專題04 圓錐曲線中的范圍問題(教師版)

專題04圓錐曲線中的范圍問題一、單選題1．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當?shù)闹底钚r，=（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準線方程為，，過P作垂直于準線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學生的轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.2．已知橢圓，直線l過橢圓C的左焦點F且交橢圓于A，B兩點，的中垂線交x軸于M點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當l：時，，設與橢圓聯(lián)立可得：，然后求得的中垂線方程，令，得，然后分別利用兩點間的距離公式和弦長公式求得，，建立求解.【詳解】橢圓的左焦點為,當l：時，，，所以，設與橢圓聯(lián)立，可得：，由韋達定理得：，取中點為，所以的中垂線方程為：，令，得，所以，又，所以，綜上所述，故選：B.【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零．3．已知點，分別為圓和橢圓上的點，則，兩點間的最大距離是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】求得圓心坐標和半徑，設出橢圓上任意一點的坐標，利用，表示橢圓上的點到圓上點的最大距離的表達式，再利用三角函數(shù)求得其最大值.【詳解】依題意可知圓心，半徑是.設橢圓上的點，此時點到圓上的點的最大距離為，即，由，得，即所以的最大值為9，即，兩點間的最大距離是9.故選：D【點睛】本題主要考查圓和橢圓的位置關(guān)系，圓外一點到圓上的點的最大距離的表示，考查學生的換元思想以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查學生的運算能力，屬于中檔題.4．已知直線：與橢圓：至多有一個公共點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線：與橢圓：至多有一個公共點，即聯(lián)立方程，化簡整理得，即可理解為雙曲線外部的點（可行域），轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的題，然后化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方程，化簡整理得：因為直線：與橢圓：至多有一個公共點，所以，即，即點滿足雙曲線外部的點，即可行域，如圖所示，為x軸，k為y軸，將變形為，平移直線，由圖可知，當直線與雙曲線相切時為臨界條件.聯(lián)立，化簡整理得：由題知，，解得若可行域是雙曲線右支外部的點，即臨界條件切線需要往上平移，即；若可行域是雙曲線左支外部的點，即臨界條件切線需要往下平移，即；綜上可知，的取值范圍是故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓交點個數(shù)問題，考查用雙曲線外部點作可行域，求線性目標函數(shù)的最值，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于難題.二、多選題5．已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點.點是拋物線上不同的兩點.下面說法中正確的是（）A．若直線過焦點，則以線段為直徑的圓與準線相切；B．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多兩條；C．對于拋物線內(nèi)的一點，則；D．若直線垂直于軸，則直線與直線的交點在拋物線上.【答案】ACD【分析】過作準線于，過作準線于，計算得到A正確；直線包括兩條切線和軸所在直線，B錯誤；，C正確；設，，計算交點驗證得到答案.【詳解】如圖一：過作準線于，過作準線于，過中點作準線于，則，故以線段為直徑的圓與準線相切，A正確；點與拋物線有且僅有一個公共點的直線包括兩條切線和軸所在直線，B錯誤；如圖二：過作準線于，過作準線于，準線方程為，，當共線時等號成立，C正確；設，，，，則直線：，：，交點，帶入滿足拋物線方程，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：利用拋物線定義將點到焦點的距離和點到準線的距離互換，利用幾何關(guān)系，是解決拋物線中距離的最值的關(guān)鍵.6．已知曲線C的方程為，，點P是C上的動點，直線與直線交于點M，直線與直線交于點N，則的面積可能為（）A．73 B．76 C．68 D．72【答案】ABD【分析】設，求出，求出的坐標和的最小值，得到的面積的最小值，即得解.【詳解】設，則．設，則，直線的方程為，則點M的坐標為，直線的方程為，則點N的坐標為．所以，當且僅當，即時等號成立．從而面積的最小值為.故選：ABD．【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性、直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.7．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過點的直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則（）A．的準線方程為 B．線段長度的最小值為4C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可得出，易得A、B的正誤，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1，y2＝2px，算出即可得出C、D的正誤.【詳解】焦點F到準線的距離為p=2，所以拋物線C的焦點為(1，0)，準線方程為x=－1，則選項A錯誤；當PQ垂直于x軸時長度最小，此時P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，則選項B正確；設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1，y2＝2px，消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，，當時成立，則選項C正確；又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，則選項D正確；故選：BCD8．