福建省南平市建甌小橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省南平市建甌小橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x-y的取值范圍是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

參考答案：B繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值.在點(diǎn)處取得最大值.本題選擇B選項(xiàng).

2.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為（

）A. B.C. D.參考答案：D略3.從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】等可能事件；排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【專題】壓軸題．【分析】從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A103﹣A92=648個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，分組以后，分類討論得到不能被3整除的數(shù)字個(gè)數(shù)．【解答】解：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除．所有的三位數(shù)有A103﹣A92=648個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有2A33=12個(gè)；②若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，共有A43﹣A32=18個(gè)；③若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有C31?C31?C31?A33=162個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有C31?C31?2?A22=36個(gè)，這樣能被3整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被3整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題分類有點(diǎn)麻煩，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以借助于組合數(shù)列舉出所有事件，概率問題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體，主要考查的是被三整除的數(shù)字特點(diǎn)．4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則圖中判斷框內(nèi)①處應(yīng)填（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（

）A． B． C． D．參考答案：B6.執(zhí)行如圖的程序框圖后，輸出的S=27，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分不必要條件是()A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β

D．m∥β且n∥l2參考答案：B略8.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝-2x上，則sin2θ＝()A．－

B．

C．－或

D．參考答案：A9.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.10.已知數(shù)列中，，，若利用如圖所示的程序框圖計(jì)算該數(shù)列的第10項(xiàng)的值，則判斷框內(nèi)的條件是A． B．

C．

D．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)且，則a=

．參考答案：3由題意得，當(dāng)時(shí)，令，解得（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得，適合題意，故.

12.在數(shù)學(xué)中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號(hào)“”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號(hào)“”表示．設(shè)．（1）若使f(x0)＝m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．

（2）若使得f(x1)＝g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（1）[3，＋∞)

（2）13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin－cos

=3，則Cl與C2交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

。參考答案：略14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則不等式的解集為

參考答案：略15.已知為的外心，.若,則＝

參考答案：3略16.已知向量，|b|=1.則函數(shù)的最大值為_______參考答案：284略17.設(shè)n是正整數(shù)，且滿足，則n=

．參考答案：213三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)前不久，省社科院發(fā)布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成為本年度城市最“幸福城”.隨后，某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩唬?）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）眾數(shù)：8.6；

中位數(shù)：8.75；……………2分（2）設(shè)表示所取3人中有個(gè)人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸福”記為事件，則；

…6分（3）的可能取值為0，1，2，3.

；；；……..……………..10分所以的分布列為：.

………..……….…12分另解：的可能取值為0，1，2，3.則，.所以=．

19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案：解：(1)，又，.，又為等比數(shù)列，公比q=，.(2)由（1）得，則，從而.所以：所以：.略20.（本小題滿分14分）如圖，長為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為的直線交軌跡于兩點(diǎn)．試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：

21.近年來，隨著我國汽車消費(fèi)水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車交易市場對(duì)2017年成交的二手車交易前的使用時(shí)間（以下簡稱“使用時(shí)間”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖1．附注：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，，．（Ⅰ）記“在2017年成交的二手車中隨機(jī)選取一輛，該車的使用年限在(8,16]”為事件A，試估計(jì)A的概率；（Ⅱ）根據(jù)該汽車交易市場的歷史資料，得到散點(diǎn)圖如圖2，其中x（單位：年）表示二手車的使用時(shí)間，y（單位：萬元）表示相應(yīng)的二手車的平均交易價(jià)格．由散點(diǎn)圖看出，可采用作為二手車平均交易價(jià)格y關(guān)于其使用年限x的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中，）：5.58.71.9301.479.75385

①根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；②該汽車交易市場對(duì)使用8年以內(nèi)（含8年）的二手車收取成交價(jià)格4%的傭金，對(duì)使用時(shí)間8年以上（不含8年）的二手車收取成交價(jià)格10%的傭金．在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值．若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計(jì)算該汽車交易市場對(duì)成交的每輛車收取的平均傭金．參考答案：（Ⅰ）0.40（Ⅱ）①，②0.29萬元【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖求得該汽車交易市場2017年成交的二手車使用時(shí)間在與的頻率，作和估計(jì)的概率；（Ⅱ）①由得，，即關(guān)于的線性回歸方程為

．分別求得與的值，則關(guān)于的線性回歸方程可求，進(jìn)一步得到關(guān)于的回歸方程；②根據(jù)①中求出的回歸方程和圖1，對(duì)成交的二手車在不同區(qū)間逐一預(yù)測(cè)，即可求得該汽車交易市場對(duì)于成交的每輛車可獲得的平均傭金．【詳解】解：（Ⅰ）由題得，二手車使用時(shí)間在的頻率為，在的頻率為，

∴；（Ⅱ）①由題得，，即關(guān)于的線性回歸方程為．∵，，∴關(guān)于的線性回歸方程為，即關(guān)于的回歸方程為；②根據(jù)①中的回歸方程和圖1，對(duì)成交的二手車可預(yù)測(cè)：使用時(shí)間在的平均成交價(jià)格為，對(duì)應(yīng)的頻率為0.2；使用時(shí)間在的平均成交價(jià)格為，對(duì)應(yīng)的頻率為0.36；使用時(shí)間在的平均成交價(jià)格為，對(duì)應(yīng)的頻率為0.28；使用時(shí)間在平均成交價(jià)格為，對(duì)應(yīng)的頻率為0.12；使用時(shí)間在的平均成交價(jià)格為，對(duì)應(yīng)的頻率為0.04．∴該汽車交易市場對(duì)于成交的每輛車可獲得的平均傭金為萬元．【點(diǎn)睛】本題考查回歸方程的求法，考查計(jì)算能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．22.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為(1)求a，b的值；(2)證明:.參考答案：（1）解：，由題意有，解得

┄┄┄┄┄┄4分（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)則只需證明，設(shè)則，在上單調(diào)遞增，，使得

┄┄┄┄┄┄7分且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

┄┄┄┄┄┄8分，由，得，，

┄┄┄┄┄┄10分

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，因此