浙江省紹興市諸暨中學(xué)暨陽分校高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

浙江省紹興市諸暨中學(xué)暨陽分校高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的離心率為，橢圓上一點P到兩焦點距離之和為12，則b=（）A．8 B．6 C．5 D．4參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由離心率公式和橢圓的定義，可得a=6，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得b．【解答】解：由題意可得e==，由橢圓上一點P到兩焦點距離之和為12，可得2a=12，即有a=6，c=2，b==4，故選：D．【點評】本題考查橢圓的離心率公式的運用，以及定義的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則，求出z的值，再判斷復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的位置．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則z====1﹣i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z（1，﹣1）位于第四象限．故選：D．3.方程2x=2﹣x的根所在區(qū)間是（）A．（﹣1，0） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）參考答案：D【考點】函數(shù)的零點．【分析】利用函數(shù)零點的判定定理即可判斷出．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣2，則f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上必有零點，①又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2xln2+1＞0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，至多有一個零點．②綜上①②可知：函數(shù)f（x）=2x+x﹣2在R有且只有一個零點x0，且x0∈（0，1）．即方程2x=2﹣x的根所在區(qū)間是（0，1）．故選D．【點評】熟練掌握函數(shù)零點的判定定理是解題的關(guān)鍵．4.設(shè)，若函數(shù)有大于零的極值點，則

(

)

(A)a>-3

(B)a<-3

(C)

(D)參考答案：D5.已知集合,,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：本題考查集合的補集、交集運算,考查運算求解能力.因為,,所以.6.已知，那么(

)A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】二倍角公式；誘導(dǎo)公式.

C6

C2

【答案解析】C

解析：因為，所以，即，故選C.【思路點撥】利用二倍角公式求得值，再用誘導(dǎo)公式求得sin2x值.7.已知命題p1：函數(shù)在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)在R上為減函數(shù)，則在命題和中，真命題是A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.直線，圓，直線與圓交于兩點，則等于

（

）A．2

B．3

C．4

D．參考答案：A9.若則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1參考答案：B略10.已知x，y滿足條件，若z=mx+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)m的值為（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直線的截距最大，z也最大．若m＞0，目標(biāo)函數(shù)y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線z=mx+y與直線x﹣y+1=0平行，此時m=﹣2，若m＜0，目標(biāo)函數(shù)y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線z=mx+y與直線x+y﹣2=0，平行，此時m=﹣1，綜上m=﹣2或m=1，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A.

B.

C.

D.參考答案：D12.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，D是AB邊上的一點，CD＝2，△BCD的面積為4，則AC的長為__________．參考答案：略13.已知和是定義在R上的兩個函數(shù)，則下列命題正確的是(A)關(guān)于x的方程恰有四個不相等實數(shù)根的充要條件是(B)關(guān)于x的方程恰有四個不相等實數(shù)根的充要條件是m∈[0，1](C)當(dāng)m=l時，對成立(D)若成立，則參考答案：D14.已知，則

．參考答案：由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，則sin2α+sin2α=.

15.2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：16.已知函數(shù)，若在區(qū)間(1,+∞)上函數(shù)f(x)的圖象恒在直線的圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】先把圖象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，即，然后利用導(dǎo)數(shù)求解最值可得.【詳解】設(shè)，由題意可知，在區(qū)間上恒成立；，當(dāng)時，，，所以為增函數(shù)，所以有，即；當(dāng)時，總存在，使得，即為減函數(shù)，不合題意；綜上可得.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，通常是轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，求解最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).17.已知A，B，C，D四點都在球O的球面上，若球O的表面積為16π，則三棱錐A一BCD的體積是________.參考答案：2【分析】由球的表面積求球的半徑，利用直角三角形計算AB長，可得AB恰為球的直徑，可得AD長，得到，推證平面,利用三棱錐的體積公式計算可得.【詳解】因為球的表面積為，所以球的半徑為，又，，，可得，故為球的直徑，所以，由勾股定理得，在三角形中，，所以，又，所以平面，又在三角形中，，所以，所以三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積是2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝＋6x的圖象關(guān)于y軸對稱．(1)求m、n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；（6分）(2)若a>0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．（6分）參考答案：(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分則g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，(2，＋∞)；………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分當(dāng)x變化時，，f(x)的變化情況如下表：

x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)…………9分由此可得：當(dāng)0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無極小值；當(dāng)a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值；當(dāng)1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；當(dāng)a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值．綜上得，當(dāng)0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值；當(dāng)1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時，f(x)無極值．………………12分

19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax．（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最大值；（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點情況；（3）設(shè)ak，bk，…（k=1，2，…，n）均為正數(shù)，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求證：…≤1．參考答案：考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷；不等式的證明．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，故fmax（x）=f（1）．（2）由y=f（x）=0可得lnx=ax，故函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)即為y=lnx與y=ax的交點的個數(shù)．結(jié)合圖象可得，當(dāng)a≤0或a=時，y=f（x）有1個零點；當(dāng)0＜a＜時，y=f（x）有2個零點；當(dāng)a＞時，y=f（x）沒有零點．（3）由（1）可得，當(dāng)x∈（0，+∞）時，lnx≤x﹣1，可得lnak＜ak﹣1，故bk?lnak＜bk（ak﹣1）=bk?ak﹣bk．可得ln+ln+…+ln＜a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn），再由已知條件證得…≤1成立．解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=﹣1，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0．故函數(shù)f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．故fmax（x）=f（1）=ln1﹣1=﹣1．（2）由y=f（x）=0可得lnx=ax，故函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)即為y=lnx與y=ax的交點的個數(shù)．結(jié)合圖象可得，當(dāng)a≤0時，f（x）的零點個數(shù)僅有一個．當(dāng)a＞0時，令f′（x）=﹣a=0，可得x=．由于當(dāng)x＞時，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＞0．故f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)．故fmax（x）=f（）=﹣lna﹣1．故當(dāng)﹣lna﹣1＞0時，即0＜a＜時，y=f（x）有2個零點；當(dāng)a=時，y=f（x）有1個零點；當(dāng)a＞時，y=f（x）沒有零點．綜上可得，當(dāng)a≤0或a=時，y=f（x）有1個零點；當(dāng)0＜a＜時，y=f（x）有2個零點；當(dāng)a＞時，y=f（x）沒有零點．（3）由（1）可得，當(dāng)x∈（0，+∞）時，lnx≤x﹣1．∵ak，bk都是正數(shù)，∴l(xiāng)nak＜ak﹣1，∴bk?lnak＜bk（ak﹣1）=bk?ak﹣bk．∴l(xiāng)n+ln+…+ln＜a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn）．又因為a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，∴l(xiāng)n+ln+…+ln≤0，即ln（?…）≤0，故…≤1．點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，屬于中檔題．20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線（為參數(shù)）相交于，兩點，求線段的長.參考答案：曲線的普通方程為.聯(lián)立解得或所以，，所以.21.拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．（Ⅰ）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；（Ⅱ）設(shè)點到直線的距離為，試問：

是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（I）拋物線的焦點，

………1分橢圓的左焦點，

………2分

則．

………3分（II）設(shè)直線，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說明直線過拋物線的焦點．

………7分由，得，,即．

………8分于是點到直線的距離.

………9分由，得，

………10分從而，