專題01 圓錐曲線中的弦長問題(教師版)

專題01圓錐曲線中的弦長問題一、單選題1．設(shè)橢圓長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則過焦點且垂直于長軸的弦長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，由此可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，，解得，因此，過焦點且垂直于長軸的弦長是.故選：D.2．已知橢圓，直線l過橢圓C的左焦點F且交橢圓于A，B兩點，的中垂線交x軸于M點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)l：時，，設(shè)與橢圓聯(lián)立可得：，然后求得的中垂線方程，令，得，然后分別利用兩點間的距離公式和弦長公式求得，，建立求解.【詳解】橢圓的左焦點為,當(dāng)l：時，，，所以，設(shè)與橢圓聯(lián)立，可得：，由韋達(dá)定理得：，取中點為，所以的中垂線方程為：，令，得，所以，又，所以，綜上所述，故選：B.【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．3．過橢圓9x2+25y2=225的右焦點且傾斜角為45°的弦長AB的長為（）A．5 B．6 C． D．7【答案】C【分析】求出焦點坐標(biāo)和直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式可得答案.【詳解】由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦點坐標(biāo)為，直線AB的方程為，所以得，設(shè)，所以，.故選：C.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的弦長公式，由韋達(dá)定理的應(yīng)用.4．橢圓的左、右焦點分別是、，斜率為的直線l過左焦點且交于，兩點，且的內(nèi)切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用等面積法可得：，求解出的值，然后根據(jù)弦長公式的取值范圍.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意得得，.故選：B.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形問題，考查弦長的取值范圍問題，難度一般.解答時，等面積法、弦長公式的運(yùn)用是關(guān)鍵.二、多選題5．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，以線段為直徑的圓交軸于、兩點，則（）A．若拋物線上存在一點到焦點的距離等于，則拋物線的方程為B．若，則直線的斜率為C．若直線的斜率為，則D．設(shè)線段的中點為，若點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為【答案】AD【分析】由拋物線的定義求得的值，可判斷A選項的正誤；設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，可判斷B選項的正誤；利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項的正誤；設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，求得點到軸的距離和，可得出關(guān)于的表達(dá)式，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由拋物線的定義可得，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A選項正確；對于B選項，如下圖所示：拋物線的焦點為，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，由韋達(dá)定理可得，，由于，由圖象可得，即，所以，，可得，解得，所以，直線的斜率為，B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)直線的斜率為時，由B選項可知，，，由拋物線的焦點弦長公式可得，C選項錯誤；對于D選項，拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，則該拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，消去可得，，則，，，點到軸的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D選項正確.故選：AD.【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)以及焦點弦長、焦半徑的計算.本題中將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出點、的縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，并結(jié)合了拋物線的焦點弦長公式進(jìn)行計算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題6．如圖，是直線上一動點，過點且與垂直的直線交拋物線于，兩點，點在，之間．（1）若過拋物線的焦點，求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線，將韋達(dá)定理和弦長公式相結(jié)合即可得結(jié)果；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組分別求出A，B，P的縱坐標(biāo)，將表示為關(guān)于的函數(shù)式，結(jié)合基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）由已知得，所以，聯(lián)立得，消去，可得，設(shè)點，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以．（2）設(shè)，由，消去，可知，∵有兩個不同的交點，∴，解得：，，由，得，由于點在點，點之間，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．故的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）直線弦長公式的應(yīng)用；（2）將所求量表示為關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式求最值.7．已知橢圓（）長軸長為短軸長的兩倍，連結(jié)橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4，直線過點，且與橢圓相交于另一點．（1）求橢圓的方程；（2）若線段長為，求直線的傾斜角．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由題設(shè)列出基本量方程組，解得基本量，從而得方程.（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程得關(guān)于的一元二次方程，韋達(dá)定理整體思想及弦長公式得關(guān)于斜率的方程，解得斜率得直線方程.【詳解】(1)由題意可知，，，。橢圓方程為：(2)由題可知直線斜率存在，設(shè)直線方程為:代入橢圓方程得：，，，解得，直線的傾斜角為或.【點睛】本題是橢圓與直線相交弦長問題，是高考解析幾何中的常見題型.注意點點睛：①在設(shè)直線時要注意直線斜率是否存在，做必要的交代；②代入消元后要交代的符號，確定交點是否存在及存在時的個數(shù)；③所得解回代檢驗合理性，以確保答案的正確性.8．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.（1）若直線的傾斜角為，求線段的長；（2）若，求的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)點、，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出的值，再利用拋物線的焦點弦長公式可求得線段的長；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，可得出，由求得的值，利用韋達(dá)定理以及拋物線的方程求得的值，利用拋物線的定義可求得的長.