第一章　直角三角形的邊角關(guān)系

第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角之間關(guān)系,以及30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程,發(fā)展觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.2.理解銳角三角函數(shù)的意義,并能夠通過實例進(jìn)行說明.3.會求解含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的問題.4.能夠借助計算器由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,或由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角.5.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形,發(fā)展推理能力和運算能力.6.能夠解決與直角三角形有關(guān)的實際問題,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.7.體會數(shù)形之間的關(guān)系,逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題.1.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形,發(fā)展推理能力和運算能力.2.能夠解決與直角三角形有關(guān)的實際問題,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.3.通過探索學(xué)習(xí),使學(xué)生經(jīng)歷“觀察——分析——發(fā)現(xiàn)——運用”的過程,掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系,進(jìn)一步體會數(shù)形之間的聯(lián)系.1.通過對直角三角形中邊角之間關(guān)系的探究,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形中各個元素之間關(guān)系的興趣.2.能夠運用銳角三角函數(shù)解直角三角形,進(jìn)一步養(yǎng)成分析問題、解決問題的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.本章是在學(xué)習(xí)直角三角形的邊、角知識的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探究直角三角形的邊和角之間的關(guān)系.同時也是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)知識的延續(xù).直角三角形中邊角之間的關(guān)系在現(xiàn)實生活中應(yīng)用廣泛.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中,人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題,一般來說,這些實際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊和角之間關(guān)系的問題.通過直角三角形中邊角之間的關(guān)系的學(xué)習(xí),學(xué)生將進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系(邊和角之間的關(guān)系),把這種關(guān)系用數(shù)量的形式表示出來,是分析問題和解決問題過程中常用的方法.通過學(xué)習(xí)也將為其他數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ).通過研究圖形之中各個元素之間的關(guān)系,進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想,體會數(shù)形結(jié)合的方法.【重點】1.三角函數(shù)及其有關(guān)的概念.2.特殊角的三角函數(shù)值的探究及應(yīng)用.3.利用計算器求三角函數(shù)值或銳角的度數(shù).4.能夠用銳角三角函數(shù)解直角三角形.5.能夠運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單的實際問題.【難點】1.探索直角三角形中邊角之間關(guān)系和30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程.2.解決與直角三角形有關(guān)的實際問題.3.體會數(shù)、形之間的關(guān)系,掌握用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題.1.注重問題情境的創(chuàng)設(shè).在引入銳角三角函數(shù)時,要創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實際生活的情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.如通過梯子的情境問題,引出第一個三角函數(shù)——正切.對于這個問題,學(xué)生比較熟悉,而且屬于開放性問題,直觀上又容易判斷.又如,在學(xué)習(xí)特殊角的三角函數(shù)時,用學(xué)生熟悉的三角尺引入,使學(xué)生較快進(jìn)入30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的探索.2.鼓勵學(xué)生有條理地進(jìn)行思考和表達(dá).引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊角之間的關(guān)系,讓他們學(xué)會有條理地思考和表達(dá).例如,利用相似的直角三角形,如何獲得正切的概念?如何建立直角三角形中角和邊之間的關(guān)系?如何類比正切的概念獲得正弦和余弦的概念?3.重視滲透數(shù)學(xué)思想方法,促進(jìn)學(xué)生思維水平的提高.教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,引導(dǎo)學(xué)生逐步從對具體問題的研究中提煉出數(shù)學(xué)思想方法.在形成正切概念的過程中,教師要給學(xué)生留有充分的時間,讓學(xué)生利用前面學(xué)過的相似三角形的知識去探索對邊和鄰邊之比與角的大小的關(guān)系,進(jìn)而獲得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念時,可以類比正切概念獲得的過程,從數(shù)學(xué)的角度直接引入.這樣可以使學(xué)生從已學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)想,加深對概念的理解,提升學(xué)生的思想水平.在解直角三角形的過程中,要讓學(xué)生體會計算過程所依據(jù)的算理,以及如何根據(jù)已知條件去探求結(jié)論的思考過程.4.關(guān)注問題解決的教學(xué)過程.對于實際問題,首先要引導(dǎo)學(xué)生弄清實際問題的意義,然后逐步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,幫助學(xué)生形成模型思想.另外,教師要注意為學(xué)生的問題解決過程搭建“腳手架”:一是對一些術(shù)語(如仰角、俯角、坡度、零部件截面圖等)進(jìn)行說明;二是對解決問題的策略、問題的發(fā)現(xiàn)和提出等,都要提供一定的幫助與支持.5.精心設(shè)計實踐活動的教學(xué)流程.對于第6節(jié)“利用三角函數(shù)測高”這樣的實踐活動,建議首先將學(xué)生分組,各組分頭準(zhǔn)備測量所需的儀器;其次,由學(xué)生自己設(shè)計活動報告,教師給予必要的指導(dǎo);再次,盡量安排那些學(xué)生比較熟悉,且易于開展的小組活動,并能保證任務(wù)完成的質(zhì)量;最后,在活動期間,教師應(yīng)在現(xiàn)場觀察、指導(dǎo)各組的活動,同時應(yīng)做必要的記錄.6.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求,把握好三角函數(shù)的定位.教學(xué)中要把握好三角函數(shù)的定位.教科書上雖然稱“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)”,但實際上并沒有特別明確地從函數(shù)的角度研究它們,也就是說沒有研究隨著角的變化,其三角函數(shù)值的變化規(guī)律;而是研究當(dāng)銳角一定時,直角三角形中相應(yīng)邊的比值是什么.教學(xué)中要把握好這個定位,切莫提高要求.1銳角三角函數(shù)2課時230°,45°,60°角的三角函數(shù)值1課時3三角函數(shù)的計算1課時4解直角三角形1課時5三角函數(shù)的應(yīng)用1課時6利用三角函數(shù)測高1課時回顧與思考1課時1銳角三角函數(shù)1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角之間關(guān)系的過程.2.理解銳角三角函數(shù)(正切、正弦、余弦)的意義,并能夠舉例說明.3.能夠運用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中兩邊的比.4.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行簡單的計算.1.經(jīng)歷三個銳角三角函數(shù)的探索過程,確信三角函數(shù)的合理性,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.2.在探索銳角三角函數(shù)的過程中,初步體驗探索、討論、驗證對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性.1.通過銳角三角函數(shù)概念的建立,使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識過程.2.讓學(xué)生在探索、分析、論證、總結(jié)獲取新知識的過程中體驗成功的喜悅,從解決實際問題中感悟數(shù)學(xué)的實用性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【重點】1.理解銳角三角函數(shù)的意義.2.能利用三角函數(shù)解三角形的邊角關(guān)系.【難點】能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行簡單的計算.第課時1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比,表示生活中物體的傾斜程度、坡度等,能夠用正切進(jìn)行簡單的計算.3.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義,加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.1.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.2.體會解決問題的策略多樣性,發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神.1.積極參與數(shù)學(xué)活動,對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實事求是的態(tài)度以及獨立思考的習(xí)慣.【重點】1.從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義,加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.【難點】理解正切的意義,并用它來表示生活中物體的傾斜程度、坡度等.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】1.自制4個直角三角形紙板.2.復(fù)習(xí)直角三角形相似的判定和直角三角形的性質(zhì).導(dǎo)入一:課件出示:你知道圖中建筑物的名字嗎?