2021年山東省青島市育才中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

2021年山東省青島市育才中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則（）A．a(chǎn)1d＞0，dS4＞0 B．a(chǎn)1d＜0，dS4＜0 C．a(chǎn)1d＞0，dS4＜0 D．a(chǎn)1d＜0，dS4＞0參考答案：B【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由a3，a4，a8成等比數(shù)列，得到首項和公差的關(guān)系，即可判斷a1d和dS4的符號．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，則a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比數(shù)列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題．2.雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作一條直線與兩條漸近線分別相交于A，B兩點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3參考答案：C3.（理）設(shè)函數(shù)，其中為取整記號，如，，。又函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上零點的個數(shù)記為，與圖像交點的個數(shù)記為，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.表示不同直線，M表示平面，給出四個命題：①若∥M，∥M，則∥或相交或異面；②若M，∥，則∥M；③⊥，⊥，則∥；④⊥M，⊥M，則∥，其中正確命題為A．①④

B．②③

C．③④

D．①②參考答案：A5.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為（

）．A． B． C． D．參考答案：A如圖，由拋物線定義，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離，則，當且僅當點為當拋物線的交點時取得等號．故選．6.已知，若f（a）=2，則a的取值為（）A．2 B．﹣1或2 C．±1或2 D．1或2參考答案：B【考點】5B：分段函數(shù)的應用．【分析】利用分段函數(shù)通過x的范圍，分別列出方程求出a即可．【解答】解：，若f（a）=2，當a≥0時，2a﹣2=2，解得a=2．當a＜0時，﹣a2+3=2，解得a=﹣1．綜上a的取值為：﹣1或2．故選：B．7.中，內(nèi)角所對邊分別為,且則等于（

）A．3

B．4

C．6

D．7

參考答案：B8.設(shè)是復數(shù)z的共軛復數(shù)，且滿足，i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的實部為（） A．4 B．3 C． D．2參考答案：D【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【專題】計算題；對應思想；數(shù)學模型法；數(shù)系的擴充和復數(shù)． 【分析】設(shè)出z=a+bi（a，b∈R），則，代入，整理后利用復數(shù)相等的條件計算a的值，則復數(shù)z的實部可求． 【解答】解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則， 由， 得a+bi+a﹣bi=， 則2a=4即a=2． ∴復數(shù)z的實部為：2． 故選：D． 【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．9.在等比數(shù)列中，為其前項和，已知，則此數(shù)列的公比為（

）A.

B.3

Ｃ.4D.5參考答案：B10.將的圖象向左平移個單位，向下平移2個單位，則平移后所得圖象的解析式為

A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)的展開式中的常數(shù)項為，則直線與曲線圍成圖形的面積為______________.參考答案：略12.

已知，則的最大值為

參考答案：3813.已知雙曲線C：，過雙曲線C的右焦點F作C的漸近線的垂線，垂足為M，延長FM與y軸交于點P，且，則雙曲線C的離心率為__________．參考答案：雙曲線：的漸近線方程為，右焦點過與漸近線垂直的直線為由可解得：，在中，令，可得：，整理得：，則即雙曲線的離心率為14.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是__________。

參考答案：

第一次運算為，第二次運算為，第三次運算為，第四次運算為，第五次運算為，第六次運算不滿足條件，輸出.15.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為．，則此球的表面積等于_________．參考答案：16.已知正實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是

．參考答案：略17.已知等差數(shù)列{},滿足,則此數(shù)列的前項的和

.參考答案：35三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，過A1、B、C1三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1，E、F分別為A1B、BC1的中點．（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能證明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D為坐標軸原點，以DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABCD的一個法向量和平面A1BC1的一個法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：∵在△A1BC1中，E、F分別為A1B、BC1的中點，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（Ⅱ）解：以D為坐標軸原點，以DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)AD=DC==1，則A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），A1（1，0，2），，，∵DD1⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一個法向量為=（0，0，2），設(shè)平面A1BC1的一個法向量為=（a，b，c），則，即，取a=1，得=（1，1，），∴cosθ=|cos＜＞|=||=．∴平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值為．…【點評】本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面的夾角的余弦值的求法，涉及到三角形中位線定理、平行公理、向量法等知識點，是中檔題．19.設(shè)A={x∈Z|，，求：（1）；

（2）參考答案：設(shè)A={x∈Z|，，求：（1）；

（2）解：……………2分（1）又……6分（2）又得

……………12分略20.本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列的每兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列，在

兩項之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；（3）對于（2）中的數(shù)列，若，并求（用表示）．參考答案：解：（1）當時，由.又與相減得：，故數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；…………4分（2）設(shè)和兩項之間插入個數(shù)后，這個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，則，又，故………………9分（3）依題意，，考慮到，令，則，所以…………14分略21.已知橢圓C:()的離心率為,點(1,)在橢圓C上.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若橢圓C的兩條切線交于點M(4,),其中,切點分別是A、B,試利用結(jié)論:在橢圓上的點()處的橢圓切線方程是,證明直線AB恒過橢圓的右焦點;(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，試探究的值是否恒為常數(shù),若是,求出此常數(shù);若不是,請說明理由.參考答案：解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為()①點(1,)在橢圓C上,②,由①②得:橢圓C的方程為，

………………

3分(Ⅱ)設(shè)切點坐標,,則切線方程分別為,.又兩條切線交于點M(4,),即,即點A、B的坐標都適合方程,顯然對任意實數(shù),點(1,0)都適合這個方程，故直線AB恒過橢圓的右焦點.

………………

6分(Ⅲ)將直線的方程，代入橢圓方程,得,即所以,………………

8分不妨設(shè),,同理………10分所以==所以的值恒為常數(shù).………………

12分略22.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項和．參考答案：（Ⅰ）；(Ⅱ).試題分析：（Ⅰ）依題意得，即．討論當，當時，；驗證當適合，得出結(jié)論.(Ⅱ)由已知可得，，，利用“分組求和法”即得所求.試題解析：（Ⅰ）依題意得，即．當

……………1分當時，；

……………3分當所以