【詳解】（1）設(shè)點、，拋物線的焦點為，由于直線過點，且該直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達(dá)定理可得，由拋物線的焦點弦長公式可得；（2）設(shè)點、，由題意可知，直線不可能與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達(dá)定理可得，，，可得，，，則，，因此，.【點睛】有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．9．已知圓上上任取一點，過點作軸的垂線段，垂足為，當(dāng)在圓上運(yùn)動時，線段中點為.（1）求點的軌跡方程；（2）若直線l的方程為y＝x－1，與點的軌跡交于，兩點，求弦的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)、，利用相關(guān)點法即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，點是線段中點，，又在圓上，，即點的軌跡方程為.（2）聯(lián)立，消去可得，，，設(shè)，，則，，.【點睛】方法點睛：本題考查了軌跡問題、求弦長，求軌跡的常用方法如下：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義求解.（2）相關(guān)點法：由已知點的軌跡進(jìn)行求解.（3）直接法：根據(jù)題意，列出方程即可求解.10．已知橢圓的右焦點為，左、右頂點為、，，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線被橢圓截得的弦長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，，解得，，求得，可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計算可得所求值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由，，可得，，解得，，則，即有橢圓的方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓，可得，設(shè)被橢圓截得的弦的端點的橫坐標(biāo)分別為，，則，，可得弦長為.【點睛】思路點睛：求解橢圓中的弦長問題時，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長公式，即可求出結(jié)果；有時也可由直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式求出弦長.11．已知直線與圓相交.（1）求的取值范圍；（2）若與相交所得弦長為，求直線與相交所得弦長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由圓求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離小于半徑即可求解；（2）由與相交所得弦長為，利用弦長的一半、弦心距、圓的半徑滿足勾股定理可求出圓的半徑，再次利用勾股定理即可求解.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為.因為直線與圓相交，所以圓心到的距離解得：，即的取值范圍是.（2）因為與相交所得弦長為，所以，因為圓心到的距離，所以直線與M相交所得弦長為.【點睛】方法點睛：有關(guān)圓的弦長的兩種求法（1）幾何法：直線被圓截得的半弦長為，弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，即；（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長或12．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，分別為雙曲線的左、右焦點.（1）若點在雙曲線的右支上，且的面積為，求點的坐標(biāo)；（2）若斜率為1且經(jīng)過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，求線段的長度.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由雙曲線方程可得，進(jìn)而可得點的縱坐標(biāo)，代入即可得解；（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理、弦長公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦距，設(shè)點，則，解得，代入雙曲線方程可得，所以點的坐標(biāo)為或；（2）由題意，，則直線，設(shè)，由，化簡可得，則，，所以.13．設(shè)拋物線，為的焦點，過的直線與交于兩點.（1）設(shè)的斜率為，求的值；（2）求證：為定值.【答案】（1）5；（2）證明見解析.【分析】（1）求出直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，由即可求解；（2）設(shè)直線方程為，由韋達(dá)定理表示出，即可得出定值.【詳解】（1）依題意得，所以直線的方程為.設(shè)直線與拋物線的交點為，，由得，，所以，.所以.（2）證明：設(shè)直線的方程為，直線與拋物線的交點為，，由得，，所以，.因為.所以為定值.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.14．已知橢圓M：的一個焦點為，左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點的直線l與橢圓M交于C，D兩點．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線l的傾斜角為時，求線段CD的長；（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為和，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值為.【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果；（Ⅲ）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出，，變形后利用基本不等式可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的焦點為，所以且，所以，所以橢圓方程為.（Ⅱ）因為直線l的傾斜角為，所以斜率為1，直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，則，，所以.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線：，，，聯(lián)立，消去并整理得，則，，所以異號，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（Ⅲ）問中將三角形面積用兩點的縱坐標(biāo)表示，并利用韋達(dá)定理和基本不等式解決是解題關(guān)鍵.15．已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，直線過橢圓的右焦點與上頂點，動直線：與橢圓交于，兩點，交于點.（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，若點滿足，求此時的長度.【答案】（1）；（2）4或.【分析】（1）根據(jù)，以及即可求解.（2）將直線與聯(lián)立，求出交點，再由，可得點為的中點，根據(jù)在直線：上求出點即可求解.【詳解】（1）由題意得，，結(jié)合，解得，，，故所求橢圓的方程為.（2）易知定直線的方程為.聯(lián)立，整理得，解得，不妨令點的坐標(biāo)為.∵，由對稱性可知，點為的中點，故，又在直線：上，故，解得，，故點的坐標(biāo)為或，所以或，所以的長度為4或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是求出點，根據(jù)對稱性可知，確定點為的中點，考查了計算求解能力.16．已知橢圓，為坐標(biāo)原點，為橢圓上任意一點，，分別為橢圓的左、右焦點，且，其離心率為，過點的動直線與橢圓相交于，兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時，求直線的方程【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.（2）首先設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系和弦長公式即可得到方程，再解方程即可得到答案.