【解答】解：長度為2，3，5，7的四條線段中任意選取三條共有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，能構(gòu)成三角形的為：3、5、7，只有1組，因此概率為．【點(diǎn)評】考查三角形的邊時，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．五．幾何概率（共1小題）26．（2022春?寶山區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B，在線段AB上任取一點(diǎn)C，則點(diǎn)C到表示1的點(diǎn)的距離不大于2的概率是．【分析】先求出AB兩點(diǎn)間的距離，再根據(jù)距離的定義找出符合條件的點(diǎn)即可．【解答】解：∵AB間距離為6，點(diǎn)C到表示1的點(diǎn)的距離不大于2的點(diǎn)是﹣1到3之間的點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)組成的線段的長是4．∴其概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．六．列表法與樹狀圖法（共11小題）27．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運(yùn)動會4×100米接力跑比賽，如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）A． B． C． D．【分析】此題需要三步完成，所以采用樹狀圖法比較簡單．注意要做到不重不漏．【解答】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖得：∴一共有24種跑步順序，而恰好由甲將接力棒交給乙的有6種，∴恰好由甲將接力棒交給乙的概率是：＝．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意畫樹狀圖是要做到不重不漏．28．（2022春?閔行區(qū)校級月考）將分別寫有“綠色閔行”、“垃圾分類”、“要先行”的三張大小質(zhì)地相同的卡片隨機(jī)排列，那么恰好排列成“綠色閔行垃圾分類要先行”的概率是．【分析】根據(jù)題意畫出三張卡片排列的所有等可能結(jié)果，再由樹狀圖確定恰好排列成“綠色閔行垃圾分類要先行”的結(jié)果數(shù)，依據(jù)概率公式可得答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有6種等可能結(jié)果，其中恰好排列成“綠色閔行垃圾分類要先行”的只有1種結(jié)果，∴恰好排列成“綠色閔行垃圾分類要先行”的概率為，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．29．（2022春?長寧區(qū)校級期末）將分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的3個質(zhì)地和大小完全相同的小球裝在一個不透明的口袋中．（1）若從口袋中隨機(jī)摸出一個球，其標(biāo)號為奇數(shù)的概率為多少？（2）若從口袋中隨機(jī)摸出一個球，放回口袋中攪勻后再隨機(jī)摸出一個球，試求所摸出的兩個球上數(shù)字之和等于4的概率（用樹狀圖或列表法求解）．【分析】（1）根據(jù)概率公式求解；（2）通過列表展示9種等可能的結(jié)果，再找出所摸出的兩個球上數(shù)字之和等于4的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）P（標(biāo)號為奇數(shù)）＝；（2）列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9種等可能的結(jié)果，其中所摸出的兩個球上數(shù)字之和等于4（記為事件A）的有3種，所以，P（A）＝．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．30．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，麻將是中國的國粹之一，玩法最為復(fù)雜有趣，是中國古人發(fā)明的一種博弈游戲．它開局拿牌要投兩枚骰子，將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相加之和除以4看余數(shù)來決定是在哪家開始拿牌．余數(shù)為1則在自家拿牌，余數(shù)為2就在下家拿牌，余數(shù)為3則在對家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，則在自家拿牌的概率為．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有36種等可能結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相加之和除以4余數(shù)為1的有8種結(jié)果，所以在自家拿牌的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．31．（2022春?青浦區(qū)校級期末）擲兩枚骰子，兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11種可能，那么“擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為8”的概率是．【分析】利用列表法把所有等可能的情況都列舉出來，找出擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為8的情況，利用概率公式計算即可．【解答】解：根據(jù)題意，列表如下所示，通過列表可得，共有36種等可能的情況，其中擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為8的情況共有5種，∴“擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為8”的概率為P＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解答本題的關(guān)鍵是利用列表法把所有等可能的情況列舉出來．32．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）從3至8的6個整數(shù)中隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互素的概率是．【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：3456783（4，3）（5，3）（6，3）（7，3）（8，3）4（3，4）（5，4）（6，4）（7，4）（8，4）5（3，5）（4，5）（6，5）（7，5）（8，5）6（3，6）（4，6）（5，6）（7，6）（8，6）7（3，7）（4，7）（5，7）（6，7）（8，7）8（3，8）（4，8）（5，8）（6，8）（7，8）由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中這2個數(shù)互素的有22種結(jié)果，所以這2個數(shù)互素的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．33．（2022春?