是的,它就是意大利著名的比薩斜塔,是世界著名建筑奇觀,位于意大利托斯卡納省比薩城北面的奇跡廣場上,是奇跡廣場三大建筑之一,也是意大利著名的標(biāo)志之一,它從建成之日起便由于土層松軟而傾斜.【引入】應(yīng)該如何來描述它的傾斜程度呢?學(xué)完本節(jié)課的知識我們就能解決這個問題了.[設(shè)計意圖]創(chuàng)設(shè)新穎、有趣的問題情境,以比薩斜塔的傾斜程度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,從而自然引出課題,并且為學(xué)生探究梯子的傾斜程度埋下伏筆.導(dǎo)入二:課件出示:四個規(guī)模不同的滑梯A,B,C,D,它們的滑板長(平直的)分別為300cm,250cm,200cm,200cm;滑板與地面所成的角度分別為30°,45°,45°,60°.【問題】四個滑梯中哪個滑梯的高度最高?[設(shè)計意圖]利用學(xué)生所熟悉的滑梯進(jìn)行引導(dǎo),使學(xué)生有親切感,滑梯與課本中引用梯子比較類似,學(xué)生的探究思路會比較順暢.[過渡語]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”,那個梯子放的“平緩”,人們是如何判斷的呢?“陡”和“平緩”是用來描述梯子什么的?一、正切的定義(一)探究新知請同學(xué)們看下圖,并回答問題.探究一:問題1課件出示:在下圖中,梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?小組討論后展示結(jié)果:1組:梯子AB較陡.我們組是借助量角器量傾斜角,發(fā)現(xiàn)∠ABC>∠EFD,根據(jù)傾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB較陡.師:哪組還有不同的判定方法?2組:我們也是認(rèn)為梯子AB較陡.我們組是分別計算AC與BC的比,ED與FD的比,發(fā)現(xiàn)前者的比值大,根據(jù)鉛直高度與水平寬度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB較陡.3組:我們組的方法和1組的大致相同,借助傾斜角來判斷,不過不是測量,我們是過E作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比較∠ABC與∠EFD的大小了.4組:我們組發(fā)現(xiàn)這兩架梯子的高度相同,水平寬度越小,梯子就越陡,所以我們也認(rèn)為梯子AB較陡.探究二:問題2課件出示:在下圖中,梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?學(xué)生會類比問題1給出的四種判斷方法,只要說得合理即可.問題3課件出示:在下圖中,梯子AB和EF哪個更陡?你是怎么判斷的?多給學(xué)生思考和討論的時間.代表發(fā)言:AB和EF的傾斜度一樣.由于兩個直角三角形的兩直角邊的比值相等,再加上夾角相等,可以判定兩個直角三角形相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等,可以證明兩個傾斜角相等,所以AB和EF的傾斜度一樣.教師引導(dǎo):我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)直角三角形的兩直角邊的比值相等時,梯子的傾斜度一樣,請大家判斷一下在問題2與問題3中,兩直角邊的比值與傾斜度有什么關(guān)系?請繼續(xù)探究下面的問題.問題4課件出示:在下圖中,梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?教師引導(dǎo):我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度,即哪一個更陡,可能就比較困難了.能不能從上面的探究中得到什么啟示呢?生討論后得出:思路1:梯子EF較陡,因為∠EFD>∠ABC,根據(jù)傾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF較陡,因為EDFD>ACBC師生共同總結(jié):在日常的生活中,我們判斷哪個梯子更陡,應(yīng)該從梯子AB和EF的傾斜角大小,或垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.做一做:請通過計算說明梯子AB和EF哪一個更陡呢?生獨立解答,代表展示:∵ACBC=41.5=83,EDFD=3.∴梯子EF比梯子AB更陡.[設(shè)計意圖]通過探究逐層深入的問題,讓學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的探究過程,既對已學(xué)知識和生活經(jīng)驗進(jìn)行了回味和運用,也讓學(xué)生的思想逐步向本節(jié)課的中心“兩直角邊之比”靠近.[知識拓展]梯子的傾斜程度的判定方法:(1)梯子的傾斜程度和傾斜角有關(guān)系,傾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的傾斜程度和鉛直高度與水平寬度的比有關(guān)系,鉛直高度與水平寬度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知[過渡語]在日常生活中,我們判斷哪個梯子更陡,應(yīng)該從梯子AB和EF的傾斜角大小,或垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.可是小明和小亮在判斷梯子AB1的傾斜程度時發(fā)生了矛盾,我們來看一看.課件出示:【想一想】如圖所示,小明想通過測量B1C1及AC1,算出它們的比,來說明梯子的傾斜程度;而小亮則認(rèn)為,通過測量B2C2及AC2,算出它們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?生很容易得出兩個三角形相似.由生說明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)B1C1由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有B2C2(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么結(jié)論?生先獨立思考后分組討論.生得出結(jié)論:改變B2在梯子上的位置,鉛直高度與水平寬度的比始終相等.想一想:現(xiàn)在如果改變∠A的大小,∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎?生討論得出:∠A的大小改變,∠A的對邊與鄰邊的比值會改變.∠A的對邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系,而與它所在直角三角形的大小無關(guān).【總結(jié)提升】由于直角三角形中的銳角A確定以后,它的對邊與鄰邊的比也隨之確定,因此我們有如下定義:如圖所示,在Rt△ABC中,如果銳角A確定,那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定,這個比叫做∠A的正切(tangent),記作tanA,即tanA=∠A當(dāng)銳角A變化時,tanA的值也隨之變化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tanA與tanB有什么關(guān)系?生討論得出結(jié)論:tanA=1tanB【議一議】前面我們討論了梯子的傾斜程度,在課本圖1-3中,梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎?學(xué)生思考后,統(tǒng)一答案:tanA的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tanA的值越大)[設(shè)計意圖]此環(huán)節(jié)的設(shè)計是為了突出概念的形成過程,幫助學(xué)生理解概念.通過讓學(xué)生參與、動手操作,讓學(xué)生學(xué)會由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)的思想方法,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.[知識拓展]正切的注意事項:(1)tanA是一個完整的符號,它表示∠A的正切,記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”.(2)tanA沒有單位,它表示一個比值,即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比.(3)tanA不表示“tan”乘以“A”.(4)初中階段,我們只學(xué)習(xí)直角三角形中銳角的正切.(三)例題解析[過渡語]通過探究我們了解了正切的概念,下面就來進(jìn)行“實戰(zhàn)演習(xí)”,檢驗一下我們的理解能力.課件出示:(教材例1)如圖所示表示甲、乙兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?想一想:要判斷哪個自動扶梯比較陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比較甲、乙兩個自動扶梯哪一個陡,只需分別求出tanα,tanβ的值進(jìn)行比較大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求學(xué)生獨立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα=48=1乙梯中,tanβ=5132因為tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[設(shè)計意圖]通過對例題的解答讓學(xué)生初步學(xué)會運用“正切”這一數(shù)學(xué)工具判斷梯子的傾斜程度,同時規(guī)范學(xué)生的解題步驟,培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣.二、正切的應(yīng)用[過渡語]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛,例如,在建筑、工程技術(shù)中,經(jīng)常用正切描述山坡的坡度.課件出示:如圖所示,有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:i=tanα=60100=3結(jié)論:坡面與水平面的夾角(α)稱為坡角,坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度(或坡比),tanα=鉛直高度水平寬度,即坡度等于坡角的正切[設(shè)計意圖]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛,通過正切刻畫梯子的傾斜程度及坡度的數(shù)學(xué)意義,密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,使學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué),為生活服務(wù).[知識拓展]坡度與坡面的關(guān)系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定義:tanA=∠A(2)梯子的傾斜程度與tanA的關(guān)系(∠A和tanA之間的關(guān)系):tanA的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定義:i=tanα=鉛直高度水平寬度1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,則tanA等于 ()A.513 B.512 C.1213解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tanA=512.故選B2.如圖所示,將∠AOB放置在5×5的正方形網(wǎng)格中,則tan∠AOB的值是 ()A.23 B.C.21313 解析:認(rèn)真讀圖,在以∠AOB的O為頂點的直角三角形里求tan∠AOB的值,由圖可得tan∠AOB=32.故選B3.(中考)如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,則tanA的值是.