【詳解】（1）由題意知解得，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，其判別式.設(shè)點，坐標(biāo)分別為，，則，.所以，整理得，解得或，所以或.綜上，直線的方程為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長問題，本題中將直線方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利根系關(guān)系和弦長公式得到所求的等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.17．如圖，橢圓（）的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線的斜率為0時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求使取最小值時直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）由離心率及，可得出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程；（Ⅱ）進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，分別將直線與的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出和的表達(dá)式，然后利用弦長公式求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出取得最小值時k的值，最后寫出直線的方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知，，又，解得，，所以橢圓方程為；（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在時，由題意知，不滿足條件；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，設(shè)，，將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得，則，，所以，同理，，所以+=≥，當(dāng)且僅當(dāng)即時，上式取等號，所以直線AB的方程為或．【點睛】易錯點點睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，對于第二問，應(yīng)該對斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計算能力，屬于中檔題.18．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，且過點的直線被拋物線所截得的弦長為8．（1）求直線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率大于零時，求過點且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）由題意得，，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長，結(jié)合已知弦長可求得結(jié)果；（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐標(biāo)和半徑，可得圓的方程.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為，此時，不滿足，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為由得設(shè)，則，且由拋物線定義得即，解得因此l的方程為或.（2）由（1）取直線的方程為，所以線段的中點坐標(biāo)為(3，2)，所以的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，該圓的圓心到直線的距離為，則，則該圓的半徑為，因為該圓與準(zhǔn)線相切，所以，解得或,當(dāng)圓心為時，半徑為，當(dāng)圓心為時，半徑為，因此所求圓的方程為或．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）問，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出拋物線的弦長是關(guān)鍵；第（2）問，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，利用直線與圓相切列式是解題關(guān)鍵.19．橢圓：，直線過點，交橢圓于?兩點，且為的中點.（1）求直線的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，，利用點差法求直線的斜率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，聯(lián)立方程，利用弦長公式，求的值.【詳解】（1），，點在橢圓里面，設(shè)，，則，兩式相減可得，變形為，①點是線段的中點，，并且有橢圓對稱性可知，由①式兩邊同時除以，可得，，設(shè)直線的斜率為，，解得：，所以直線的方程；（2），，，可得，，，化簡為，且解得：【點睛】方法點睛：點差法是解決涉及弦的中點與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點的坐標(biāo)，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點的方程，代入已知斜率，可研究中點問題，代入已知中點可求斜率.20．如圖所示，已知圓上有一動點，點的坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線有兩個不同的交點、，問是否存在實數(shù)，使得成立，若存在求出的值；若不存在，請說明理由.（1）；（2）存在，實數(shù).【分析】（1）計算得出，利用橢圓的定義可知，曲線為橢圓，確定焦點的位置，求出、的值，結(jié)合點不在軸上可得出曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線與曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式可計算出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由于四邊形為平行四邊形，則，，所以點的軌跡是以、為焦點，以為長軸長的橢圓，由得，半焦距，所以，軌跡的方程為：，由于四邊形為平行四邊形，則點不能在軸上，可得，因此，軌跡的方程為：；（2）由于曲線是橢圓去掉長軸端點后所形成的曲線，當(dāng)直線的斜率為時，直線與軸重合，此時，直線與曲線無公共點，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，由消去得，，則，，不妨設(shè)，，，同理所以，即，所以存在實數(shù)使得成立.【點睛】直線與圓錐曲線的弦長問題，較少單獨考查弦長的求解，一般是已知弦長的信息求參數(shù)或直線的方程．解此類題的關(guān)鍵是設(shè)出交點的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長，將已知弦長的信息代入求解．21．已知橢圓，直線過點與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點.（1）設(shè)為的中點，當(dāng)直線的斜率為時，求線段的長；（2）當(dāng)△面積等于時，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點間的距離公式可求出答案；（2）易知直線斜率存在，可表示出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)而求出的表達(dá)式，及點到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合，可求出直線的斜率.【詳解】（1）因為直線l過，斜率為，所以：.聯(lián)立，得到.由韋達(dá)定理，有，設(shè)，則，，所以，.（2）由題意，可知直線斜率存在，設(shè)斜率為，則為：，聯(lián)立，得到，由韋達(dá)定理，有，O到直線l的距離為，.則.所以，化簡得，解得，所以直線：或.22．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相交于兩點.（1）將表示為的函數(shù)；（2）若，求的周長.