上海期中）小杰和小麗參加社會實(shí)踐活動，隨機(jī)選擇“做社區(qū)志愿者”和“參加社會調(diào)查”兩項(xiàng)中的一項(xiàng)，那么兩人同時選擇“做社區(qū)志愿者”的概率是．【分析】畫樹狀圖，展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：把“做社區(qū)志愿者”和“參加社會調(diào)查”分別記為A、B，畫樹狀圖如圖：共有4個等可能的結(jié)果，符合條件的結(jié)果有1個，∴小杰和小麗兩人同時選擇“做社區(qū)志愿者”的概率是，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．34．（2022春?閔行區(qū)校級月考）布袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的3個紅球和1個白球，從布袋中一次摸出兩個球，那么兩個都摸到紅球的概率是．【分析】列舉出所有情況，看兩個球顏色是紅色的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解答】解：如圖：一共有12種情況，兩個球顏色是紅色的有6種情況，∴這兩個球顏色是紅色的概率是＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．35．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）有一個不透明的袋子里裝有除標(biāo)記數(shù)字不同外其余均相同的4個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．（1）任意摸出一個小球，所標(biāo)的數(shù)字不超過4的概率是1；（2）任意摸出兩個小球，所標(biāo)的數(shù)字和為偶數(shù)的概率是；（3）任意摸出一個小球記下所標(biāo)的數(shù)字后，再將該小球放回袋中，攪勻后再摸出一個小球，摸到的這兩個小球所標(biāo)數(shù)字的和為奇數(shù)的概率是多少？（請用樹形圖法說明）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中所標(biāo)的數(shù)字和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可；（3）共有16種等可能的結(jié)果，其中摸到的這兩個小球所標(biāo)數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）任意摸出一個小球，共有4種等可能結(jié)果，其中所標(biāo)的數(shù)字不超過4的結(jié)果有4種，∴所標(biāo)的數(shù)字不超過4的概率是1，故答案為：1；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中所標(biāo)的數(shù)字和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴所標(biāo)的數(shù)字和為偶數(shù)的概率是＝，故答案為：；（3）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中摸到的這兩個小球所標(biāo)數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有8種，∴摸到的這兩個小球所標(biāo)數(shù)字的和為奇數(shù)的概率為＝．【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．36．（2022春?徐匯區(qū)期末）國寶大熊貓作為體育盛會的吉祥物見證了祖國的日益強(qiáng)大．從1990年北京亞運(yùn)會的“盼盼”，到2008年北京奧運(yùn)會的“福娃晶晶”，再到北京冬奧會的“冰墩墩”．現(xiàn)在將4張卡片（如圖，分別記為A、B、C、D）背面朝上洗勻，這些卡片除圖案外其余均相同．（1）小明從中隨機(jī)抽取1張，抽到冰墩墩的概率為；（2）小明從中隨機(jī)抽取2張，抽取規(guī)則為：先隨機(jī)抽取1張不放回，再隨機(jī)抽取1張．請利用樹狀圖或列表法求出小張抽取的2張卡片都是冰墩墩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）小明從中隨機(jī)抽取1張，抽到冰墩墩的概率為＝；故答案為：；（2）盼盼和福娃晶晶分別用A、B表示，2張冰墩墩用C表示，列表如下：ABCCABACACABABCBCBCACBCCCCACBCCC由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小張抽取的2張卡片都是冰墩墩的結(jié)果有10種，則小張抽取的2張卡片都是冰墩墩的概率是＝．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．37．（2022春?虹口區(qū)校級月考）某商場開展購物抽獎活動，抽獎箱中有4個標(biāo)號分別為1，2，3，4的質(zhì)地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個小球，然后放回，再摸取一個小球，若兩次摸出的數(shù)字之和為“8”是一等獎，數(shù)字之和為“6”是二等獎，數(shù)字之和為其它數(shù)字則是三等獎，請分別求出顧客抽中一、二、三等獎的概率．【分析】列舉出符合題意的各種情況的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：列表得：（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）∴一共有16種情況，兩次摸出的數(shù)字之和為“8”的有一種，數(shù)字之和為“6”的有3種情況，數(shù)字之和為其它數(shù)字的有12種情況，∴抽中一等獎的概率為，抽中二等獎的概率為，抽中三等獎的概率為．【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；解題時要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．七．游戲公平性（共2小題）38．（2019春?長寧區(qū)期末）甲、乙兩人玩抽撲克牌游戲，游戲規(guī)則是：從牌面數(shù)字分別為5，6，7的三張撲克牌中，隨機(jī)抽取一張，放回后，再隨機(jī)抽取一張．若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為奇數(shù)，則甲獲勝；若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為偶數(shù)，則乙獲勝．這個游戲不公平．（填“公平”或“不公平”）【分析】根據(jù)游戲規(guī)則可知：牌面數(shù)字分別為5，6，7的三張撲克牌中，隨意抽取2張，積有9種情況，其中5種是偶數(shù)，4種是奇數(shù)．那么甲、乙兩人取勝的概率不相等；故這個游戲不公平．【解答】解：從5、6、7中任意找兩個數(shù)，積有35、30、42、25、36、49，其中30、35、42都是兩次，即共9種情況，其中奇數(shù)的有4種，偶數(shù)的有5種，顯然是不公平的．故答案為：不公平【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．39．（2020春?寶山區(qū)期末）暗箱內(nèi)有三個形狀、大小完全相同的小球，分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3，甲、乙兩人按照下列規(guī)則決定勝負(fù)．