解析:tanA=BCAC=12.故填4.河堤橫斷面如圖所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶3(坡度是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),則AB的長是.

解析:在Rt△ABC中,BC=5,tanA=1∶3,∴AC=53,∴AB=52+(5第1課時(1)正切的定義:tanA=∠A(2)梯子的傾斜程度與tanA的關(guān)系(∠A和tanA之間的關(guān)系):tanA的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定義:i=tanα=鉛直高度水平寬度一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第4頁隨堂練習(xí)第1,2題.2.教材第4頁習(xí)題1.1第1,2題.【選做題】教材第4頁習(xí)題1.1第3,4題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,則tanA的值為 ()A.35 B.C.34 D.2.小明沿著坡度為1∶2的山坡向上走了1000m,則他升高了()A.500m 5m3m D.1000m3.已知斜坡的坡度為i=1∶5,如果這一斜坡的高度為2m,那么這一斜坡的水平距離為m.

【能力提升】4.如圖所示,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則∠ABC的正切值是 () B.2C.55 D.5.如圖所示,將以A為直角頂點的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得到△A'B'C',使點B'與C重合,連接A'B,則tan∠A'BC'的值為.

6.如圖所示,在銳角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面積為27cm2.求tanB的值.7.某商場為方便顧客使用購物車,準(zhǔn)備將滾動電梯的坡面坡度由1∶1.8改為1∶2.4(如圖所示).如果改動后電梯的坡面長為13m,求改動后電梯水平寬度增加部分BC的長.【拓展探究】8.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC邊上的中線,若AB=13,BC=10,試求tan∠DBC的值.【答案與解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tanA=BCAC=86=43.2.B(解析:設(shè)鉛直高度為xm,∵坡度為1∶2,∴水平寬度為2xm,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=2005.∴他升高了2005m.故選B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴斜坡的高度斜坡的水平距離=15.∴2斜坡的水平距離=15,∴斜坡的水平距離為=10m4.D(解析:如圖所示,連接AC,由勾股定理,得AC=2,AB=22,BC=10,∴△ABC為直角三角形,∴tanB=ACAB=12.故選D5.13(解析:如圖所示,過A'作A'D⊥BC',垂足為D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底邊上的中線,∴A'D=B'D=B'C'2.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'=A'DBD=6.解:如圖所示,過點A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴12×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH=AB2-AH2=1027.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(負(fù)值不合題意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改動后電梯水平寬度增加部分BC的長為3m.8.解:如圖所示,過點A,D分別作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分別為點H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH=132-52=12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D為AC中點,∴DF=12AH=6,∴BF=34BC=152,∴在Rt△本節(jié)課是三角函數(shù)部分的第一節(jié)概念教學(xué),教學(xué)內(nèi)容比較抽象,學(xué)生不易理解.為此結(jié)合初中學(xué)生身心發(fā)展的特點,運用實驗教學(xué)、直觀教學(xué),喚起和加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的體會和了解,并培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的觀察、思維能力,這是貫徹“從生動的直觀到抽象的思維,并從抽象的思維到實踐”的認(rèn)識規(guī)律,能使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程成為積極的、愉快的和富有想象的過程,使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不再是令人生畏的過程.概念教學(xué)由學(xué)生熟悉的實例入手,引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、動手、動腦、動口多種感官參與,并組織學(xué)生積極參與小組成員間合作交流.通過由特殊到一般、具體到抽象的探索過程,緊緊圍繞著函數(shù)概念,引出正切概念,再通過相應(yīng)的典型題組練習(xí)鞏固概念.并且在教學(xué)過程中,注重了階段性的反思小結(jié),使學(xué)生能夠及時總結(jié)知識和方法.本節(jié)課的開放性還不夠,探究梯子傾斜程度時,學(xué)生的一些奇思妙想沒有給予展示機(jī)會.第一個環(huán)節(jié)內(nèi)容設(shè)計多了一些,所以導(dǎo)致后面的教學(xué)處理上稍顯倉促.對第一個環(huán)節(jié)的處理力求更加簡潔,并大膽放手讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn),真正讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.隨堂練習(xí)(教材第4頁)1.解:能.tanC=BDCD=BD12AC=2.解:根據(jù)題意,得AB=200,BC=55,則AC=AB2-BC2=2002-5習(xí)題1.1(教材第4頁)1.解:∵BC=AB2-AC2=132-52=12,∴tanA2.解:∵tanA=BCAC=512,BC=3,∴AC=125BC4.tanA=1tan學(xué)生學(xué)習(xí)時首先通過情境題了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要任務(wù),做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想,通過三個探究活動逐步得出梯子的傾斜程度與tanA的關(guān)系(∠A和tanA之間的關(guān)系),在探究的過程中可以通過自主探究與合作交流的方式抓住重點,突破難點.學(xué)生在運用正切解決問題時,一定要注意其前提條件——在直角三角形中,找準(zhǔn)直角是解題的關(guān)鍵.而有些題目需要作輔助線構(gòu)造直角三角形,也可以通過角度的轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解,同時還要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.如圖所示,設(shè)計建造一條道路,路基的橫斷面為梯形ABCD,設(shè)路基高為h,兩側(cè)的坡角分別為α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=12,CD=10m.求路基底部AB的寬.〔解析〕如圖所示,過D,C分別作下底AB的垂線,垂足分別為E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根據(jù)h的長以及坡角的度數(shù)或坡比的值,求出AE,BF的長,進(jìn)而可求得AB的值.解:如圖所示,過D作DE⊥AB于E,過C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四邊形ABCD為梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四邊形DCFE為矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=12,CF=2m,∴BF=2CF=4(m)故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的寬為16m.[解題策略]此題主要考查了坡度問題的應(yīng)用,求坡度、坡角問題通常要轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題,必要時應(yīng)添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形.第課時1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正弦、余弦及三角函數(shù)的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.2.能夠用sinA,cosA表示直角三角形中直角邊與斜邊的比,能夠用正弦、余弦進(jìn)行簡單的計算.1.體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.2.體會數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的理念.1.在探究新知的過程中,培養(yǎng)與他人合作的意識.2.激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣,讓他們體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.【重點】1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義,并能舉例說明.2.能用sinA,cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行簡單的計算.【難點】類比正切,用函數(shù)思想理解正弦和余弦.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)tanA的定義以及利用tanA表示直角三角形兩邊比的方法.導(dǎo)入一:如圖所示,AC是旗桿AB的一根拉線,測得AB=6m,∠ACB=α,同學(xué)們,你能用α表示出拉線AC的長度嗎?【問題】邊AB和AC分別是∠ACB的什么邊?ABAC[設(shè)計意圖]通過與正切的對比,引出本節(jié)課要探究的問題,讓學(xué)生體會類比思想的重要性.導(dǎo)入二:課件出示:如圖所示,我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)了直角三角形中的一種邊與角之間的關(guān)系——正切.由正切定義我們知道正切是一個比值,并且得出了當(dāng)Rt△ABC中的一個銳角A確定時,其對邊與鄰邊的比值便隨之確定.【問題】此時,其他邊之間的比值也確定嗎?[設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)的正切后,開門見山,直入正題,讓學(xué)生的思維很快進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容.[過渡語]在直角三角形ABC中,除了兩條直角邊的比之外,還有沒有利用其他邊的比值來表示梯子AB的傾斜程度的情況呢?一、正弦、余弦、三角函數(shù)的定義問題1課件出示:如圖所示,在直角三角形中,除了兩直角邊的比值外還有其他邊之間的比值嗎?生觀察后思考得出:還可以用直角邊比斜邊或斜邊比直角邊.(這里學(xué)生可能會提到多種情況,只要學(xué)生回答的有道理就予以肯定和表揚)教師引導(dǎo):如果以∠A為例,總結(jié)一下共有幾種情況.【學(xué)生活動】同伴交流,總結(jié)歸納出兩種類型:對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比.【教師點評】在Rt△ABC中,如果銳角A確定,那么∠A的對邊與斜邊的比和鄰邊與斜邊的比也隨之確定.【師生活動】共同總結(jié):∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine),記作sinA,即sinA=∠A∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine),記作cosA,即cosA=∠A銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù).提示:當(dāng)銳角A變化時,相應(yīng)的正弦、余弦和正切值也隨之變化.[設(shè)計意圖]通過探究,引導(dǎo)學(xué)生類比正切的概念總結(jié)出正弦、余弦及三角函數(shù)的概念,為下面的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).二、sinA,cosA與梯子傾斜程度的關(guān)系[過渡語]通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系:tanA的值越大,梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA,cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系,是怎樣的關(guān)系?問題2【想一想】在教材圖1-3中,梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)系嗎?【教師活動】要求小組合作交流,統(tǒng)一答案.【學(xué)生活動】小組同學(xué)認(rèn)真思考,熱烈討論,積極總結(jié).思路一教師引導(dǎo)學(xué)生分析:如圖所示,AB=A1B1,在Rt△ABC中,sinA=BCAB,在Rt△A1B1C1中,sinA1=B∵AB=A1B1,∴BCAB<B1C1A1B1,即sinA<sinA1,∴梯子∴梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系.sinA的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.思路二學(xué)生互相交流,類比分析過程:cosA=ACAB,cosA1=A1C1A1B1.∵AB=A1B1,∴AC∴梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小,梯子越陡.【師生總結(jié)】梯子的傾斜程度與sinA,cosA的關(guān)系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.[設(shè)計意圖]此環(huán)節(jié)的設(shè)計是為了突出概念的形成過程,幫助學(xué)生理解概念.通過學(xué)生的參與、動手操作讓學(xué)生學(xué)會“由特殊到一般”“數(shù)形結(jié)合”的思想方法,提高分析問題和解決問題的能力.例題解析[過渡語]通過探究我們掌握了正弦、余弦的定義,下面就通過例題檢驗一下我們對新知的理解能力.課件出示:(教材例2)如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的長.【師生活動】生獨立解答,師巡視觀察學(xué)生解題的情況,隨時進(jìn)行指導(dǎo).解:在Rt△ABC中,∵sinA=BCAC,即BC200=0.6,∴BC=200×0.想一想:你還能求出cosA,sinC和cosC的值嗎?生認(rèn)真思考,獨立寫解題過程.代表展示:cosA=0.8,sinC=0.8,cosC=0.6.[設(shè)計意圖]例題的安排既對學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容加以鞏固,也讓學(xué)生體會嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲱}思路,并通過拓展得出直角三角形的三角函數(shù)之間的關(guān)系.[知識拓展]1.若∠A+∠B=90°,一個銳角的正弦等于它余角的余弦,sinA=cosB;一個銳角的余弦等于它余角的正弦,cosA=sinB.2.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系:(1)同一個角:①商的關(guān)系:tanA=sinAcosA;②平方關(guān)系:sin2A+cos2(2)互余兩角:若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB.三、三角函數(shù)的運用[過渡語]靈活運用三角函數(shù)能提高我們的解題效率.課件出示:【做一做】如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=1213,AC=10,AB等于多少?sinB【學(xué)生活動】要求學(xué)生獨立完成,代表展示解題過程.代表展示:解:在Rt△ABC中,∵cosA=ACAB=10AB=∴AB=10×1312=65∴sinB=ACAB=10656[設(shè)計意圖]在學(xué)習(xí)前邊知識的基礎(chǔ)上,鞏固運用正弦、余弦及正切表示直角三角形中兩邊的比,體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題,提高解決實際問題的能力.(1)三角函數(shù)的概念:正弦:sinA=∠A的對邊斜邊.余弦:cosA銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù).(2)梯子的傾斜度與三角函數(shù)之間的關(guān)系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.(3)銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系:(1)同一個角:①商的關(guān)系:tanA=sinAcosA;②平方關(guān)系:sin2A+cos2(2)互余兩角:若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=23,則BC的長為 (A.4 5C.181313 解析:∵cosB=23,∴CBAB=23.∵AB=6,∴CB=232.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosA=23,則tanB的值是 (A.255 B.55 C.3解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cosA=ACAB,tanB=ACBC,AC2+BC2=AB2.∵cosA=23,∴設(shè)AC=2x(x>0),則AB=3x,BC=5x,∴tanB=2x53.如圖所示,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,已知CD=2,AC=3,則sinB的值是.

