環(huán)保工程師資格考試高等數(shù)學(xué)之四：無窮級數(shù)和微分方程

1.4無窮級數(shù)1.4.1數(shù)項級數(shù)1.4.2冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。1.4.3傅立葉級數(shù)求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，討論和函數(shù)的性質(zhì)。1.4.1數(shù)項級數(shù)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和。1.數(shù)項級數(shù)定義2.基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.等比級數(shù)

(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比).級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散

.其和為3.幾個重要級數(shù)的收斂性調(diào)和級數(shù)發(fā)散(常數(shù)p>0)p-級數(shù)*例1.判斷級數(shù)的斂散性:解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差故原級數(shù)收斂.(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),

(常數(shù)k>0),4.審斂法正項級數(shù)：

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)l=

0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,的斂散性.例3.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散..

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)

為正項級數(shù),且則因此級數(shù)收斂.解:交錯級數(shù)則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.

(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂。絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.例5.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:

而收斂,收斂因此絕對收斂.判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散

1.Abel定理

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式1.4.2冪級數(shù)*例6.已知冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理，該冪級數(shù)在處絕對收斂，故在絕對收斂。例7.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為若的系數(shù)滿足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,則的收斂半徑為2.求收斂半徑對端點x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例8..求冪級數(shù)

3.求函數(shù)的冪級數(shù)展開式1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù)3、寫出收斂范圍(P34例1-37)1.求傅立葉級數(shù)展開式2.求某個傅立葉系數(shù)3.求和函數(shù)在某些點的值1.4.3傅立葉級數(shù)的有關(guān)問題例9.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為(3)將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:(3)先求傅里葉系數(shù)1.5微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.5.2解微分方程1.5.3微分方程應(yīng)用1.5.1微分方程的基本概念一階微分方程二階微分方程1.判定微分方程的階2.判定函數(shù)是否微分方程的解，通解或特解例1.

驗證函數(shù)是微分方程的解.解:

是方程的解.1.5.2解微分方程1.一階微分方程可分離變量，一階線性2.高階微分方程二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。*例2.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))因此可能增、減解.解*例3.利用一階線性方程的通解公式得：例4.曲線族所滿足的一階微分方程是____.解:對兩邊求導(dǎo)，得即為所求一階微分方程特征方程:實根

特征根通解二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例6.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為*例7.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例8.解：因是一個特解，所以是特征方程的重根，故特征方程為：所對應(yīng)微分方程為(2)若是特征方程的單根

特解形式為(3)若是特征方程的重根

特解形式為(1)若不是特征方程的根特解形式為的特解形式.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.特解形式為例9.例10.的特解形式.解:本題而特征方程為其根為特解形式為1.5.3微分方程應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程2.利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程3.利用牛頓第二定律求所滿足的微分方程.*例11.

已知曲線上點P(x,y)處的法線與x軸交點為Q解:

如圖所示,令Y=0,得Q點的橫坐標(biāo)即點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,

例12.成正比,求解:

根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時演講完畢，謝謝觀看！——“ifen”酒新品發(fā)布活動策劃愛奮斗?愛生活目錄010203040506活動概述“ifen”酒新品發(fā)布會“愛奮斗?愛生活”品酒晚宴“我愛奮斗”高校樂隊演唱會活動執(zhí)行活動費(fèi)用活動概述2012年05月20日-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.活動時間湖南錦繡瀟湘文化產(chǎn)業(yè)園活動地點新品發(fā)布會/品酒晚宴/高校樂隊演唱會活動構(gòu)架活動概述活動目的：提升代理商對ifen酒的認(rèn)識，有效促進(jìn)合作。通過新聞發(fā)布會的召開向外界傳達(dá)強(qiáng)勢品牌的印象和

品牌強(qiáng)勢運(yùn)作的信息。借助新聞發(fā)布會的召開傳遞產(chǎn)品信息和品牌價值，形

成事件傳播?；顒痈攀龌顒右饬x：新聞發(fā)布會的意義在于能夠激發(fā)和鞏固代理商積極銷售的信心，

同時可以對于ifen酒品牌的上市做一個正式的通告，

借以帶動業(yè)界對于ifen酒的認(rèn)同和認(rèn)識和關(guān)注，是對

于ifen酒的整個傳播體系的推動和幫助。以新聞與活動的結(jié)合表現(xiàn)形式確立ifen酒目標(biāo)群體中的顯赫地位新品發(fā)布會愛奮斗?愛生活