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，長軸長為，焦距為，點在橢圓上且滿足，直線與橢圓交于另一個點，若，點在圓上，則下列說法正確的是（）A．橢圓的焦距為 B．三角形面積的最大值為C．圓在橢圓的內(nèi)部 D．過點的圓的切線斜率為【答案】ABC【分析】利用,求得，利用已知條件及橢圓定義求出橢圓方程，再對選項進行驗證得解【詳解】，,設則又，，所以A正確；圓，，圓在橢圓內(nèi)部，所以點在橢圓內(nèi)部，所以C正確；當點在軸上是三角形面積的最大，此時,所以B正確；設過點的圓的切線斜率為，則切線方程為所以D錯誤故選：ABC【點睛】本題考查橢圓與圓的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎題.三、解答題9．已知橢圓：.（1）求橢圓的離心率.（2）已知點是橢圓的左頂點，過點作斜率為1的直線，求直線與橢圓的另一個交點的坐標.（3）已知點，是橢圓上的動點，求的最大值及相應點的坐標.【答案】（1）；（2）；（3）取最大值，此時點的坐標是.【分析】（1）由方程直接求出，即可求出離心率；（2）可得直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程即可求出交點坐標；（3）設，利用距離公式與橢圓的有界性即可求出.【詳解】（1）因為，，所以，，，所以橢圓的離心率.（2），直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消去整理得：，解得，，所以點的坐標為.（3）設，因為是橢圓上的動點，所以，，因為，所以，因為，所以當時，取最大值，此時點的坐標是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與橢圓的交點坐標，可直接聯(lián)立方程求解，第三問求橢圓上的點到定點的距離最值，解題的關(guān)鍵是正確表示距離，利用橢圓的有界性求解.10．已知橢圓上的點到右焦點的最大距離是，且1、、成等比數(shù)列．（1）求橢圓的方程；（2）過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點，線段的中垂線交軸于點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）先設出方程，聯(lián)立方程組得到根與系數(shù)關(guān)系，從而建立關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求出的范圍．【詳解】解：（1）由題意可知，解之得，故橢圓的方程為．（2）由題意得，設的方程為，由消去得，設，，，，則，可得線段的中點，當時，直線為軸，此時．當時，直線的方程為，令得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】設直線方程時，注意對直線的斜率進行分類討論，即斜率存在與不存在.11．已知橢圓的左、右頂點分別為、，直線與橢圓交于、兩點．（1）點的坐標為，若，求直線的方程；（2）若直線過橢圓的右焦點，且點在第一象限，求、分別為直線、的斜率）的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用點差法，求直線的斜率，再求直線方程；（2）直線的斜率不存在時，求點的坐標，得到的值，以及當斜率存在時，直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求的值，并將表示為的二次函數(shù)，并求取值范圍.【詳解】解：（1）設，，，，由題意可得為線段的中點，由兩式相減可得，而，即有，，則，可得，故直線的方程為，即；（2）由題意可得，，，當直線的斜率不存在時，，，，．當直線的斜率存在時，則的斜率不為0，設直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則，，所以，所以，因為在第一象限，所以，所以，．【點睛】思路點睛：1.一般涉及中點弦問題時，采用點差法求解；2.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題.12．已知圓的離心率為，過的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，當，軸時，．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若l不垂直于坐標軸，且在x軸上存在一點，使得成立，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)條件構(gòu)建方程求解即可（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后由，得，即，即，然后得出即可.【詳解】解：（1）橢圓的半焦距為c．根據(jù)題意，得，解得，．所以橢圓C的標準方程為．（2）由l不垂直于坐標軸知，直線l的斜率存在，且不為0，設直線l的方程為，聯(lián)立，消去y可得．設，，易知，且均不等于m．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．由，得，所以．所以，所以整理可得，即．因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的等量關(guān)系．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理求出，，由，得，然后表示出得到所要求的等量關(guān)系．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．13．已知橢圓：經(jīng)過點，一個焦點的坐標為.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)焦點坐標可得，利用橢圓定義可求得a的值，根據(jù)a,b,c的關(guān)系，即可求得b的值，進而可求得橢圓的方程；（2）設，，聯(lián)立直線與橢圓C的方程，根據(jù)，可得m與k的關(guān)系，利用韋達定理，可得，，的表達式，根據(jù)，可得，即可求得的范圍，代入所求，即可得答案.【詳解】（1）由題意得，，根據(jù)橢圓定義可得：，解得根據(jù)，解得，所以橢圓的方程為；（2）設，，由得：，，即，，，，所以，所以，故，解得，所以.故的取值范圍為【點睛】方法點睛：直線與橢圓的位置關(guān)系問題，解題的關(guān)鍵是將直線與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理把計算目標轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率等變量的函數(shù)關(guān)系式，注意這個條件求出變量的范圍，并利用函數(shù)值域的求法（如分離常數(shù)等）來求目標函數(shù)的最值.14．