解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sinB=ACAB=34.故填4.如圖所示,△ABC的頂點都在方格紙的格點上,則sinA=.

解析:過C作CD⊥AB交AB的延長線于點D,如圖所示,設(shè)小方格的邊長為1,在Rt△ACD中,AC=AD2+CD2=25,∴sinA=CD5.如圖所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足為點E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三個三角函數(shù)值.解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,∴sin∠BDE=sinA=35,cos∠BDE=cosA=45,tan∠BDE=tanA=第2課時1.三角函數(shù)的概念:(1)∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,即sinA=∠A的對邊斜邊.∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,即cosA=∠A的鄰邊斜邊.2.梯子的傾斜度與三角函數(shù)之間的關(guān)系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第6頁隨堂練習(xí)第1,2題.2.教材第6頁習(xí)題1.2第1,2,3,4題.【選做題】教材第7頁習(xí)題1.2第5題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則cosA的值是 ()A.34 B.C.35 D.2.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,則下列三角函數(shù)表示正確的是 ()A.sinA=1213 B.cosA=C.tanA=512 D.tanB=3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,則sinA=.

4.如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,P是第一象限內(nèi)的點,其坐標(biāo)是(3,m),且OP與x軸正半軸的夾角α的正切值是43,則sinα的值為【能力提升】5.如圖所示,已知△ABC的三個頂點均在格點上,則cosA的值為 ()A.33 B.C.233 6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=23,則AB邊的長是7.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=25,求BC的長和tanB的值8.如圖所示,在正方形ABCD中,M是AD的中點,BE=3AE.求sin∠ECM的值.【拓展探究】9.網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點都在網(wǎng)格的交點處,則sinA=.