——2012ifen酒新品發(fā)布會發(fā)布會主題-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.錦繡瀟湘“芙蓉國劇場”發(fā)布會地點15:30——17:20發(fā)布會時間新品發(fā)布會特色互動環(huán)節(jié)：ifen銷售達(dá)人賽場外場內(nèi)連線互動：在活動開展前期，在長沙步行街開展小型戶外活動——ifen酒銷售達(dá)人賽，然后將現(xiàn)場火熱瘋搶的畫面剪輯成視頻，在發(fā)布會上進(jìn)行播放，讓經(jīng)銷商看到ifen酒受廣大市民（年輕消費(fèi)者）的追捧。第一次連線：將現(xiàn)場瘋搶的畫面拍攝下來，隨即采訪一下消費(fèi)者，問其為何要買酒，對酒的印象等。第二次連線：要求攝像拍攝出現(xiàn)場產(chǎn)品售罄的狀態(tài)。表現(xiàn)形式：安排兩百位學(xué)生扮演消費(fèi)者到現(xiàn)場配合工作，現(xiàn)場隨即采訪消費(fèi)者的購買心得。微電影VCR展播主持人開場新品發(fā)布會發(fā)布會流程：

蝶舞九天女子時尚電聲組開場來賓簽到（微電影VCR熱場）第一次場外連線：讓經(jīng)銷商看到場外熱鬧瘋搶的狀況與ifen酒品牌展示，從而給經(jīng)銷商留下好的印象，讓他們看到該產(chǎn)品的市場前景。顏總致辭（宣布政策）第二次連線新品發(fā)布會發(fā)布會流程：現(xiàn)場調(diào)酒演示（品酒師點評）第一次連線第二次場外連線：此次連線需看到產(chǎn)品即將售罄的狀態(tài)，以求再次打動在坐經(jīng)銷商的心，讓產(chǎn)品熱銷，好銷，有市場等一切優(yōu)秀品質(zhì)進(jìn)入經(jīng)銷商的心，從而使經(jīng)銷商從心動變?yōu)樾袆印：灱s儀式“ifen酒”榮耀現(xiàn)世新品發(fā)布會發(fā)布會流程：

經(jīng)銷商代表發(fā)言此環(huán)節(jié)后附詳細(xì)流程

合影自由洽談簽約儀式500萬獎金現(xiàn)場助陣，活動至高潮。新品發(fā)布會1、“ifen酒”榮耀現(xiàn)世：嘉賓觸摸LED點光球，特制酒保箱綻放,同時煙霧升起.冷焰火四射，ifen酒在綻放的儀器中榮耀現(xiàn)世。新品發(fā)布會2、“ifen酒”500萬重獎銷售機(jī)制建立：“ifen”酒業(yè)老總親自向經(jīng)銷商代表頒發(fā)“ifen酒”500萬銷售獎勵機(jī)制承諾書。新品發(fā)布會3、“ifen酒”品酒塔：這里我們用傳統(tǒng)的香濱灌注香濱塔,改成“ifen”灌注,體現(xiàn)另外一種引用模式，同時，音樂響起，兩位模特手捧“ifen”走秀。新品發(fā)布會新品發(fā)布會會場布置：易拉寶簽到臺噴繪、海報新品發(fā)布會新品發(fā)布會網(wǎng)絡(luò)直播：我們與湖南最權(quán)威的媒體網(wǎng)絡(luò)之一“文明在線”合作，全程緊密跟蹤直播新品發(fā)布會。新品發(fā)布會新品發(fā)布會主持人：湖南電視臺魏哲浩侯文ifen品酒晚宴愛奮斗?愛生活

——2012ifen品酒晚宴晚宴主題-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.湘府韓城（岳麓區(qū)阜埠河路）晚宴地點17:20開始晚宴時間ifen品酒晚宴晚宴酒店簡介：長沙湘府韓城湘府韓城韓系餐廳是一家經(jīng)國家相關(guān)部門批準(zhǔn)注冊的合法企業(yè),湘府韓城韓系餐廳以經(jīng)營主營餐飲美食服務(wù)為主，以合理的價格、優(yōu)良的服務(wù)與眾多用戶及企業(yè)建立了長期的合作關(guān)系。湘府韓城韓系餐廳位于岳麓區(qū)阜埠河路(近湖南大學(xué)天馬學(xué)生公寓)。大眾點評網(wǎng)5星好評！ifen品酒晚宴晚宴酒店布置：開始用餐17:4517：20—17:40ifen品酒晚宴晚宴流程：

領(lǐng)導(dǎo)致祝酒詞17:40—17:45來賓就坐ifen高校樂隊演唱會我愛奮斗

——2012高校樂隊演唱會演唱會主題-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.錦繡瀟湘“青春廣場”演唱會地點19:00—22:30演唱會時間ifen高校樂隊演唱會高校樂隊演唱會『新聞賣點』：為了更有效的通過新聞發(fā)布向外界傳達(dá)強(qiáng)勢品牌和公益

的形象。借助“公益活動”的外衣依托新聞發(fā)布才能更高效率傳遞產(chǎn)品信息和品牌價值，形成事件傳播。因此，本次“ifen”杯高校樂隊演唱會將特別成立愛心助學(xué)崗工程，為家庭貧困，卻積極生活，愛好音樂的大學(xué)生提供暑期愛心就業(yè)崗。ifen高校樂隊演唱會高校樂隊演唱會『活動組織』：樂隊組織比賽制度

評比制度：專業(yè)評委5人打分，每位評委最多10分；媒體團(tuán)