（1）從箱中摸出一個小球，如果上面標(biāo)注的數(shù)是2的倍數(shù)，則甲獲勝，如果上面標(biāo)注的數(shù)是3的倍數(shù)，則乙獲勝，你認(rèn)為這樣的規(guī)則公平嗎？為什么？（2）從箱中連續(xù)摸出兩個小球（摸出后不放回），并將第一次摸出的數(shù)作為十位數(shù)字，將第二次摸出的數(shù)作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，如果這個兩位數(shù)是2的倍數(shù)，則甲獲勝，如果這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)，則乙獲勝，你認(rèn)為這樣的規(guī)則公平嗎？請用樹狀圖或表格說明理由．【分析】（1）直接由概率公式求出甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率，即可得出結(jié)論；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中這個兩位數(shù)是2的倍數(shù)的結(jié)果有2種，這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）規(guī)則公平，理由如下：由題意得：甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，∴甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率，∴規(guī)則公平；（2）規(guī)則公平，理由如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中這個兩位數(shù)是2的倍數(shù)的結(jié)果有2種，這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的結(jié)果有2種，∴甲獲勝的概率＝＝，乙獲勝的概率＝＝，∴甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率，∴規(guī)則公平．【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷以及樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．八．利用頻率估計概率（共1小題）40．（2015春?青浦區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．在一定條件下必出現(xiàn)的現(xiàn)象叫必然事件 B．不可能事件發(fā)生的概率為0 C．在相同條件下，只要試驗(yàn)的次數(shù)足夠多，頻率就可以作為概率的估計值 D．某種彩票中獎的概率是1%，買100張?jiān)摲N彩票一定會中獎【分析】根據(jù)必然事件，隨機(jī)事件，概率的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：A、在一定條件下必出現(xiàn)的現(xiàn)象叫必然事件，說法正確，故本選項(xiàng)錯誤；B、不可能事件發(fā)生的概率為0，說法正確，故本選項(xiàng)錯誤；C、在相同條件下，只要試驗(yàn)的次數(shù)足夠多，頻率就可以作為概率的估計值，說法正確，故本選項(xiàng)錯誤；D、某種彩票中是隨機(jī)事件，買100張?jiān)摲N彩票不一定會中獎，說法錯誤，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是了解多次重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率可以估計概率．九．模擬試驗(yàn)（共1小題）41．（2012春?寶山區(qū)期末）學(xué)習(xí)概率有關(guān)知識時，全班同學(xué)一起做摸球試驗(yàn)．布袋里裝有紅球和白球共5個，它們除了顏色不同其他都一樣．每次從袋中摸出一個球，記下顏色后放回?fù)u勻，一共摸了100次，其中63次摸出紅球，由此可以估計布袋中紅球的個數(shù)是3．【分析】根據(jù)題意，一共摸了100次，其中63次摸出紅球，可以估計出得到紅球的概率，進(jìn)而求出紅球個數(shù)．【解答】解：∵小明共摸了100次，其中63次摸到紅球，∴得到紅球的概率為：≈0.6，∵布袋里裝有紅球和白球共5個，∴可以估計布袋中紅球的個數(shù)是：0.6×5＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了模擬實(shí)驗(yàn)，利用實(shí)驗(yàn)得出摸出紅球的概率是解題關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海·八年級校考期中）下列事件，是必然事件的是（

）A．?dāng)S一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是1B．?dāng)S一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)C．打開電視，正在播廣告D．拋擲一枚硬幣，擲得的結(jié)果不是正面就是反面【答案】D【分析】根據(jù)必然事件就是必然發(fā)生的事件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．?dāng)S一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是1是隨機(jī)事件，不符合題意；B.擲一枚均勻的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)是隨機(jī)事件，不符合題意；C.打開電視，正在播廣告是隨機(jī)事件，不符合題意；D.拋擲一枚硬幣，擲得的結(jié)果不是正面就是反面是必然事件，符合題意．故選D【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件．掌握必然事件就是必然發(fā)生的事件是解題關(guān)鍵．2．（2022春·上海寶山·八年級?？茧A段練習(xí)）下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（