【答案與解析】1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cosA=ACAB=45.故選D2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC=AB2-BC2=132-122=5.A,sinA=BCAB=1213,故本選項正確;B,cosA=ACAB=513,故本選項錯誤;C,tan3.45(解析:首先由勾股定理求得斜邊AC=5,然后由銳角三角函數(shù)的定義知sinA=∠A的對邊4.45(解析:如圖所示,過點P作PE⊥x軸于點E,則可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tanα=PEOE=43,解得m=4,則OP=PE2+5.D(解析:過B點作BD⊥AC,如圖所示,由勾股定理,得AB=12+32=10,AD=22+22=22,∴cosA=AD6.9(解析:∵BC=6,sinA=23,∴23=6AB,解得AB=9.7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=BC10=25,∴BC=4,根據(jù)勾股定理,得AC=AB2-BC2=221,則tan8.解:設(shè)AE=x(x>0),則BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE=(3x)2+(4x)2=5x,EM=x2+(2x)2=5x,CM=(2x)2+(4x9.35(解析:如圖所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=25,BC=22,AD=32,易知△ABC是等腰三角形,由面積相等可得12BC·AD=12AB·CE,∴CE=22×3225=655,∴sin∠CAE=上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)中的正切,所以這節(jié)課根據(jù)初中學(xué)生身心發(fā)展的特點,運用了類比教學(xué)法,想喚起和加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的體會和了解,并培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的觀察、思維能力,運用直觀教學(xué),能使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程成為積極的、愉快的和富有想象的過程,使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不再是令人生畏的過程.用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切,是本節(jié)課的一個難點.為了更好地突破難點,在教學(xué)時發(fā)動學(xué)生及時進(jìn)行討論,產(chǎn)生的效果較好.在探討梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系時,鼓勵學(xué)生利用類比tanA的方法進(jìn)行探究,可以比較直觀地得出結(jié)論,學(xué)生比較容易接受.課堂練習(xí)題及檢測題題量適中且有針對性,課后作業(yè)有分層,適合不同程度的同學(xué).在整個教學(xué)過程中,學(xué)生探究活動始終處于主導(dǎo)地位,培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考、合作探究及分析問題、解決問題的能力.在處理梯子的傾斜度與三角函數(shù)的關(guān)系的問題時,時間安排的不是很科學(xué),導(dǎo)致后面的例題以及做一做的處理稍顯倉促.在以后的教學(xué)中注意科學(xué)合理地安排課堂時間,并且大部分的知識讓學(xué)生利用類比tanA的方法進(jìn)行自主探究.隨堂練習(xí)(教材第6頁)1.解:過A點作AD⊥BC,垂足為D,BD=12BC=3,AD=AB2-BD2=52-32=4,∴sinB=ADAB=452.解:∵sinA=BCAB,∴AB=BCsinA=2045=25,則AC=AB2-BC2=252-202=15,∴△ABC的周長=AB習(xí)題1.2(教材第6頁)1.解:∵x=92-3652=91-1625=275,∴sinα=cosβ=x9=35,cosα=sinβ=3659=42.提示:傾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;傾斜角的余弦值越小,梯子越陡.3.解:如圖所示,∵sinA=BCAB,cosB=BCAB,∴sinA4.解:如圖所示,∵CD是AB邊上的中線,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC=AB2-BC2=6,∴sinA=BCAB=810=45.過點D作DE⊥AC于E,∵sinA=DEAD,∴DE=5sinA=4,∴AE=AD2-DE2=3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD=5.解:當(dāng)∠BAC>90°時,CD=10,sinC=22929.當(dāng)∠BAC<90°時,CD=16,sinC=本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生可以類比上節(jié)課所學(xué)的正切的探究方法對正弦、余弦的知識進(jìn)行探究.在探究的過程中要及時進(jìn)行總結(jié),得出直角三角形中的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系,這也是本節(jié)課的難點,其突破方法就是在自主探究和合作交流的過程中尋求它們之間的聯(lián)系,而熟練運用三角函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的計算是對所學(xué)知識的鞏固提高.當(dāng)然和上節(jié)課一樣,在探究的過程中數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的運用可以使問題得以簡化.容易混淆sin和cos的概念.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,則cosA的值是.