已知點到的距離是點到的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于點對稱，點，求的最大值；（3）若過的直線與第二問中的軌跡交于，兩點，試問在軸上是否存在點，使恒為定值?若存在，求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）138；（3）存在，，.【分析】（1）設點，由題意可得，利用兩點之間的距離公式化簡整理可得.（2）先由的軌跡方程求出點的軌跡方程，利用兩點間距離公式整理從而轉(zhuǎn)化為：線性規(guī)劃問題處理.（3）代入消元，韋達定理，整體思想代入，整理可得解.【詳解】（1）設點，由題意可得，即，化簡可得.（2）設，由(1)得點滿足的方程，又點是點與點的中點，則，代入上式消去可得，即的軌跡為.令，則，可視為直線在y軸上的截距，的最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距，由直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，所以，，所以.因此的最大值為138.（3）存在點，使得為定值.當直線的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，由，消去，得，顯然，設，則，，又，，則要使上式恒為定值，需滿足，解得，此時，為定值.當直線的斜率不存在時，，，由可得.所以存在點，使得為定值.【點睛】方法點睛：本題為直線與圓的綜合題，與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略（1）與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．（2）與圓上點有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法：①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．15．已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準線，點在橢圓上（異于橢圓左、右頂點），過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.（1）求證：；（2）若點在軸的上方，當?shù)拿娣e最小時，求直線的斜率的平方.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列方程，求得點的坐標，求得點的坐標，通過計算得到，由此證得.（2）求得，由此求得三角形面積的表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最小值，進而得出直線的斜率的平方.【詳解】（1）證明：由題意得，點的坐標為，設.由，得，.即點坐標為.當時，可求得點的坐標為，，.故.（2）解：點在軸上方，，由（1）知；①當時，由（1）知，函數(shù)單調(diào)遞增.②當，由（1）知，令則由當時，，此函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)即的最小值，此時，，解得.綜上，當?shù)拿娣e最小時，直線的斜率的平方為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查平面向量數(shù)量積的坐標表示垂直關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的最值有關(guān)的計算，解決本題的關(guān)鍵點是表示出，按和分別將用表示，并構(gòu)造函數(shù)求導判斷單調(diào)性和最值，考查了學生分析解決問題的能力和運算求解能力，屬于中檔題.16．已知橢圓經(jīng)過點，且短軸長為2.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知條件求出，，然后求解橢圓方程；（2）當，斜率一個為0，一個不存在時，；當，斜率都存在且不為0時，設，，，，，由求出的坐標，然后推出坐標，求解，，求出三角形的面積的表達式，利用基本不等式求解最值.【詳解】（1）由題意知，，，解得，，故橢圓方程為：.（2）當，斜率一個為0，一個不存在時，，當，斜率都存在且不為0時，設，，，，，由消得，，，得，，，，又，所以，綜上，面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思.（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.17．已知橢圓的左右焦點分別是和，離心率為，以在橢圓上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點，若軸上存在點，使得，求點的橫坐標的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先判斷P在短軸端點時，的面積最大，得到，再結(jié)合，，即解得參數(shù)a，b，得到方程；（2）先聯(lián)立方程得到中點坐標，再利用已知條件得到，設點坐標，得到m，k的關(guān)系，討論m的取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，顯然當P在短軸端點時，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立方程組，得，因為直線l恒過定點，故直線與橢圓必有兩個交點，設，則，設中點為，則，，，設，則，化簡得.當時，當且僅當時，即時等號成立，故；當時，當且僅當時，即時等號成立，故；綜上，點的橫坐標的取值范圍為.【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．18．已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依題意，，結(jié)合條件求解的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出，橫縱坐標的和與積，進一步求得的垂直平分線方程，求得的坐標，由兩點間的距離公式求得，由弦長公式求得，作比后求得的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，，因為，即，所以．所以橢圓的方程是．（Ⅱ）由得．設，則有，，．所以線段的中點坐標為，所以線段的垂直平分線方程為．于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，所以．