）A．在十進(jìn)制中B．從長度分別為1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根為邊拼成一個三角形C．方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解D．在裝有10個紅球的口袋內(nèi)，摸出一個白球.【答案】B【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】A.在十進(jìn)制中，是必然事件，不符合題意；B.從長度分別為1cm、2cm、3cm、4cm的4根小木棒中，任取3根為邊拼成一個三角形，是隨機(jī)事件，符合題意；C.方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，是不可能事件，不符合題意；D.在裝有10個紅球的口袋內(nèi)，摸出一個白球，是不可能事件，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件和確定事件，解題關(guān)鍵是明確可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件．3．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┤绻肁表示事件“若a＞b，則ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A發(fā)生的概率”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．P（A）＝1 B．P（A）＝0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1知事件A是隨機(jī)事件，由概率的意義可得答案．【詳解】解：若a＞b，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)知ac2≥bc2成立，∴A是隨機(jī)事件，∴0＜P（A）＜1，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是概率的意義，必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；如果A為不確定事件，那么0＜P（A）＜1，解題的關(guān)鍵是確定事件A的類型．4．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┫铝惺录惺潜厝皇录氖牵?/p>

）A．方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解B．在十進(jìn)制中C．兩個非零實(shí)數(shù)的積為負(fù)D．平面直角坐標(biāo)系中，直線不經(jīng)過第二象限【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，二進(jìn)制，有理數(shù)的乘法，直線的性質(zhì)判斷即可得出答案．【詳解】解：A、針對于方程x2+a=0，Δ=0-4a=-4a，當(dāng)a≤0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)a＞0時，方程沒有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不符合題意；B、在十進(jìn)制中1+1=10和十進(jìn)制中的2不能比較大小，故此選項(xiàng)不符合題意；C、兩個非零數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、針對于直線y=3x-1，k=3＞0，b=-1＜0，∴直線y=3x-1經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過二象限，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二進(jìn)制，有理數(shù)的乘法，一次函數(shù)的性質(zhì)．5．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谥校┫铝惺录潜厝皇录氖牵?/p>

）A．疫情期間參加聚會會感染新冠病毒B．拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上C．打開的電視機(jī)正在播放新聞D．13個同學(xué)中至少有兩個同學(xué)同一個月生日【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、疫情期間參加聚會會感染新冠病毒，是隨機(jī)事件，則此項(xiàng)不符合題意；B、拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，則此項(xiàng)不符合題意；C、打開的電視機(jī)正在播放新聞，是隨機(jī)事件，則此項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)橐荒暧?2個月，所以13個同學(xué)中至少有兩個同學(xué)同一個月生日，是必然事件，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．6．（2022春·八年級單元測試）某小組做“用頻率估計概率”的實(shí)驗(yàn)時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是6【答案】D【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到實(shí)驗(yàn)的概率在0.17左右，再分別計算出四個選項(xiàng)中的概率，然后進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率是，不符合題意；B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率是，不符合題意；D．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是6的概率是，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．7．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┫铝忻}正確的是（）．A．任何事件發(fā)生的概率為1B．隨機(jī)事件發(fā)生的概率可以是任意實(shí)數(shù)C．可能性很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中有可能發(fā)生D．不可能事件在一次實(shí)驗(yàn)中也可能發(fā)生【答案】C【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件的定義和概率的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】A中，只有必然事件概率才是1，錯誤；B中，隨機(jī)事件的概率p取值范圍為：0＜p＜1，錯誤；C中，可能性很小的事件，是有可能發(fā)生的，正確；D中，不可能事件一定不發(fā)生，錯誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之間．8．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┰趫A、等腰三角形、平行四邊形、正方形中任選兩個圖形，那么下列事件中為不可能事件的是（