【錯解】2【錯解分析】容易把sinA和cosA的概念顛倒而得出相反的結(jié)論.【正解】5【正解分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC=9-4=5,∴cosA=ACAB230°,45°,60°角的三角函數(shù)值1.經(jīng)歷探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程,能夠進(jìn)行有關(guān)推理,進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.2.能夠進(jìn)行含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.3.能夠根據(jù)30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,說出相應(yīng)的銳角的大小.通過交流探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.通過數(shù)學(xué)活動,產(chǎn)生好奇心.培養(yǎng)學(xué)生獨立思考問題的習(xí)慣,鍛煉克服困難的意志,建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.【重點】探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,能夠進(jìn)行含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計算.【難點】進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)用三角板一副和多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】1.一副三角板.2.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的概念.導(dǎo)入一:課件出示:同學(xué)們,老師用我們常用的三角板拼成一棵松樹,你從圖片中發(fā)現(xiàn)了哪些銳角呢?生很容易得出:30°角,45°角,60°角.【引入】前面我們已經(jīng)學(xué)會了用銳角三角函數(shù)表示直角三角形的邊角關(guān)系,這節(jié)課我們將利用我們常用的三角板的兩個特殊的三角形探討30°,45°,60°角的三角函數(shù)值.[設(shè)計意圖]利用三角板組成的松樹圖形創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角板中的特殊銳角,使他們對本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)一目了然.導(dǎo)入二:課件出示:動手做一做:請測量出你們手中的三角板中30°角的對邊和斜邊的長度.【問題】1.你能利用你測量的邊長求出sin30°的值嗎?cos30°和tan30°呢?2.類比上面的做法,你們能得出45°角和60°角的三角函數(shù)值嗎?[設(shè)計意圖]通過動手操作,既引入了課題,又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的探究方法,一舉兩得.[過渡語]三角板我們經(jīng)常用,但是你們知道這兩個三角板的邊和角之間存在什么樣特殊的關(guān)系嗎?探究活動(一)30°角的三角函數(shù)值課件出示:一副三角板圖片有關(guān)這副三角板的邊角關(guān)系的知識,你已經(jīng)了解哪些?生回憶后得出結(jié)論:(1)直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半;(2)45°角所在的直角三角形的兩直角邊相等.師出示:除了利用測量的方法外,你能利用上面的性質(zhì)得出sin30°等于多少嗎?你是怎樣得到的?生很容易得出:sin30°=12【教師強(qiáng)調(diào)】sin30°表示在直角三角形中,30°角的對邊與斜邊的比值,與直角三角形的大小無關(guān).【師生活動】我們不妨設(shè)30°角所對的邊為a(如圖所示),根據(jù)“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”的性質(zhì),可得斜邊等于2a,所以sin30°=a2a=【思考】類似地,你能計算出cos30°等于多少嗎?tan30°呢?學(xué)生思考后,獨立解答,代表展示:根據(jù)勾股定理得較長的直角邊長為3a,所以cos30°=3a2a=32,tan30°=a3[設(shè)計意圖]因為三角板是學(xué)生非常熟悉的學(xué)習(xí)用具,所以學(xué)生在探究30°角的三角函數(shù)值時就會有一種親切感,為60°角和45°角的三角函數(shù)值的探究做好準(zhǔn)備.探究活動(二)45°,60°角的三角函數(shù)值[過渡語]類比30°角的三角函數(shù)值,我們同樣可以得出45°,60°角的三角函數(shù)值.課件出示:【做一做】(1)60°角的三角函數(shù)值分別是多少?你是怎樣得到的?【學(xué)生活動】生先獨立思考,然后小組交流.代表發(fā)言:求60°角的三角函數(shù)值可以利用求30°角三角函數(shù)值的三角形.因為30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊.所以很容易求得:sin60°=3a2a=32,cos60°=a2a=(2)45°角的三角函數(shù)值分別是多少?你是怎樣得到的?【學(xué)生活動】生稍加思考,代表板演:如圖所示,設(shè)其中一條直角邊為a,則另一條直角邊也為a,根據(jù)勾股定理可得斜邊為2a.由此可求得:sin45°=a2a=12=22,cos45°=a2a=1(3)完成下表.【學(xué)生活動】學(xué)生獨立完成上表,可能會有學(xué)生出現(xiàn)三角函數(shù)值混淆的情況.【教師強(qiáng)調(diào)】這個表格中的30°,45°,60°角的三角函數(shù)值需熟記,另一方面,要能夠根據(jù)30°,45°,60°角的三角函數(shù)值說出相應(yīng)的銳角的大小.為了幫助大家記憶,我們來一起觀察總結(jié)表格中三角函數(shù)值的特點.①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?生觀察后發(fā)現(xiàn):30°,45°,60°角的正弦值分母都為2,分子從小到大分別為1,2,3,隨著角度的增大,正弦值在逐漸增大.②再來看第二列函數(shù)值,有什么特點呢?生觀察后發(fā)現(xiàn):第二列是30°,45°,60°角的余弦值,它們的分母也都是2,分子從大到小分別為3,2,1,余弦值隨角度的增大而減小.③第三列呢?生觀察后發(fā)現(xiàn):第三列是30°,45°,60°角的正切值,函數(shù)值依次擴(kuò)大3倍,并且隨著角度的增大,正切值在逐漸增大.【教師點撥】第三列的函數(shù)值可以變?yōu)?3,93,273.所以第三列的規(guī)律可以總結(jié)為它們的分母都是3,而分子從小到大分別為3,9由于30°,45°,60°三個特殊角的三角函數(shù)值的分母都可以變化成一樣的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角的三角函數(shù)值可以利用口訣“一二三,三二一,三九二十七”進(jìn)行記憶.[設(shè)計意圖]運用三角函數(shù)之間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出了9個特殊值,并利用口訣記憶三個特殊角的三角函數(shù)值,幫助學(xué)生把枯燥無味的記憶變得生動有趣,節(jié)約了學(xué)生的時間.(三)例題解析[過渡語]通過探究我們已經(jīng)掌握了特殊角的三角函數(shù)值,下面我們就利用這些特殊角的三角函數(shù)值解決一些相關(guān)的問題,以檢驗我們對新知的理解能力.課件出示:計算:(1)sin30°+cos45°;(2)sin260°+cos260°-tan45°.【教師提示】sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2?！緦W(xué)生活動】生獨立解答,兩名學(xué)生板演,展示解題步驟:解:(1)sin30°+cos45°=12+22=(2)sin260°+cos260°-tan45°=34+14[設(shè)計意圖]通過不同類型題目的練習(xí),幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值,讓學(xué)生能更加熟練地進(jìn)行三角函數(shù)值的計算.[知識拓展]計算含三角函數(shù)值的代數(shù)式的步驟:(1)求出特殊角的三角函數(shù)值;(2)根據(jù)實數(shù)的運算順序進(jìn)行計算.如圖(1)所示,一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為60°,且兩邊的擺動角相同,求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結(jié)果精確到0.01m).〔解析〕讓學(xué)生探討解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵,并結(jié)合圖形說出題目的已知條件和未知條件.【學(xué)生活動】學(xué)生以搶答的形式回答:解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,如圖(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,∠BOD=60°,OA⊥BD,求AC的長.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此題的關(guān)鍵.【師生活動】要求學(xué)生先獨立解答,有困難的和同伴交流或向老師求助.代表展示,師出示解題步驟:解:如圖(2)所示,根據(jù)題意可知:∠AOD=12×60°=30°,OD=2.∴OC=OD·cos30°=2.5×32≈2.∴AC≈2.5-2.165≈0.34(m).∴最高位置與最低位置的高度差約為0.34m.[設(shè)計意圖]通過對實際問題的解決,進(jìn)一步幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值,并培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.1.30°,45°,60°三個特殊銳角的三角函數(shù)值.2.運用30°,45°,60°角的三角函數(shù)值進(jìn)行相關(guān)的計算.1.計算6tan45°-2cos60°的結(jié)果是 ()3 3 解析:原式=6×1-2×12=5.故選D2.式子2cos30°-tan45°-(1-tan60°)3-2 3 解析:原式=2×32-1-(3-1)=3-1-3+1=0.故選B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,現(xiàn)給出下列結(jié)論:①sinA=32;②cosB=1③tanA=33;④tanB=3.其中正確的結(jié)論是.解析:如圖所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sinA=BCAB=12,故①錯誤;∵sinA=12,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cosB=12,故②正確;∵∠A=30°,∴tanA=tan30°=33,故③正確;∵∠B=60°,∴tanB=tan60°=4.如圖(1)所示,以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,與射線OM交于點A,再以A為圓心,AO長為半徑畫弧,兩弧交于點B,畫射線OB,則cos∠AOB的值等于.

解析:如圖(2)所示,連接AB,由畫出圖形的過程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB為等邊三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos60°=12.故填15.如圖所示,小明在公園里放風(fēng)箏,拿風(fēng)箏線的手B離地面的高度AB為1.5m,風(fēng)箏飛到C處時的線長BC為30m,這時測得∠CBD=60°,求此時風(fēng)箏離地面的高度.(結(jié)果精確到0.1m,3≈1.73)解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD=CDBC∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin60°=153≈25.95(m).∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m).答:此時風(fēng)箏離地面的高度約是27.5m.230°,45°,60°角的三角函數(shù)值30°,45°,60°角的三角函數(shù)值一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第9頁隨堂練習(xí)第1,2題.2.教材第10頁習(xí)題1.3第1~4題.【選做題】教材第10頁習(xí)題1.3第5,6題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.(中考)計算cos245°+sin245°等于 ()A.12 C.14 D.2.如果在△ABC中,sinA=cosB=22,那么下列最確切的結(jié)論是 (A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是銳角三角形3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,若sinA=32,cosB=12,則∠C=4.已知α,β均為銳角,且滿足sinα-12+(tanβ-1)2=0,則α+【能力提升】5.點(-sin60°,cos60°)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是 ()A.32,1C.32,-16.如圖所示,在正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都是格點,則cos∠BAC=.