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)點，，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，化簡計算即可得到所求函數(shù)；（2）運(yùn)用拋物線的定義和（1）的結(jié)論，結(jié)合，進(jìn)而得到的周長．【詳解】（1），整理得，則，，其中；（2）由，則，解得，經(jīng)檢驗，此時，所以，由拋物線的定義，有，又，所以的周長為．【點睛】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標(biāo)可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.23．如圖，過點的直線與拋物線交于兩點.（1）若，求直線的方程;（2）記拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)直線分別交于點，求的值.【答案】（1）；（2）-3.【分析】(1)設(shè)直線的方程為，,方程聯(lián)立得到，由直線方程求出，由條件可得，從而求出答案.(2)由直線分別交于點，則,可得，同理可得，由，結(jié)合（1）中的可得答案.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為，由，得所以則由拋物線的性質(zhì)可得解得，所以直線的方程為：（2）由題意可得直線：，設(shè)由（1）可得，由直線分別交于點，則,即，所以由直線分別交于點，則,即，所以【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線過焦點的弦長和直線與拋物線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用過焦點的弦長公式，設(shè)直線的方程為，方程聯(lián)立韋達(dá)定理代入即可，由直線分別交于點，則得出，同理得出，利用韋達(dá)定理的結(jié)果即可，屬于中檔題.24．設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當(dāng)時，，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.②當(dāng)時，.③當(dāng)AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．25．折紙又稱“工藝折紙”，是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖），步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)不是圓心處取一點，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片對折，使圓周正好通過F；步驟3：把紙片展開，于是就留下一條折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，能得到越來越多條的折痕．所有這些折痕圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點到圓心的距離為2，按上述方法折紙.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過，且與直線夾角為的直線被橢圓截得的弦長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系后，由橢圓的定義即可得解；（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式即可得解.【詳解】（1）如圖，以FO所在的直線為x軸，F(xiàn)O的中點M為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點，由題意可知且，所以P點軌跡以F，O為左右焦點，長軸長的橢圓，因為，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如圖，不妨令過的直線交橢圓于C，D且傾斜角，所以直線，設(shè)，聯(lián)立，消元得，，所以，所以.四、填空題26．在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點作斜率為1的直線，與拋物線交于，兩點．若弦的長為6，則實數(shù)的值為__________.【答案】【分析】設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，，代入弦長公式，利用線段的長度，求解即可.【詳解】拋物線上的焦點，，直線的斜率為1，則可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，聯(lián)立方程，整理得，由韋達(dá)定理可得：，，，解得；故答案為：．【點睛】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標(biāo)可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.27．已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l：y=2x+b經(jīng)過拋物線C的焦點，且與C相交于A、B兩點．若|AB|=5，則p=___．【答案】2【分析】法1：首先利用直線過焦點，得，再利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，計算求得；法2：由已知，求得的值，再利用弦長公式，求的值.【詳解】法1：由題意知，直線，即．直線經(jīng)過拋物線的焦點，，即．直線的方程為．設(shè)、，聯(lián)立，消去整理可得，由韋達(dá)定理得，又，，則.法2：設(shè)直線的切斜角為，則，得，∴，得.故答案為：2【點睛】結(jié)論點睛：當(dāng)直線過拋物線的焦點時，與拋物線交于兩點，稱為焦點弦長，有如下的性質(zhì)：直線與拋物線交于，①；②；③為定值；④弦長（為直線的傾斜角）；⑤以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑥焦點對在準(zhǔn)線上射影的張角為.28．已知拋物線為過焦點的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)，則下列結(jié)論正確的有________．①若直線的斜率為-1，則弦；②若直線的斜率為-1，則；③點恒在平行于軸的直線上；④若點是弦的中點，則．【答案】①③④【分析】設(shè)PA的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,聯(lián)立與的方程求出點的坐標(biāo)，可知④正確；設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)時，利用韋達(dá)定理求出與可知②錯誤，③正確；當(dāng)時，利用拋物線的定義和韋達(dá)定理可得弦長，可知①正確．【詳解】設(shè)PA方程與拋物線方程聯(lián)立得，由得，方程為，同理得PB方程，聯(lián)立，解得，所以交點P，即，所以④正確；根據(jù)題意直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，，所以③正確；當(dāng)t=-1時，，所以②錯誤，當(dāng)t=-1時，根據(jù)拋物線的定義可得，所以①正確．故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)出切線方程，利用判別式等于0，求出切線方程，聯(lián)立切線方程求出交點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.五、雙空題29．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且，線段的垂直平分線過點，則拋物線的方程是______；若直線過點，則______.【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，再根據(jù)可得，聯(lián)立即可求出，得到拋物線的方程；再聯(lián)立直線和拋物線的方程，可解得，再根據(jù)，即可解出．【詳解】設(shè)，，由拋物線的焦半徑公式可得，，，則，即.因為點在線段的垂直平分線上，所以，則.因為，，所以，因為，所以，則，解得，故拋物線的方程是.因為直線過點，所以直線的方程是，聯(lián)立，整理得，則，從而，因為，所以，解得.故答案為：；．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練03圓錐曲線中的中點弦問題（原卷板及解析版）