又．于是，．因為，所以．所以的取值范圍為．【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19．坐標平面內(nèi)的動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，設動圓的圓心的軌跡是曲線，直線.（1）求曲線的方程；（2）當點在曲線上運動時，它到直線的距離最??？最小值距離是多少？（3）一組平行于直線的直線，當它們與曲線相交時，試判斷這些直線被橢圓所截得的線段的中點是否在同一條直線上，若在同一條直線上，求出該直線的方程；若不在同一條直線上，請說明理由？【答案】（1）；（2）點到直線的距離最小，距離最小為；（3）在同一直線，直線為：.【分析】（1）利用兩個圓外切與內(nèi)切的性質(zhì)可得，再利用橢圓的定義即可求得曲線的方程；（2）設與平行的直線的方程為，代入，整理可得，當，直線與曲線相切，此時點到直線的距離最小，利用點到線距離公式求得最小值.（3）設兩個交點為，利用點差法化簡得，即，整理得.【詳解】解：（1）設動圓的半徑為，由題意可知，則，根據(jù)橢圓的定義可知曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓，其中，即所以曲線的方程為：.（2）設與平行的直線的方程為，即，代入，可得，整理得，，當時，此時直線與曲線相切，根據(jù)圖形可知當時，點到直線的距離最小，.（3）這些直線被橢圓所截得的線段的中點在同一條直線上設與平行的直線與曲線的兩交點坐標為，中點，，兩式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中點均在直線上.【點睛】思路點睛：本題考查求橢圓的標準方程，橢圓上點到直線的最近距離，點差法的應用，解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．20．已知，分別是橢圓的左、右焦點.（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點P的坐標；（2）設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題得，聯(lián)立橢圓方程，解方程組即得解；（2）顯然不滿足題意，可設l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，由為銳角，得到，把韋達定理代入化簡即得解.【詳解】（1）因為橢圓方程為，所以，，，可得，，設（，），則，所以，聯(lián)立解得，即.（2）顯然不滿足題意，可設l的方程為，，，聯(lián)立，由，得.，.又為銳角，即，即，，，可得.又，即為，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是由為銳角，聯(lián)想到，再利用數(shù)量積的坐標運算和韋達定理得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.21．已知橢圓方程為．（1）設橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上運動，求的取值范圍；（2）設直線和圓相切，和橢圓交于、兩點，為原點，線段、分別和圓交于、兩點，設、的面積分別為、，求的取值范圍．【答案】（1）[0,3]；（2）.【分析】（1）設，求出，即得解；（2）①當直線l的斜率不存在時，求得；②若直線的斜率存在，設其方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，求出，再換元求解.最后綜合得解.【詳解】（1）由已知，，設，，．結(jié)合，得，故.所以的取值范圍為[0,3].（2）①當直線l的斜率不存在時，其方程為，由對稱性，不妨設，此時，故．②若直線的斜率存在，設其方程為，由已知可得，則，設、，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達定理得，．結(jié)合及，可知．將根與系數(shù)的關(guān)系代入整理得：，結(jié)合，得．設，，則．的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是求出之后，如何求函數(shù)的取值范圍.本題利用了兩次換元，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求范圍.換元法是高中數(shù)學常用的一個解題技巧，要理解掌握靈活運用.22．已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，且（為坐標原點），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由點在上，且軸，可得，再由離心率即可求出，進而得出，求出橢圓方程；（2）設，，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，則由可建立關(guān)于的不等式，進而求出的取值范圍.【詳解】（1）因為為橢圓的右焦點，點在上，且軸，所以，又橢圓的離心率為，所以，因此，所以橢圓的方程為；（2）設，，由，得，所以，，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；綜上，的取值范圍是.【點睛】易錯點睛：本題考查橢圓中直線與橢圓相交弦所在直線的斜率問題，此類問題一般聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理建立關(guān)系求解，注意需要考慮方程有解的問題，即需要滿足，往往容易忽略這個問題.23．設橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，①當時，，因為，所以，所以，所以，當且僅當時取”=”.②當時，.③當AB的斜率不存在時，兩個交點為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零．24．如圖，已知雙曲線的方程為（），兩條漸近線的夾角為，焦點到漸近線的距離為．、兩動點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一象限和第四象限，是直線與雙曲線右支的一個公共點，.