7.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC于點D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的長.8.如圖所示,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟樓底部的俯角為60°,熱氣球A處與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高(3≈1.732,結(jié)果保留到小數(shù)點后一位)?【拓展探究】9.如圖所示,等邊三角形ABC中,D,E分別為邊AB,BC上的點,AD=BE,AE與CD交于點F,AG⊥CD于點G,求AGAF的值【答案與解析】1.B(解析:∵cos45°=sin45°=22,∴cos245°+sin245°=222+222=12+2.C(解析:∵sinA=cosB=22,∴∠A=∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.故選C.3.60°(解析:∵在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,sinA=32,cosB=12,∴∠A=∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.故填60°4.75°(解析:∵sinα-12+(tanβ-1)2=0,∴sinα=12,tanβ=1,∴α=30°,β=45°,則α+β5.A(解析:∵sin60°=32,cos60°=12,∴(-sin60°,cos60°)=-32,12,易知點(-sin60°,cos60°)關(guān)于6.22(解析:由勾股定理得AB=BC=12+22=5,AC=12+32=10,易知AB2+BC2=5+5=10=AC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴∠BAC7.解:∵AD⊥BC于點D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,∴AD=12AB=4,BD=3AD=43.在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=43+48.解:過A作AD⊥BC,垂足為D.在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120m,∴BD=AD·tan30°=120×33=403(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120m,∴CD=AD·tan60°=120×3=1203(m),∴BC=403+1203≈277.12≈277.1(m).答:這棟樓高約為277.1m9.解:在△CAD與△ABE中,AC=AB,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE,∴△CAD≌△ABE.∴∠ACD=∠BAE.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠ACD+∠CAE=60°.∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°.∴易知在直角三角形AFG中,sin∠AFG=sin60°=AGAF,∴AGAF=由于本節(jié)課的知識點比較單一,就是掌握并運用30°,45°,60°角的三角函數(shù)值解決相關(guān)問題,所以讓學(xué)生通過自主探究基本上可以掌握所學(xué)的知識點.通過引導(dǎo)學(xué)生利用“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”“45°角所在的直角三角形的兩直角邊相等”的性質(zhì)以及勾股定理探究三個特殊角的三角函數(shù)值,并利用口訣法幫助記憶,使學(xué)生感覺在輕松愉快的學(xué)習(xí)氣氛中熟記了9個三角函數(shù)值.接下來的例1由于學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了三個特殊角的三角函數(shù)值,所以學(xué)生只要掌握運算順序,圓滿完成任務(wù)就是水到渠成的事情了.對于例2的教學(xué),要讓學(xué)生把握實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵:把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生在圖中找出對應(yīng)的已知條件和所求條件,這是解決問題的前提條件.沒有絕對從學(xué)生的角度去考慮設(shè)計,會有一點美中不足的感覺,有待改善.關(guān)于例2的教學(xué)想做以下嘗試:題目出示之后,讓學(xué)生獨立完成畫圖,這樣可以使學(xué)生的印象更加深刻.但是這樣就加大了題目的難度,可能會讓部分學(xué)生感覺很吃力,所以可以根據(jù)學(xué)生的程度進(jìn)行選擇.隨堂練習(xí)(教材第9頁)1.解:(1)3-22.(2)1+232.解:扶梯的長度為7sin30°=7習(xí)題1.3(教材第10頁)1.解:(1)原式=1-12=12.(2)原式=12+22-33=3+32-236.(3)原式=6×332-2.解:在Rt△ABC中,∵∠BCA=60°,tan∠BCA=ABBC,∴BC=ABtan∠BCA=12tan60°=3.解:∵∠ASB=120°,∴∠ASO=12∠ASB=60°.∵AB=54,∴AO=27.在Rt△ASO中,tan60°=AOSO,∴SO=AOtan604.樹高約4.6m.[提示:樹高=5tan30°+1.75≈4.6(m).]5.最多蓄水2400m3.[提示:水渠蓄水量=12×[1.2+(0.8+1.2+0.8)]×0.8×1500=2400(m3).6.至少有13個臺階.[提示:BD=AD=1.5m,CE=12BC=12AB=324m,本節(jié)課的知識比較簡單,學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)完全可以領(lǐng)會,重點是對30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的探究,學(xué)生可以利用學(xué)過的直角三角形的邊和角之間的關(guān)系再結(jié)合勾股定理進(jìn)行探究.而三個特殊角的9個三角函數(shù)值的記憶是本節(jié)課的難點,要突破這一難點,學(xué)生可以采用適合自己的方法進(jìn)行記憶,如:口訣記憶法、形象記憶法等.而最好的記憶方法是通過大量的練習(xí)題進(jìn)行鞏固,這樣的記憶更加深刻.在△ABC中,若cosA-12+(1-tanB)2=0,則∠C的度數(shù)是 A.45° B.60°C.75° D.105°解析:由題意,得cosA=12,tanB=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.故選C[解題策略]此題考查了特殊角的三角函數(shù)值及絕對值、偶次方的非負(fù)性,屬于基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是熟記一些特殊角的三角函數(shù)值,也要注意運用三角形的內(nèi)角和定理.混淆特殊角的三角函數(shù)值在△ABC中,若∠A,∠B滿足cosA-12+sinB-【錯解】90°【錯解分析】往往會因為對特殊角的三角函數(shù)值記憶不牢固,而出現(xiàn)由cosA=12得到∠A=30°的錯誤結(jié)論【正解】60°【正解分析】根據(jù)絕對值及偶次方的非負(fù)性,可得cosA=12,sinB=32,∴∠A=60°,∠B=60°.∴∠C3三角函數(shù)的計算1.經(jīng)歷用計算器由已知銳角求三角函數(shù)值及由三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角的過程,進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.2.能夠運用計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算.3.能夠運用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.1.借助計算器,解決含三角函數(shù)的實際問題,提高用現(xiàn)代工具解決實際問題的能力.2.發(fā)現(xiàn)實際問題中的邊角關(guān)系,提高學(xué)生有條理地思考和表達(dá)的能力.1.通過積極參與數(shù)學(xué)活動,體會解決問題后的快樂.2.感悟計算器的計算功能和三角函數(shù)的應(yīng)用價值.【重點】1.用計算器由已知銳角求三角函數(shù)值.2.能夠用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.【難點】用計算器輔助解決含三角函數(shù)計算的實際問題.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】1.科學(xué)計算器.2.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的計算方法.導(dǎo)入一:同學(xué)們小的時候都玩過蹺蹺板吧?如圖所示,蹺蹺板AB的一端B碰到地面時,AB與地面的夾角為15°,且OA=OB=3m.你能求出此時另一端A離地面的高度嗎?【問題】要求A離地面的高度,實際上就是求直角三角形的直角邊,所以只要求出sinB的值即可,但是15°不是特殊角怎么辦呢?可以使用計算器進(jìn)行解決.[設(shè)計意圖]用多媒體演示學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活中的問題,進(jìn)而引出非特殊角的三角函數(shù)值,自然地引出本節(jié)課的課題.導(dǎo)入二:如圖所示,已知一商場自動扶梯的長l為13m,高度h為5m,自動扶梯與地面所成的夾角為θ,你能求出夾角θ的度數(shù)嗎?【教師活動】要求學(xué)生注意觀察夾角θ,l,h三者之間的關(guān)系,確定夾角θ的三角函數(shù).【學(xué)生活動】通過觀察發(fā)現(xiàn)sinθ=hl=513,由于513不是特殊角的三角函數(shù)值,嘗試使用科學(xué)計算器求夾角[設(shè)計意圖]通過對非特殊角的三角函數(shù)值的分析,讓學(xué)生初步感知非特殊角的三角函數(shù)的計算方法——使用科學(xué)計算器,在引出課題的同時,又引導(dǎo)學(xué)生初步掌握了利用三角函數(shù)值求角度的方法.[過渡語]日常生活中我們經(jīng)常會遇到含有角度的運算,并且有些角度并非我們上節(jié)課所學(xué)的30°,45°,60°角等特殊角,對于非特殊角我們?nèi)绾吻蟪鏊鼈兊娜呛瘮?shù)值呢?一、用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)值課件出示:如圖所示,當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點A到達(dá)點B時,它走過了200m.已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為∠α=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少?(結(jié)果精確到0.01m)教師引導(dǎo)學(xué)生回答:1.纜車垂直上升的距離是線段.

2.本題的已知條件是,需要求出的條件是.

3.這三個量之間的關(guān)系是.

