第3講 函數(shù)的基本性質(zhì)

第3講函數(shù)的根本性質(zhì)一．要點(diǎn)精講1．奇偶性〔1〕定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，那么稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，那么稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，那么f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，那么f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，那么－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量〔即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱〕?！?〕利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，那么f(x)是偶函數(shù)；假設(shè)f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，那么f(x)是奇函數(shù)?！?〕簡單性質(zhì)：①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．單調(diào)性〔1〕定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)〔f(x1)>f(x2)〕，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)〔減函數(shù)〕；注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)〔2〕如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有〔嚴(yán)格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間?！?〕設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①假設(shè)u=g(x)在A上是增〔或減〕函數(shù)，y=f(u)在B上也是增〔或減〕函數(shù)，那么函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②假設(shè)u=g(x)在A上是增〔或減〕函數(shù)，而y=f(u)在B上是減〔或增〕函數(shù)，那么函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。〔4〕判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形〔通常是因式分解和配方〕；eq\o\ac(○,4)定號〔即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)〕；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論〔即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕?！?〕簡單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3．最值〔1〕定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)最大〔小〕首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函數(shù)最大〔小〕應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大〔小〕的，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M〔f(x)≥M〕?！?〕利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大〔小〕值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)〔配方法〕求函數(shù)的最大〔小〕值；eq\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大〔小〕值；eq\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大〔小〕值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減那么函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增那么函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4．周期性〔1〕定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，那么稱f(x)為周期函數(shù)；〔2〕性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作假設(shè)f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，那么稱它為f(x)的最小正周期；②假設(shè)周期函數(shù)f(x)的周期為T，那么f(ωx)〔ω≠0〕是周期函數(shù)，且周期為。二．典例解析題型一：判斷函數(shù)的奇偶性例1．討論下述函數(shù)的奇偶性：點(diǎn)評：判斷函數(shù)的奇偶性是比擬根本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，假設(shè)函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程〔要保證定義域不變〕。例2．設(shè)函數(shù)f〔x〕在〔－∞，+∞〕內(nèi)有定義，以下函數(shù)：①y=－|f〔x〕|；②y=xf〔x2〕；③y=－f〔－x〕；④y=f〔x〕－f〔－x〕。必為奇函數(shù)的有_____〔要求填寫正確答案的序號〕點(diǎn)評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。題型二：奇偶性的應(yīng)用例3．設(shè)f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，假設(shè)當(dāng)x≥0時，f〔x〕=log3〔1+x〕，那么f〔－2〕=_____。點(diǎn)評：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值。例4．定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表達(dá)式。點(diǎn)評：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5．設(shè)，是上的偶函數(shù)?！?〕求的值；〔2〕證明在上為增函數(shù)。例6．f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)=f(x)+，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。點(diǎn)評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比擬特殊的問題，其根本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．設(shè)函數(shù)f〔x〕＝〔a＞b＞0〕，求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間，并證明f〔x〕在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。點(diǎn)評：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的根本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例8．〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。點(diǎn)評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減〞的規(guī)那么。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例9．偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。題型六：最值問題例11．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f〔x〕=x2+|x－a|+1，x∈R?！?〕討論f〔x〕的奇偶性；〔2〕求f〔x〕的最小值。點(diǎn)評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的根本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助.因?yàn)閤∈R，f〔0〕=|a|+1≠0，由此排除f〔x〕是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時，f〔x〕是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對稱思想。題型七：周期問題例13．假設(shè)y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對稱，那么f(x)的一個周期為〔〕A．B．C．D．解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。同理，f(b+2x)=f(b－2x)，所以f(2b－2x)=f(2x)，所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。所以f(2x)的一個周期為2b－2a，故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項(xiàng)為D。點(diǎn)評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)那么處理即可。假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱〔a≠b〕，那么這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2〔b－a〕。例14．函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式。點(diǎn)評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。五．思維總結(jié)1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；3．假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含0，那么f(0)=0，因此，“f(