）A．這兩個圖形都是中心對稱圖形；B．這兩個圖形都不是中心對稱圖形；C．這兩個圖形都是軸對稱圖形；D．這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．【詳解】解：圓和正方形既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，A．這兩個圖形都是中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故不符合題意；B．這兩個圖形都不是中心對稱圖形，是不可能事件，故符合題意；C．這兩個圖形都是軸對稱圖形，是隨機(jī)事件，故不符合題意；D．這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀S兩枚骰子，兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和只可能是、、、、、、、、、和，共種可能，那么“擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為”的概率是______．【答案】【分析】利用列表法把所有等可能的情況都列舉出來，找出擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為的情況，利用概率公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，列表如下所示，123456123456723456783456789456789105678910116789101112通過列表可得，共有種等可能的情況，其中擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為的情況共有種，“擲兩枚骰子，出現(xiàn)兩者朝上面點(diǎn)數(shù)之和為”的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解答本題的關(guān)鍵是利用列表法把所有等可能的情況列舉出來．10．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀?，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個數(shù)，取出的數(shù)為素數(shù)的概率是______．【答案】##0.5【分析】用素數(shù)的個數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)即可求得答案．【詳解】解：1，2，3，4這四個數(shù)字中素數(shù)有2和3共2個，∴從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個數(shù)，取出的數(shù)為素數(shù)的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了素數(shù)的概念，概率的知識．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．11．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）確定事件的概率是______．【答案】0或1##1或0【分析】確定事件包括必然事件和不可能事件，再根據(jù)必然事件和不可能事件的概率解答即可．【詳解】解：確定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定事件的定義，確定事件包括必然事件與不可能事件，難度適中．12．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ秀籼林袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖：麻將是中國的國粹之一，玩法最為復(fù)雜有趣，是中國古人發(fā)明的一種博弈游戲．它開局拿牌要投兩枚骰子，將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相加之和除以4看余數(shù)來決定是在哪家開始拿牌．余數(shù)為1則在自家拿牌，余數(shù)為2就在下家拿牌，余數(shù)為3則在對家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，則在自家拿牌的概率為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后得出滿足條件的結(jié)果，利用概率公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，畫樹狀圖如下：共有36種等可能結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相加之和除以4余1的有8種結(jié)果，分別為（1，4），（2，3），（3，2），（3，6），（4，1），（4，5），（5，4），（6，3），所以在自家拿牌的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用樹狀圖求概率，熟練掌握樹狀圖的畫法是解題關(guān)鍵．13．（2022春·上海·八年級上海市張江集團(tuán)中學(xué)校考期末）從3至8的6個整數(shù)中隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互素的概率是___．【答案】【分析】利用列表法，求得所有可能的結(jié)果數(shù)及2個數(shù)互素的結(jié)果數(shù)，則由概率公式即可求得概率．【詳解】列表如下：345678334353637384344546474853545565758636465667687374757677883848586878所有可能結(jié)果數(shù)是30種，其中這2個數(shù)互素人結(jié)果數(shù)是22種，則所求的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，關(guān)鍵是知道互素的含義，會用樹狀圖或列表法來解決．14．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀蘑?，②，③，④四個關(guān)系中，任選1個作為條件，那么選到能夠判定平行四邊形是菱形的概率是_______．【答案】【分析】根據(jù)一對鄰邊相等的平行四邊形是菱形、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，逐一判定，而后根據(jù)概率的計算方法解答．【詳解】解：①∵中，，∴是菱形，故①正確；②∵，，∴是矩形，故②不正確；③∵，，∴是菱形，故③正確；④∵，，∴是矩形，故④不正確；故選到能夠判定是菱形的有①、③，2種結(jié)果，∴選到能夠判定是菱形的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形，菱形，概率等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法，菱形的判定方法，概率的計算方法．三、解答題15．（2018春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k揚(yáng)波中學(xué)校考期末）從1，2．．．，100這100個數(shù)中任意選取一個數(shù)，求：（1）取到的是3的倍數(shù)的數(shù)概率P（A）（2）取到的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為7的兩位數(shù)的概率P（B）【答案】（1）33%；（2）【分析】（1）先例舉出1，2．．．，100這100個數(shù)字中3的倍數(shù)，再利用簡單概率的概率公式計算即可得到答案。（2）例舉出符合條件的兩位數(shù)，利用簡單隨機(jī)事件的概率公式解題即可．【詳解】（1）因?yàn)閺?，2．．．，100這100個數(shù)字中3的倍數(shù)有個，所以取到的是3的倍數(shù)的數(shù)概率P（A）33%．（2）兩位數(shù)一共90個，其中只有16、25、34、43、52、61，70滿足條件，則P（B）．【點(diǎn)睛】本題考查的是簡單問題中的隨機(jī)事件的概率的計算，掌握計算公式是解題關(guān)鍵．16．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┯幸粋€不透明的袋子里裝有除標(biāo)記數(shù)字不同外其余均相同的4個小球，小球上