學(xué)生思考并反饋:1.纜車垂直上升的距離是線段BC.2.已知條件是∠α=16°,AB=200m,需要求出的是線段BC的長.3.這三個量之間的關(guān)系為sinα=BCAB根據(jù)學(xué)生分析,師課件出示解題過程:解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,根據(jù)正弦的定義,得sin16°=BCAB=BC∴BC=ABsin16°=200·sin16°.想一想:200·sin16°中的“sin16°”是多少呢?我們需借助于科學(xué)計算器求出這個銳角的三角函數(shù)值,怎樣用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值呢?用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值時,需要用到sin,cos鍵和tan鍵.【教師活動】例如,求sin16°,cos72°38'25″,tan85°的按鍵順序如下表所示.(課件演示操作步驟)【學(xué)生活動】同學(xué)們用自己的計算器按上述按鍵順序計算sin16°,cos72°38'25″,tan85°.看顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.【教師強(qiáng)調(diào)】1.不同的計算器按鍵方式可能不同,所以同學(xué)們可以利用自己所使用的計算器探索計算三角函數(shù)值的具體步驟,也可以和其他同學(xué)互相交流其他計算器計算三角函數(shù)值的方法.2.用計算器求三角函數(shù)值時,計算結(jié)果一般精確到萬分位.【做一做】下面就請同學(xué)們利用計算器求出本節(jié)剛開始提出的問題.生得出:BC=200sin16°≈55.12(m).[設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生利用計算器求三角函數(shù)值的具體步驟,并注意在使用計算器求值的過程中出現(xiàn)的問題.[知識拓展]用計算器求三角函數(shù)值的按鍵順序:第一步:按相應(yīng)的三角函數(shù)鍵,即按下“sin,cos或tan”鍵;第二步:按下角度;第三步:按“=”鍵得到相應(yīng)的三角函數(shù)值.二、用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)值的運用[過渡語]看來同學(xué)們已經(jīng)能熟練地用計算器計算一個銳角的三角函數(shù)值了.下面我們運用計算器輔助解決一個含有三角函數(shù)值計算的實際問題.課件出示:【議一議】在本節(jié)一開始的問題中,當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點B到達(dá)點D時,它又走過了200m,纜車由點B到點D的行駛路線與水平面的夾角為∠β=42°,由此你還能算出什么?【教師活動】留出時間和空間讓學(xué)生思考問題如何解決,不要代替學(xué)生思考,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.【學(xué)生活動】生獨立思考后,小組交流,代表發(fā)言:思路一纜車從A→B→D上升的垂直高度:在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,所以纜車上升的垂直高度DE=BDsin42°=200sin42°≈133.83(m),所以纜車從A→B→D上升的垂直高度為BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).思路二纜車從A→B→D移動的水平距離:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,AC=ABcos16°≈192.25(m).在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,BE=BD·cos42°≈148.63(m).所以纜車從A→B→D水平移動的距離為AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).[設(shè)計意圖]讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)角度提出問題、分析問題,并能綜合運用所學(xué)知識解決問題,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識,讓學(xué)生進(jìn)一步體會在實際問題中用計算器求銳角三角函數(shù)值的過程.三、利用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)[過渡語]同學(xué)們已經(jīng)掌握了用計算器計算一個銳角的三角函數(shù)值.如果知道了一個角的三角函數(shù)值,那么我們?nèi)绾芜\用計算器求出這個角度呢?【想一想】為了方便行人推自行車過天橋,市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長的斜道(如圖所示).這條斜道的傾斜角是多少?【教師活動】由已知條件如何求出傾斜角∠A的度數(shù)?【學(xué)生活動】生思考后,展示:解:如圖所示,在Rt△ABC中,BC=10m,AC=40m,∴sinA=BCAC=1040=【議一議】我們知道,給定一個銳角的度數(shù),這個銳角的三角函數(shù)值都唯一確定.給定一個銳角的三角函數(shù)值,這個銳角的大小也唯一確定嗎?為什么?【教師總結(jié)】我們曾學(xué)習(xí)過兩個直角三角形的判定定理——HL定理.在上圖中,斜邊AC和直角邊BC是定值,根據(jù)HL定理可知這樣的直角三角形形狀和大小是唯一確定的,當(dāng)然∠A的大小也是唯一確定的.【教師點撥】和第一部分探究活動一樣,如果已知三角函數(shù)值我們同樣可以利用計算器求角度.【師生活動】探究學(xué)習(xí)用科學(xué)計算器根據(jù)已知銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的大小的方法.已知三角函數(shù)值求角度,要用到sin,cos,tan鍵的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和2ndf鍵.例如,已知sinA,cosB,tanC,求∠A,∠B,∠C的度數(shù)的按鍵順序如下表所示.學(xué)生根據(jù)課本和說明書,自己探究計算器的操作方法:給學(xué)生充分交流的時間和空間,及時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己使用的計算器,探索具體操作步驟.學(xué)生按照教師展示的按鍵順序,進(jìn)行練習(xí).【教師強(qiáng)調(diào)】1.顯示結(jié)果是以“度”為單位的.再按°'″鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果.2.以后在用計算器求角度時如果沒有特別說明,計算結(jié)果精確到1″即可.【做一做】你能求出上圖中∠A的大小嗎?【學(xué)生展示】sinA=14=0.25.按鍵順序為:2ndfsin0·25=,顯示結(jié)果為sin-10.25=14.47751219,再按°'″鍵可顯示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39[設(shè)計意圖]相信學(xué)生完全可以通過自學(xué)、互助,求出銳角的度數(shù),可由學(xué)生講解調(diào)動其主動性,尤其讓那些動手能力強(qiáng)的來做這項工作.然后再總結(jié)利用計算器由三角函數(shù)值求角度的按鍵順序,讓學(xué)生學(xué)會及時總結(jié)規(guī)律,為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與應(yīng)用做好基礎(chǔ).[知識拓展]用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求角度的按鍵順序:第一步:按2ndf鍵;第二步:按相應(yīng)的三角函數(shù)鍵,即按下“sin,cos或tan”鍵;第三步:按已知的三角函數(shù)值;第四步:按“=”鍵得到相應(yīng)角度;第五步:按°'″鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果.1.運用計算器求銳角的三角函數(shù)值及根據(jù)三角函數(shù)值求角度的方法.2.運用三角函數(shù)解決實際問題的方法.1.四位學(xué)生用計算器求sin62°20'的值正確的是(小數(shù)點后保留四位) ().8857 .8856.8852 .8851解析:根據(jù)科學(xué)計算器給出的結(jié)果進(jìn)行判斷,sin62°20'≈0.8857.故選A.2.在“測量旗桿的高度”的數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)中,某學(xué)習(xí)小組測得太陽光線與水平面的夾角為27°,此時旗桿在水平地面上的影子的長度為24m,則旗桿的高度約為 ()A.24m B.20mC.16m D.12m解析:如圖所示,∵AB⊥BC,BC=24m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan27°,把BC=24,tan27°≈0.51代入,得AB≈24×0.51≈12(m).故選D.3.利用計算器求下列各角(精確到1').(1)sinA=0.75,求∠A;(2)cosB=0.8889,求∠B;(3)tanC=45.43,求∠C;解:(1)∵sinA=0.75,∴∠A≈48°35'.(2)∵cosB=0.8889,∴∠B≈27°16'.(3)∵tanC=45.43,∴∠C≈88°44'.4.有人說,數(shù)學(xué)家就是不用爬樹或者把樹砍倒就能夠知道樹高的人.小敏想知道校園內(nèi)一棵大樹的高,如圖所示,她測得BC=10m,∠ACB=50°,請你幫助她算出樹高AB約為多少米?(注:①樹垂直于地面;②供選用數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)解:在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,則AB=BC×tan50°≈12,即樹高約為12m.3三角函數(shù)的計算1.用計算器求銳角的三角函數(shù)值2.用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第14頁隨堂練習(xí)第1~4題.2.教材第15頁習(xí)題1.4第1~3題.【選做題】教材第15頁習(xí)題1.4第4,5,6題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科學(xué)計算器求邊AC的長,則下列按鍵順序正確的是 ()2.用計算器求sin20°+tan54°33'的結(jié)果等于(結(jié)果精確到0.01) ().25 .55.73 .753.用科學(xué)計算器計算:31+3tan56°≈.(結(jié)果精確到0.01)

4.如圖所示,為測量旗桿AB的高度,在與B距離為8m的C處測得旗桿頂端A的仰角為56°,那么旗桿的高度約是m(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)

【能力提升】5.在Rt△ABC中,∠C=90°