（1）求雙曲線的方程；（2）當時，求的取值范圍；（3）試用表示的面積，設雙曲線上的點到其焦點的距離的取值范圍為集合，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先由題意，得到雙曲線的漸近線方程，根據(jù)夾角公式，由題中條件，得到，再由點到直線距離公式，求出，進而可得出結(jié)果；（2）先由題意，設，，，，當，得到代入雙曲線方程，得到，再計算向量數(shù)量積，即可得出結(jié)果；（3）同（2），設，，，，由得，代入雙曲線方程，得到，再由點到直線距離公式，兩點間距離公式，求出，由題中條件，求出，進而可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意雙曲線漸近線為.根據(jù)夾角公式.又.所以.（2）由題意，設，，，，當時，，則所以，整理得；又，，所以，當且僅當時，等號成立；所以.（3）同（2），設，，，，由得，即，則所以.把點的坐標代入雙曲線的方程得.所以，因為直線的斜率為，則直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，又，所以，由題意知，，所以，.設是雙曲線右支上一點，記雙曲線左右焦點分別為，，由雙曲線的性質(zhì)可得，，又，，所以，即雙曲線上的點到其焦點的距離的范圍是，由題意可得，，令，，任取，則顯然成立，所以在上單調(diào)遞增，因此，即.所以.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法：（1）函數(shù)法：用其他變量表示參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解；（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的范圍；（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式求參數(shù)的取值范圍；（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.25．在平面直角坐標系xOy中，設橢圓（）的左、右焦點分別為、，左頂點為A，上頂點為B，離心率為e．橢圓上一點C滿足：C在x軸上方，且⊥x軸．（1）如圖1，若OC∥AB，求e的值；（2）如圖2，連結(jié)并延長交橢圓于另一點D．若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)軸，設C，，再根據(jù)點C在橢圓上求得其坐標，然后再根據(jù)OC∥AB，由求解.（2）設，，由（1），，然后用表示D的坐標，代入橢圓方程求解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為2c．∵軸可設C，，因為，所以，解得，∴C∵OC∥AB，所以∴b=c∴.（2）設，，由（1）知：，，，，∵∴，所以，，∴又∵D在橢圓上∴，化簡得：又∵，∵，，則，解得：所以取值范圍是．【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率的常用方法：①直接求出a，c來求解e.通過已知條件列出方程組，解出a，c的值；②構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；③通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應用這些不等關(guān)系．四、填空題26．若點O和點F分別為雙曲線的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】設出點P，代入雙曲線方程求得y0的表達式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標表示出，進而求得的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則的取值范圍可得．【詳解】雙曲線方程為因為是已知雙曲線的左焦點，設點P（x0，y0），則有，解得，因為，，所以x0（x0+2），此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最小值，故的取值范圍是，故答案為：．27．設點，若在圓上存在點N，使得，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】過點作圓的切線，切點為，由此得到，再根據(jù)存在使得，得到長度滿足的不等式，即可求解出的取值范圍.【詳解】如圖所示：過作圓切線，切點為，由切線性質(zhì)可知：，又因為存在使得，所以，又因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查與圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，解題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍，考查學生的數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.28．已知為橢圓上的一點，過作直線交圓于，兩點，則的最大值是_______.【答案】3【分析】如圖，過作，垂足為，可知是中點，則可得，再由勾股定理可得出，由橢圓的有界性即可求出最值.【詳解】如圖，過作，垂足為，可知是中點，可得，中，，在中，，聯(lián)立可得，設，則（），，，則，即，故最大值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查橢圓和圓的綜合應用，屬于中檔題.29．已知過拋物線：的焦點的直線交拋物線于、兩點，若為線段的中點，為坐標原點，連接并延長，交拋物線于點，則的取值范圍為________．【答案】【分析】聯(lián)立，設，，，，，，，，求出，，再求出，，即得解.【詳解】拋物線的焦點，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得：，設，，，，，，，，則，則，，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得：，由，則，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的范圍問題的求解，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.五、雙空題30．（1）方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是_________．（2）設點A，B的坐標為，，點P是曲線C上任意一點，且直線PA與PB的斜率之積為，則曲線C的方程是____________．【答案】【分析】（1）根據(jù)橢圓的標準方程可得結(jié)果；（2）利用斜率公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因為方程即表示焦點在x軸上的橢圓，所以.（2）設，則，.故